Gothedistance
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题型练10大题综合练(二)
1.(2015四川高考)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差
数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{1??
??
}的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<11000成立的n的最小值.
2.某工厂生产A,B两种产品,其质量按测试指标划分,指标大于或等于88为合格品,小于88
为次品.现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标[80,84)[84,88)[88,92)[92,96)[96,100]
产品A61442317
产品B81740305
(1)试分别估计产品A,B为合格品的概率;
(2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合
格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,①X为生产1件产品A和1件产品B所
得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;②求生产5件产品B所得利润不少于150元的
概率.
3.(2015山东聊城二模)
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠
ADC=90°,PA=PD=AD=2BC=2,CD=√3,PB=√6,Q是AD的中点,M是棱PC上的点,且PM=3MC.
(1)求证:平面PAD⊥底面ABCD;
(2)求二面角M-BQ-C的大小.
4.设椭圆E:??2??2+??2??2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
?????????⊥??????????若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围:若不存在,请说明理由.
5.(2015甘肃二诊)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数
g(x)=x3+x2[??''(??)+??2]在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:ln22×ln33×ln44×…×ln????<1??(n≥2,n∈N).
参考答案
1.解:(1)由已知Sn=2an-a1,有
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
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即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,
即a1+a3=2(a2+1).
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由(1)得1??
??
=12??.
所以Tn=12+122+…+12??=
1
2[1-(
1
2)
??]
1-12
=1-12??.
由|Tn-1|<11000,得|1-12??-1|<11000,
即2n>1000.
因为29=512<1000<1024=210,
所以n≥10.
于是,使|Tn-1|<11000成立的n的最小值为10.
2.解:(1)由题意知,产品A为合格品的概率约为42+31+7100=45,产品B为合格品的概率约为
40+30+5
100=
3
4.
(2)①随机变量X的所有可能取值为-25,30,50,105.
P(X=-25)=(1-45)(1-34)=120;
P(X=30)=45×(1-34)=15;
P(X=50)=(1-45)×34=320;
P(X=105)=45×34=35.
所以随机变量X的分布列为
X-253050105
P1201532035
E(X)=(-25)×120+30×15+50×320+105×35=75.25.
②生产的5件产品B中,合格品为3,4,5件时,所得利润不少于150元,记“生产5件产品B所
得利润不少于150元”为事件M,
则P(M)=C53×(34)3×(14)2+C54×(34)4×14+C55(34)5=459512.
3.(1)证明:连接PQ,
因为四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点,所以四边形BCDQ为平
行四边形.又因为CD=√3,
所以QB=√3.
因为△PAD是边长为2的正三角形,Q是AD的中点,所以PQ⊥AD,PQ=√3.
在△PQB中,QB=√3,PB=√6,
有PQ2+BQ2=PB2,所以PQ⊥BQ.
因为AD∩BQ=Q,AD,BQ?平面ABCD,
所以PQ⊥平面ABCD.因为PQ?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解:
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4
由(1)知PQ⊥平面ABCD.因为QD∥BC,且QD=BC,∠ADC=90°,
所以BQ⊥AD.
如图,以Q为原点,以QA,QB,QP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则Q(0,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0).
可知平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1).
设M(x,y,z),则??????????=(x,y,z-√3).
??????????=(-1-x,√3-y,-z).
因为??????????=3??????????,
所以{
??=3(-1-??),
??=3(√3-??),
??-√3=3(-??).
解得
{
??=-34,
??=3√34,
??=√34.
所以M(-34,3√34,√34).
在平面MBQ中,?????????=(0,√3,0),??????????=(-34,3√34,√34).
设平面MBQ的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则{?????????·??=0,??????????·??=0,即{
√3??1=0,
-34??1+3√34??1+√34??1=0,令
x1=1,得z1=√3.
所以平面MBQ的一个法向量m=(1,0,√3).
所以cos=??·??|??||??|=√32.
所以二面角M-BQ-C的大小为30°.
4.解:(1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程,得
{
4
??2+
2
??2=1,
6
??2+
1
??2=1,
解得a2=8,b2=4.
所以椭圆E的方程为??28+??24=1.
(2)假设满足题意的圆存在,其方程为x2+y2=R2,其中0
设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m,①
将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
由根与系数的关系,得x1+x2=-4????2??2+1,x1x2=2??2-82??2+1.②
因为?????????⊥?????????,所以x1x2+y1y2=0.③
将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入③,得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.④
将②代入④,得m2=83(1+k2).⑤
因为直线AB和圆相切,所以R=|??|√
1+??2
,
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将其代入⑤得R=2√63,所以存在圆x2+y2=83满足题意.
当切线AB的斜率不存在时,易得??12=??22=83,由椭圆E的方程得??12=??22=83,显然?????????⊥?????????.
综上所述,存在圆x2+y2=83满足题意.
如图,过原点O作OD⊥AB,垂足为D,则D为切点,设∠OAB=θ,则θ为锐角,
且|AD|=2√63tan??,|BD|=2√63tanθ,
所以|AB|=2√63(tan??+1tan??).
因为2≤|OA|≤2√2,所以√22≤tanθ≤√2.
令x=tanθ,易证:
当x∈[√22,1]时,|AB|=2√63(??+1??)单调递减;
当x∈[1,√2]时,|AB|=2√63(??+1??)单调递增.
所以4√63≤|AB|≤2√3.
5.(1)解:当a=-1时,f''(x)=??-1??(x>0),由f''(x)>0,得x∈(1,+∞);
由f''(x)<0,得x∈(0,1),
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).
(2)解:∵f''(x)=??(1-??)??(x>0),∴f''(2)=-??2=1.
∴a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+(??2+2)x2-2x.∴g''(x)=3x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,且g''(0)=-2,∴{??''(??)<0,??''(3)>0.
由题意知,对于任意的t∈[1,2],g''(t)<0恒成立,
∴{
??''(1)<0,
??''(2)<0,
??''(3)>0,
∴-373
(3)证明:由(1)当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),
即-lnx+x-1>0,
∴0
∵n≥2,n∈N,则有0
∴0
∴ln22×ln33×ln44×…×ln????<1??(n≥2,n∈N).
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