Gothedistance
高考递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1)(1nfaann???
解法：把原递推公式转化为)(1nfaann???，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列??na满足21
1?a
，nnaa
nn????211
，求na。
类型2nnanfa)(1??
解法：把原递推公式转化为)(1nf
aann??
，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列??na满足32
1?a
，
nnanna11???
，求na。
例3:已知31?a，
nnanna23131????
)1(?n，求na。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32??????????nnanaaaa
(n≥2)，则{an}的通项1
___na????
1
2nn??
类型3qpaann???1（其中p，q均为常数，)0)1((??ppq）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann????，其中
pqt??1
，再利用
换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列??na中，11?a，321???nnaa，求na.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列??na中，若111,23(1)nnaaan?????，则该数列的通项na?_______________
类型4nnnqpaa???1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((???qppq）。（或
1nnnaparq???,其中p，q,r均为常数）。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1?nq，得：
qqaqpqannnn111?????
引入辅助数列
Gothedistance
??nb（其中nnnqab?），得：qbqpbnn11???再待定系数法解决。
例5:已知数列??na中，65
1?a
,1
1)21(31????nnnaa
，求na。
类型5递推公式为nnnqapaa????12（其中p，q均为常数）。
解(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa????12，????21,aa给出的数列??na，方
程02???qpxx，叫做数列??na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx?
时，数列??na的通项为1211????nnnBxAxa，其中A，B由????21,aa决定（即把
2121,,,xxaa和2,1?n，代入1211????nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx?时，
数列??na的通项为11)(???nnxBnAa，其中A，B由????21,aa决定（即把2121,,,xxaa
和2,1?n，代入11)(???nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。
例6:数列??na：),0(025312Nnnaaannn???????，baaa??21,,求na
解（特征根法）：的特征方程是：02532???xx。32,1
21??xx?
,
?1211????nnnBxAxa1)32(????nBA。又由baaa??21,，于是
??
?
??
???
??
???
??
??
)(3
23
3
2baBabABAb
BAa故
1)32)((323?????nnbaaba
练习:已知数列??na中，11?a,22?a,
nnnaaa313212????
，求na。
1731:()443nnkeya????。
变式:（2006，福建,文,22）
已知数列??na满足12211,3,32().nnnaaaaanN???????求数列??na的通项公式；
（I）解：112211()()...()nnnnnaaaaaaaa????????????
12
22...2121().nn
nnN
???????
???
类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa?)
Gothedistance
解法：利用
??
????????????????????????????
?)2(
)1(
1
1nSSnSa
nnn
与)()(11??????nnnnnafafSSa消去nS
)2(?n或与)(1???nnnSSfS)2(?n消去na进行求解。
例7：数列??na前n项和
2214????nnnaS
.（1）求1?na与na的关系；（2）求通项公式na.
类型7rnnpaa??1)0,0(??nap
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann???1，再利用待定系数法求解。
类型8
)()()(1nhanganfannn???
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann???1。
例9：已知数列｛an｝满足：1,
13111??????aaaannn
，求数列｛an｝的通项公式。
类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列??na满足
???
???
?
???
??
??
)121(,12
)210(,2
1
nn
nn
n
aa
aa
a，若761?a，则20a的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{na满足)(
133,011Nnaaaannn??????
，则20a=（）
A．0B．3?C．3D．23
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