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思想方法训练4
2016-02-06 | 阅:  转:  |  分享 
  
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思想方法训练4转化与化归思想

能力突破训练

1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=?,则实数a的取值范围是()



A.a>2B.a<-2

C.a>2或a<-2D.-2
2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()

A.[-1,1]B.[-√22,√22]

C.[-√32,√32]D.[-√62,√62]

3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点

P横坐标的取值范围为()

A.[-1,-12]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[12,1]

4.设a=√22(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=√32,则a,b,c的大小关系是()

A.c
5.(2015山东菏泽期末)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f''(x)在R

上恒有f''(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()

A.(1,+∞)B.(-∞,-1)

C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

6.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=()

A.-5B.-1C.3D.4

7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为

1,则实数c的取值范围是.

8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式

f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.

9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+(??2+2)x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,求实数m的

取值范围.





















10.已知函数f(x)=23x3-2ax2-3x.

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

(2)已知对一切x∈(0,+∞),af''(x)+4a2x≥lnx-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.













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思维提升训练

11.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则|????||????|的最小值是()

A.12B.√22C.√32D.2√33

12.设F1,F2分别是双曲线??2??2???2??2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使

(?????????+????2???????)·??2?????????=0,O为坐标原点,且|????1???????|=√3|????2???????|,则该双曲线的离心率为()

A.√3+1B.√3+12C.√6+√2D.√6+√22

13.如果函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围

是.

14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围

是.

15.已知函数f(x)=elnx,g(x)=1ef(x)-(x+1)(e=2.718……).

(1)求函数g(x)的极大值;



(2)求证:1+12+13+…+1??>ln(n+1)(n∈N).



























参考答案



能力突破训练

1.C解析:M∩N=?等价于方程组{??=??+??,??2+??2=2无解.

把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,

得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①

由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,

由此解得a>2或a<-2.

2.D解析:由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于√32,即|??|√2≤√32,解得-√62≤b≤√62.

3.A解析:设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f''(x)=2x+2,

0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-12,故选A.

4.A解析:∵a=sin(17°+45°)=sin62°,

b=cos26°=sin64°,c=sin60°,∴c
5.A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F''(x)=f''(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.

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又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.

6.C解析:因为lg(log210)+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lg(lg10lg2×lg2)=lg1=0,所以lg(lg2)=-

lg(log210).

设lg(log210)=t,则lg(lg2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所

以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.

7.(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足

0≤d<1.

∵d=|??|√

122+52

=|??|13,

∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).

8.(-∞,-5]解析:当x≥0时,f(x)=x2,此时函数f(x)单调递增.

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴函数f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,

则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立.

∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,

即a≥2a+5,解得a≤-5,∴实数a的取值范围是(-∞,-5].

9.解:g''(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g''(x)≥0在(t,3)上恒成立或

②g''(x)≤0在(t,3)上恒成立.

由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥2??-3x在x∈(t,3)上恒成立,∴m+4≥2??-3t恒成立,则m+4≥-

1,即m≥-5;

由②得m+4≤2??-3x在x∈(t,3)上恒成立,

则m+4≤23-9,即m≤-373.

故函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为-373
10.解:(1)由题意知当a=0时,f(x)=23x3-3x,

所以f''(x)=2x2-3.

又f(3)=9,f''(3)=15,

所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.

(2)f''(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a≥ln??-12??2在x∈(0,+∞)时恒成立.

设g(x)=ln??-12??2,则g''(x)=3-2ln??2??3,

当0
3

2时,g''(x)>0;当x>e

3

2时,g''(x)<0,

所以当x=e

3

2时,g(x)取得最大值,且g(x)max=1

4e3,

故实数a的取值范围为[14e3,+∞).

思维提升训练

11.B解析:



显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.

∴|????||????|=|????||????|=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,

则0<∠BAC≤∠PAB≤π2,

∴sin∠BAC≤sin∠PAB.

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设切点为(x0,y0),则??02=4x0,又??0??

0+1

=y''|??=??0=1√??

0

,解得{??0=1,??

0=2,

∴C(1,2),|AC|=2√2.

∴sin∠BAC=22√2=√22,∴|????||????|的最小值为√22.故应选B.

12.A解析:



如图,取F2P的中点M,则?????????+????2???????=2??????????.

又由已知得2??????????·??2?????????=0,

即??????????=??2?????????=0,∴??????????⊥??2?????????.

又OM为△F2F1P的中位线,

∴??1?????????⊥????2???????.

在△PF1F2中,2a=|????1???????|-|????2???????|=(√3-1)|????2???????|,

由勾股定理,得2c=2|????2???????|.∴e=2√3-1=√3+1.

13.[3,+∞)解析:由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在[0,1]上有实数解.

又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0
a=??2+2??=x+2??.从而问题转化为求函数g(x)=x+2??(0
易知函数g(x)在(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.

14.(-4,0)解析:将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.

∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.

又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.

当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,

若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;

若2m>-m-3,即-12m或x<-m-3},

依题意2m<1,即-1
若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},

依题意-m-3<1,m>-4,即-4
综上可知,满足条件的m的取值范围是-4
15.(1)解:∵g(x)=1ef(x)-(x+1)=lnx-(x+1),

∴g''(x)=1??-1(x>0).

令g''(x)>0,解得01.

∴函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.

(2)证明:由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-

2?lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).

令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=1??(n∈N),

则1??>ln(1+1??)=ln(??+1??),

∴1>ln2,12>ln32,13>ln43,…,1??>ln(??+1??),

叠加得1+12+13+…+1??

>ln(2·32·43·…·??+1??)=ln(n+1).



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(本文系云师堂首藏)