Gothedistance
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题型练3大题专项(一)
三角函数、解三角形综合问题
1.(2015安徽高考)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,B都是锐角,a=6,b=5,sinB=12.
(1)求sinA和cosC的值;
(2)设函数f(x)=sin(x+2A),求f(π2)的值.
3.(2015山东青岛一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知??+??sin(??+??)=
??-??
sin??-sin??,b=3.
(1)求角B;
(2)若sinA=√33,求△ABC的面积.
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4.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(-π3,0).
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=[f(x)]2-2,求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间.
5.已知函数f(x)=√3acos2????2+12asinωx-√32a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A
为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.
(1)求ω与a的值;
(2)若f(x0)=8√35,且x0∈(-103,23),求f(x0+1)的值.
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6.(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),x∈(0,π2).
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.
参考答案
1.解:设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,
所以a=3√10.
又由正弦定理,得sinB=??sin∠????????=33√10=√1010,由题设知0
√1-110=3√1010.
在△ABD中,由正弦定理,得AD=????·sin??sin(π-2??)=6sin??2sin??cos??=3cos??=√10.
2.解:(1)由正弦定理??sin??=??sin??,得sinA=??sin????=35.∵A,B是锐角,∴cosA=√1-sin2??=45,cos
B=√1-sin2??=√32,
由C=π-(A+B),得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-45×√32+35×12=
3-4√3
10.
(2)由(1)知cosA=45,∴f(π2)=sin(π2+2??)=cos2A=2cos2A-1=2×(45)2-1=725.
3.解:(1)∵??+??sin(??+??)=??-??sin??-sin??,∴??+????=??-????-??,
∴a2-b2=ac-c2,∴cosB=??2+??2-??
2
2????=
????
2????=
1
2.∵B∈(0,π),∴B=
π
3.
(2)由b=3,sinA=√33,??sin??=??sin??,得a=2,
由a
则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√3+3√26,
故△ABC的面积为S=12absinC=√3+3√22.
4.解:(1)因为函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(-π3,0),所以f(-π3)=0.
即sin(-π3)+acos(-π3)=0.
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即-√32+??2=0.解得a=√3.
(2)由(1)得f(x)=sinx+√3cosx.
所以g(x)=[f(x)]2-2=(sinx+√3cosx)2-2
=sin2x+2√3sinxcosx+3cos2x-2
=√3sin2x+cos2x
=2(√32sin2??+12cos2??)
=2(sin2??cosπ6+cos2??sinπ6)
=2sin(2??+π6).
所以g(x)的最小正周期为2π2=π.
因为函数y=sinx的单调递增区间为[2??π-π2,2??π+π2](k∈Z),
所以当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)时,函数g(x)单调递增,
即当kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,函数g(x)单调递增.所以函数g(x)的单调递增区间为
[??π-π3,??π+π6](k∈Z).
5.解:(1)由已知可得f(x)=a(√32cos????+12sin????)=asin(????+π3).
∵BC=??2=4,∴T=8,∴ω=2π8=π4.
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=√32BC=2√3.
(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(π4??0+π3)=8√35,
即sin(π4??0+π3)=45.
∵x0∈(-103,23),∴π4x0+π3∈(-π2,π2),
∴cos(π4??0+π3)=√1-(45)2=35,
∴f(x0+1)=2√3sin(π4??0+π4+π3)
=2√3sin[(π4??0+π3)+π4]
=2√3[sin(π4??0+π3)cosπ4+cos(π4??0+π3)sinπ4]
=2√3(45×√22+35×√22)=7√65.
6.解:(1)∵m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),且m⊥n,
∴m·n=(√22,-√22)·(sinx,cosx)
=√22sinx-√22cosx=sin(??-π4)=0.
又x∈(0,π2),∴x-π4∈(-π4,π4).
∴x-π4=0,即x=π4.∴tanx=tanπ4=1.
(2)由(1)和已知,得cosπ3=??·??|??|·|??|
=sin(??-
π
4)
√(√22)
2
+(-√22)
2
·√sin2??+cos2??
=sin(??-π4)=12.
又x-π4∈(-π4,π4),∴x-π4=π6,即x=5π12.
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