Gothedistance
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思想方法训练3数形结合思想
能力突破训练
1.(2015甘肃兰州一中三模)若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点
Z表示复数z,那么复数??1+i对应的点位于复平面内的()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.方程sin(??-π4)=14x的实数解的个数是()
A.2B.3C.4D.以上均不对
3.若x∈{x|log2x=2-x},则有()
A.x2>x>1B.x2>1>x
C.1>x2>xD.x>1>x2
4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,
则实数b的值等于()
A.2±√2B.2-√2或6-3√2
C.6±3√2D.2+√2或6+3√2
5.已知函数f(x)={
|lg??|,0
-12??+6,??>10,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是
()
A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)
6.已知函数f(x)=4??与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围
是()
A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)
7.已知函数f(x)=|log2|x||-(12)??,则下列结论正确的是()
A.f(x)有三个零点,且所有零点之积大于-1
B.f(x)有三个零点,且所有零点之积小于-1
C.f(x)有四个零点,且所有零点之积大于1
D.f(x)有四个零点,且所有零点之积小于1
8.(2015安徽高考)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个
交点,则a的值为.
9.(2015湖北高考)函数f(x)=2sinxsin(??+π2)-x2的零点个数为.
10.若不等式√9-??2≤k(x+2)-√2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=.
11.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)={-??
2-3
2??+5,0≤??≤1,
2??+2-??,1
函数g(x)=(12)|??|+a,若
F(x)=f(x)-g(x)恰好有4个不同的零点,则a的取值范围是.
12.(2015山东实验中学模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(??>0,??>0,0
所示.
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(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=[??(??-π12)]2,求函数g(x)在x∈[-π6,π3]上的最大值,并确定此时x的值.
思维提升训练
13.(2015天津高考)已知函数f(x)={2-|??|,??≤2,(??-2)2,??>2,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-
g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()
A.(74,+∞)B.(-∞,74)
C.(0,74)D.(74,2)
14.(2015全国Ⅰ高考)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,
则a的取值范围是()
A.[-32e,1)B.[-32e,34)
C.[32e,34)D.[32e,1)
15.已知函数f(x)={3
??-1,??≤1,
??(??-1)+2,??>1,则方程f(x)=2x在[0,2015]内的根的个数是.
16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行.
(1)求b的值;
(2)若函数F(x)={??(??),??≤0,??(??),??>0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
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参考答案
能力突破训练
1.D解析:由题图知,z=2+i,则??1+i=2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32?12i,则对应的点位于复平面内的第四象
限.故选D.
2.B解析:在同一坐标系内作出y=sin(??-π4)与y=14x的图象,如图,可知它们有3个不同的交
点.
3.A解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,
则有x2>x>1.
4.D解析:结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.
当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+√2;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3√2,故
选D.
5.C解析:
作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a
则-lga=lgb=-12c+6.
∴lga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c.
由图知10
6.B
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解析:如图,由题知,若f(x)=4??与g(x)=x3+t的交点位于y=x两侧,则有{2
3+??>2,
(-2)3+??<-2,解得-
6
7.A
解析:在同一坐标系中分别作出f1(x)=|log2|x||与f2(x)=(12)??的图象,如图.由图象知f1(x)与f2(x)
有三个交点,即函数f(x)有三个零点.设三个零点从左到右分别是x1,x2,x3,因为f(-12)<0,f(-14)>0,所
以-12
同理,12
8.-12解析:
在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交
点,则2a=-1,a=-12.
9.2解析:f(x)=2sinxsin(??+π2)-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.
如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,
当x<0时,两图象无交点,
综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.
10.√2
解析:令y1=√9-??2,y2=k(x+2)-√2,在同一个坐标系中作出其图象,如图.
∵√9-??2≤k(x+2)-√2的解集为[a,b],且b-a=2,
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2√2),∴k=2√2+√21+2=√2.
11.(2,198)解析:由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期为4的函数;由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x+4),得图
象的对称轴为直线x=2.若F(x)恰有4个零点,有{??(1)>??(1),??(3)
12.解:(1)由题图知A=2,??4=π3,则2π??=4×π3,得ω=32.
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又f(-π6)=2sin[32×(-π6)+??]
=2sin(-π4+??)=0,
∴sin(??-π4)=0.
∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,
∴φ-π4=0,即φ=π4,
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(32??+π4).
(2)由(1)可得f(??-π12)
=2sin[32(??-π12)+π4]
=2sin(32??+π8),
g(x)=[??(??-π12)]2=4×1-cos(3??+
π
4)
2=2-2cos(3??+
π
4).
∵x∈[-π6,π3],∴-π4≤3x+π4≤5π4,
∴当3x+π4=π,即x=π4时,g(x)max=4.
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13.D解析:由f(x)={2-|??|,??≤2,(??-2)2,??>2,得f(x)={
2+??,??<0,
2-??,0≤??≤2,
(??-2)2,??>2,
f(2-x)={
2+2-??,2-??<0,
2-(2-??),0≤2-??≤2,
(2-??-2)2,2-??>2
={
??2,??<0,
??,0≤??≤2,
4-??,??>2,
所以f(x)+f(2-x)={
??2+??+2,??<0,
2,0≤??≤2,
??2-5??+8,??>2.
因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,
所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.
画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.
由图可知,当b∈(74,2)时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.
14.D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)
因为g''(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
当x<-12时,g''(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>-12时,g''(x)>0,函数g(x)单调递增.
所以g(x)的最小值为g(-12).
而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.
如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)
函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D(12,0).
取点C(-1,-3e).
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由图可知,不等式g(x)
而kPC=0-(-
3
e)
1-(-1)=
3
2e,kPA=
0-(-1)
1-0=1,
所以32e≤a<1.故选D.
15.2016
解析:画出y=f(x)与y=2x的图象如图所示,
由图象可得,方程f(x)=2x在[0,2015]内的根分别是x=0,1,2,3,…,2015,共2016个.
16.解:函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).
(1)f''(x)=3ax2-3a?f''(1)=0,g''(x)=2bx-1???g''(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=12.
(2)当x∈(0,1)时,g''(x)=x-1??<0,当x∈(1,+∞)时,g''(x)=x-1??>0.
所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.
当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.
当a<0,x∈(-∞,-1)时,f''(x)<0,当x∈(-1,0)时,f''(x)>0,
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.
从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.
当a>0,x∈(-∞,-1)时,f''(x)>0,当x∈(-1,0)时,f''(x)<0,
所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.
从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12
所以实数a的取值范围是(√22,2).
图①
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图②
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