·24·中学数学研究2015第12期
元sc^ur不等式(设口，6，c≥o，则∑口(。一6)(口一参考文献
牡李②眦令式P忙6≯扎n3搿：淼慧郯戢¨L榉骅骅豺，得2≥了≠看，解得A≥÷，从而常数}为最佳．’‘’
常态二次曲线三类定点定值问题的统一思考
湖南省长沙市南雅中学(410129)石向阳
在高考和竞赛中，常常出现这类问题：曲线上
一定点P引出两弦PQ、PR，这两弦的斜率．j}Po·七袱或矗P口+后腓或礁为定值，则动直线QR恒
过定点或后∞恒为定值．本文就常态二次曲线(包含
圆锥曲线)这三大类问题进行统一思考：将原点移
到P(‰，％)，使PQ、艘均变为过新原点的直线，构
造关于y一‰和髫一‰齐二次方程，进而得到关于
}凳为元的一元二次方程，其两根恰好是忌PQ、尼朋，
经过对照等有效推理手段，得出一系列非常漂亮、实
用的结论，现简洁整理出来，以飨读者．
定理1常态二次曲线①：A戈2+B菇y+劬2+仇
+研+F=0上有一定点P(‰，y。)和异于点P的两
动点Q、尺，则|j}叼·而艘=A(≠号)为定值的充要条
件是动直线QR恒过定点M(‰+i}％，‰一
篇)；七P口·后艘=A=告的充要条件是尼卵=一
尝(其中①。=2瓴+甄+D，西：=‰+2‰+
E、．
证明：做平移髫’=戈一‰，，，’=)，一％，代入①(石，
y)=0得A菇’2+纸’y7+q’2+多1茗’+函2y’=0(1)，
设Q尺的方程为k’+啊’=l，代入(1)蒋A菇’2+
舭’y’+劬’2+(多1戈’+函2，，’)(fz7+啊’)=0，整理
得(c+西2m)(号)2+(曰+西。m+少2z)专+(A+
州)-0(2)h=糕=Z‰=鬟=毫是勰(2)的两鼽k||}艘=A§糍=
A§2西l+m(一A函2)=Ac—A(3)．当A≠告，即Ac
—A≠呲(3)酬品)州一是)-1营
直线QR：k7+my’=l在戈’D’y’中过定点
州嵩，一是)营直线Q赡幼中过定点
坼。+嵩旷篇艄A=告川c—A
=o时，(3)§z中l+m(一A函2)=o甘一言2
一A西，，A少2
1r黜∞一1F‘
推论1．1A≠今时的特殊情况：
椭圆①：与+告=1，．|}P口·‰=A(≠与)为定
oD‘口值的充要条件是动直线QR过定点(弊。，
^o—D
A02+62、一万叼。几
￥
双曲线①：事一吾=·，后PQ·后朋=A(≠一手)双曲线①：≥一告21，后PQ“朋2A(≠一等)
为定值的充要条件是动直线QR过定点
，^n2—62^02—62、o万霄o，一万书)5
抛物线)，2=2p髫，后PQ·后船=A(≠0)的充要条
件是动直线QR过定点(戈。一挈，一％)．
推论1．2A=告的充要条件是五卵=一尝
为定值．
特别地，有心曲线①：Az2+Cy2=1，|j}P0·忌PR=
万方数据
2015年第12期中学数学研究·25·
A(=昙)为定值的充要条件是．|}叩=一等．
推论1．3A=一告≠o，曰=o的充要条件是
动直线但过定点卧务，筹)，即定点卧务，
一麦)与点P无关，不论点P是曲线①上的定点还
是动点．
特别地，有心曲线①：A(戈一九)2+C(y—lj})2=
1，||}P口·后艘=一告的充要条件是动直线Q尺过曲线①
的中心(^，矗)．
推论1．4七P口·I|}朋=A≠告为定值，则曲线①
在P处的切线斜率I|}P切=一鲁(求导可得)与直线
删的斜率矗删=一尝(由P、肘两点的坐标可得)
之积也等于A(这里考虑的是斜率存在的情况)．特
别地，当A=一l时，定点M恰在P处的法线上．
定理2常态二次曲线中：A戈2+晚y+q2+眈
+毋+F=0上有一定点P(粕，‰)和异于点P的两
动点Q、R，则I|}P口+矗朋：A≠一号且为定值的充要
条件是动直线Q皇过定点M(‰一i}b，％一
qD．
号高穹孚)；I|}舶’+忌朋=A=一罢的充要条件是．j}卵
一尘!±查垒一
西2
‘
证明：‘．。I|}P口，后艘是方程(2)的两根’．．．||}P口+I|}朋：A§一笔掣：A甘f中2+m(少。+A西2)
2A§一——石了、瓦鬲一2A甘‘92+mL91+^92J
=一(Ac+B)(4)．当A≠一昙，即Ac+B≠o时，
(4)d(一南)、+小等等㈨甘直线
QR：k’+w’11在菇’o’，，’中过定点胁(一i芋毛，
一等等)铮直线Q尺在石Dy中过定点肌。一
熹一等等艄一罢川c+B=AC+B’，oAC+B7’j“一C’””“。。。
呲㈩§一去=薯竽‰=艺竽．
推论2．1当A≠一号时的特殊情况：
椭圆①：与+告=l，|j}P口+．|}瑚=A(≠o)为定
口O
‘
值的充要条件是动直线Q尺过定点(‰一警，
一％一警)．双曲瓢手一吾-1，‰‰=^口nD
A(≠0)为定值的充要条件是动直线QR过定点(戈。
一警，一％+警)．抛物线①：y2=轨‰‰
=A(≠0)为定值的充要条件是动直线QR过定点
‰一警，一‰+羚
推论2．2A=B=o§矗卵=鲁幽卵=
一|j}P切(对曲线方程求导可得矗，切=一罢)．
特别地，椭圆①：≥+》=1，I|}PQ+．|}艘2o的充
要条件是后矿凳“刚双曲炮手一吾=
l，七Po+尼朋：o的充要条件是||}伽=一等堕=一J}P切；
‘
‘口％
一芜一‰·
推论2．3|j}P口+．|}艘=A(≠一号)为定值，I|}P切
=一罢与直线朋的斜率I|}跗=薯竽(自P、M
两点的坐标可得)的和也等于A(这里考虑的是斜
率存在的情况)．
定理3常态二次曲线①：A菇2+觑y+研2+仇
+毋+F=0上有一定点P(z。，‰)和异于点P的两
动点Q、R，设PQ的倾斜角为a，艘的倾斜角为卢．则
tan(a+卢)=A(≠万与(的充要条件是动直线凹过定点M(‰一赢赫，％+点篇)；
tan(a+卢)=A2丁乞的充要条件是．|}QR2
一!!±查垒
A垂1一咖2‘
证明：‘．。tana、ta叩是方程(2)的两根，．·．tand·
万方数据
·26·中学数学研究2015第12期
ta邶=篆，ta…ta邮=一等％掣jtancd+卢，=高=一i云-三{；≥罢‰．
tan(a+卢)=A{亭一iz-；：；≥要；尘‰=
A车亭Z(多2一A巾1)+m(垂l+A函2)=A(A—C)一
B(5)．当A≠忐即A(A—c)一曰≠o时，(5)酬一黼)州揣)=
l铮直线Q尺：氏’+叫’=1在z’D’y’中过定点州一黼，湍，§
动直线QR过定点M(菇。一i￡锦，y。+
者若‰艄A=忐川cA卅一B=
0时，(5)§Z(中2一A多1)+m(多1+A中2)=0§
Z西1+A多2。中l+A西2
一i一而■_瓦蝴∞一涵■_瓦‘
推论3．1椭圆①：冬+各=1，tan(理+卢)=
口D
A(≠0)为定值的充要条件是动直线Q尺过定点
，(口2+62)‰A一202％(口2+62)％A+262‰、
、(Ⅱ2—62)A’(口2—62)A7’
双曲线①：兰i一手F=l，tan(a+卢)=A(≠o)为定
口D
值的充要条件是动直线p尺过定点
02—62)‰A一202％(口2—62)％A一262戈。
抛物线①：广=枷，tan(a+卢)=A(≠o)为定值的
充要条件是动直线Q尺过定点(茗。一2p一竿，一‰+
冷
推论3．2A=B=o幽∞=鲁=一|j}P切．结论
与推论2．2相同．
推论3．3d+卢=予且o
·ta邮=1，问题变为定理1A=1时的特例．
例1(2011湖北省高中联赛预赛试题)已知
椭№等+孚．1，过删字，一÷)而不过点
Q(√2，1)的动直线Z交椭圆C于A、B两点，求
[AQB．
解：显然点Q(√虿，1)是椭圆C上的一点，动直线
z过定点P(譬，一寻)，由推论1．1椭圆中结论知：动
直线AB过定点(龛耋{鲁。，一妻耋{专≥)的充要
条件是．|}∞。后卵=A(≠等)为定值，注意到‰=厄，
‰=·，。2=4，62=2，有(|：罢}{等。，一；：三；{>鲁≥％)
=(箬专在，一箬专)=(字，一÷)，可得A=
一1，即[AQ曰=900．
例2(2015年全国新课yf一
婴芝}参酱藻主蒹厂队r=m2(m>o)，直线f不过原／y＼r
点D且不平行于坐标轴，f与
C有两个交点A，B，线段A曰的
中点为M证明：直线0M的
斜率与Z的斜率的乘积为定
值；
证明：如图1，连结AD并
延长与椭圆交于点C，连结
曰C，0为线段AC的中点，M为
图l
线段AB的中点，．．．0M∥cB，|j}伽=尼∞．由推论1．3
知：动直线AC过中心(0，0)的充要条件是孟肌·．i}。。
=一丢=一9’．．．|j}仰·|j}。村=|j}。。·七曲=．|}鲋·|j}。。=
一9．所以直线DM的斜率与Z
的斜率的乘积为定值．
例3(2011年全国高中
数学联赛题)斜率为÷的直图2
线z与椭圆c：蠡+等=1交于A、B两点(如图2所
示)，且P(3以，妲)在直线z的左上方．证明：△融曰
的内切圆的圆心在一条直线上．
溉“肋=篆=舞=÷呐鼬口％36×√2j
推论2．2知．j}烈+|j}朋=0，所以，￡APB的平分线所
在直线方程为戈=3拉，这说明△朋B的内切圆的圆
心在直线戈=3√2上．
万方数据
常态二次曲线三类定点定值问题的统一思考
作者：石向阳
作者单位：湖南省长沙市南雅中学,410129
刊名：中学数学研究
英文刊名：StudiesinMiddleSchoolMathGuangdong
年，卷(期)：2015(12)
引用本文格式：石向阳常态二次曲线三类定点定值问题的统一思考[期刊论文]-中学数学研究2015(12)
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