Gothedistance
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题型练9大题综合练(一)
1.(2015吉林第三次调研)设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,
满足S=√34(a2+c2-b2).
(1)求B;
(2)若b=√3,设A=x,y=(√3-1)a+2c,求函数y=f(x)的解析式和最大值.
2.(2015重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2
个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
3.
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2
如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AB∥CD,AD⊥
CD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点.
(1)求证:BC⊥平面BDE;
(2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.
4.(2015安徽高考)设椭圆E的方程为??2??2+??2??2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),
点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为√510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E
的方程.
5.设函数f(x)=2ln(x+1)+??2??+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)如果对所有的x≥0,都有f(x)≤ax,求a的最小值;
(3)已知在数列{an}中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn>????+12??
??
-ln
an+1.
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参考答案
1.解:(1)由已知及三角形面积公式和余弦定理得12acsinB=√34·2accosB,
∴tanB=√3.又B∈(0,π),∴B=π3.
(2)由(1)知B=π3,△ABC的内角和A+B+C=π.由A>0,C>0得0
A=√3sinπ
3
sinx=2sinx,c=??sin??sinC=2sin(2π3-??),∴y=(√3-1)a+2c=2(√3-1)sinx+4sin(2π3-??)=2√3sin
x+2√3cosx=2√6·sin(??+π4)(0
2.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有
P(A)=C2
1C31C
5
1
C103=
1
4.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)=C8
3
C103=
7
15,
P(X=1)=C2
1C82
C103=
7
15,
P(X=2)=C2
2C81
C103=
1
15.
综上知,X的分布列为
X012
P715715115
故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(个).
3.(1)证明:在梯形ABCD中,取CD的中点H,连接BH,因为AD=AB,AB∥CD,AD⊥CD,所以四
边形ADHB为正方形.又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,所以CD2=BD2+BC2,所以BC⊥BD.
又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD.
因为BC?平面ABCD,所以BC⊥DE.
又BD∩DE=D,故BC⊥平面BDE.
(2)解:由(1)知DE⊥平面ABCD,AD⊥CD,所以DE,DA,DC两两垂直.
以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则
C(0,2,0),B(1,1,0),E(0,0,1),M(0,1,12),N(12,12,0),?????????=(-1,1,0),??????????=(0,1,-12).
设n=(x,y,z)为平面BMC的法向量,则{??·?????????=0,??·??????????=0,即{-??+??=0,??-1
2??=0,
可取n=(1,1,2).
又???????????=(12,-12,-12),
所以cos=??·??????????|??||??????????|=-√23.
直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为√23.
4.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为(23??,13??),
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又kOM=√510,从而??2??=√510,
进而得a=√5b,c=√??2-??2=2b,故e=????=2√55.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为??√5??+????=1,点N的坐标为(√52??,-12??).
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(??1,72),则线段NS的中点T的坐标为(√54??+??12,-14??+
7
4).
又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,
从而有
{
√5
4??+
??1
2
√5??+
-14??+74
??=1,
7
2+
1
2??
??1-√52??
=√5,
解得b=3.
所以a=3√5,故椭圆E的方程为??245+??29=1.
5.(1)解:f(x)的定义域为(-1,+∞),f''(x)=??2+4??+2(??+1)2.
当-1-2+√2时,f''(x)>0,
所以函数f(x)在(-1,-2+√2)内单调递减,在(-2+√2,+∞)上单调递增.
(2)解:设g(x)=2ln(x+1)+??2??+1-ax,则
g''(x)=??2+4??+2(??+1)2-a=(??+1)
2+2(??+1)-1
(??+1)2-a=-(
1
??+1-1)
2+2-a.
因为x≥0,所以-1<-(1??+1-1)2≤0.
①当a≥2时,2-a≤0,g''(x)≤0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,而g(0)=0,所以对所有的
x≥0,g(x)≤0,即f(x)≤ax.
②当1
则g''(x)>0,g(x)单调递增,而g(0)=0,所以当x∈(0,2-??+√2-????-1)时,g(x)>0,即f(x)>ax.
③当a≤1时,2-a≥1,g''(x)>0,
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,所以对所有的x>0,g(x)>0,即f(x)>ax.
综上,a的最小值为2.
(3)证明:由(1-an+1)(1+an)=1,得an-an+1=an·an+1,由a1=1得,an≠0,
所以1??
??+1
?1??
??
=1,数列{1??
??
}是以1??
1
=1为首项,1为公差的等差数列,
所以1??
??
=n,an=1??,an+1=1??+1.Sn>????+12??
??
-lnan+1?ln(n+1)+??2(??+1)<1+12+13+…+1??.
由(2)知当a=2时,2ln(x+1)+??2??+1≤2x,x>0,
即ln(x+1)+??22(??+1)0.
(方法一)令x=1??,得ln??+1??+12??(??+1)<1??,
即ln(n+1)-lnn+12(1??-1??+1)<1??,
因为∑
??=1
??
[????(k+1)-????k+12(1k-1k+1)]=ln(n+1)+n2(n+1),
所以ln(n+1)+n2(n+1)<1+12+13+…+1n,
故Sn>an+12a
n
-lnan+1.
(方法二)Sn>an+12a
n
-lnan+1?1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1).
下面用数学归纳法证明.
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①当n=1时,令x=1代入ln(x+1)+x22(x+1)ln2+14,不等式成立.
②假设当n=k(k∈N,k≥1)时,不等式成立,即1+12+13+…+1??>ln(k+1)+??2(??+1),
则当n=k+1时,1+12+13+…+1??+1??+1>ln(k+1)+??2(??+1)+1??+1,
令x=1??+1代入ln(x+1)+??22(??+1)ln??+2??+1+12(??+1)(??+2),
ln(k+1)+??2(??+1)+1??+1>ln(k+1)+??2(??+1)+ln??+2??+1+12(??+1)(??+2)=ln(k+2)+??(??+2)+12(??+1)(??+2)=ln(k+2)+??+12(??+2),
即1+12+13+…+1??+1??+1>ln(k+2)+??+12(??+2).由①②可知不等式1+12+13+…+1??>ln(n+1)+??2(??+1)对任
何n∈N都成立.
故Sn>????+12??
??
-lnan+1.
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