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专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围
能力突破训练
1.(2015重庆南开中学月考)已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.
(1)若a<0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;
(2)若对?b∈[-2,-1],?x∈(1,e)使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=ex-e-x-2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.4142<√2<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).
3.(2015湖北武汉高三检测)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处
的切线的斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;
(3)当n>m>1(m,n∈N)时,证明:√??
??
√????>
??
??.
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4.已知函数f(x)=lnx-????,其中a∈R.
(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;
(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线
y=2x+1?(??)没有公共点,求k的取值范围.
5.设函数f(x)=alnx,g(x)=12x2.
(1)记g''(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g''(x)<(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取
值范围;
(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的
值.
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6.(2015四川高考)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一
解.
思维提升训练
7.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈(0,12)∪(12,1),使得f(x0)=f(12).
参考答案
能力突破训练
1.解:(1)f''(x)=2ax+(2-a)-1??=2????2+(2-??)??-1??=(????+1)(2??-1)??.
当-1??<12,即a<-2时,f(x)的单调递增区间为(-1??,12),单调递减区间为(0,-1??),(12,+∞);
当-1??=12,即a=-2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-1??>12,即0>a>-2时,f(x)的单调递增区间为(12,-1??),单调递减区间为(0,12),(-1??,+∞).
(2)对?b∈[-2,-1],?x∈(1,e)使得ax2+bx-lnx<0成立,
即ax2-x-lnx<0在区间(1,e)内有解,即a
即a<(ln??+????2)
max
.
令g(x)=ln??+????2,则g''(x)=-??(??-1+2ln??)??4.
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∵x∈(1,e),∴g''(x)<0,即在区间(1,e)内g(x)单调递减.
∴a
2.解:(1)f''(x)=ex+e-x-2≥0,当且仅当x=0时等号成立,故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,
g''(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
①当b≤2时,g''(x)≥0,当且仅当x=0时等号成立,则g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
因为g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;
②当b>2时,若x满足2
因为g(0)=0,所以当0
综上,b的最大值为2.
(3)由(2)知,g(ln√2)=32-2√2b+2(2b-1)ln2.
当b=2时,g(ln√2)=32-4√2+6ln2>0,ln2>8√2-312>0.6928;
当b=3√24+1时,ln(b-1+√??2-2??)=ln√2,g(ln√2)=-32-2√2+(3√2+2)ln2<0,
ln2<18+√228<0.6934.
所以ln2的近似值为0.693.
3.解:(1)∵f(x)=ax+xlnx,∴f''(x)=a+lnx+1.
又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,
∴f''(e)=3,即a+lne+1=3,
∴a=1.
(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,
若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k≥1+ln????对任意x>0成立.
令g(x)=1+ln????,则问题转化为求g(x)的最大值,g''(x)=
1
??·??-(1+ln??)
??2=-
ln??
??2.
令g''(x)=0,解得x=1.
当00,
∴g(x)在(0,1)内是增函数;
当x>1时,g''(x)<0,
∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.
故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.
(3)令h(x)=??ln????-1,则h''(x)=??-1-ln??(??-1)2.
由(2)知,x≥1+lnx(x>0),∴h''(x)≥0,
∴h(x)是(1,+∞)上的增函数.
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即??ln????-1>??ln????-1,
∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.
整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.
∴(mnn)m>(nmm)n,∴√m
??
√????>
??
??.
4.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f''(x)=??-1??2,
∵当01时,f''(x)>0,
∴f(x)在区间(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
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(2)由g(x)=f(x)+ax=lnx-????+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+∞),g''(x)=????2+??+????2.
∵g(x)在其定义域内为减函数,
∴?x∈(0,+∞),g''(x)≤0.
∴ax2+x+a≤0?a(x2+1)≤-x?a≤-????2+1?a≤[-????2+1]
min
.
又∵????2+1=1
??+1??
≤12,∴-????2+1≥-12,
当且仅当x=1时取等号.∴a≤-12.
(3)∵当a=0时,f(x)=lnx,∴h(x)=ex.
直线l:y=kx与曲线y=2x+1?(??)=2x+1e??没有公共点,等价于关于x的方程(k-2)x=1e??()在R上没
有实数解,
①当k=2时,方程()可化为1e??=0,其在R上没有实数解.
②当k≠2时,方程()可化为1??-2=xex.
令g(x)=xex,则有g''(x)=(1+x)ex.
令g''(x)=0,得x=-1,
当x在区间(-∞,+∞)内变化时,g''(x),g(x)的变化情况如表所示:
x(-∞,-1)-1(-1,+∞)
g''(x)-0+
g(x)↘-1??↗
当x=-1时,g(x)min=-1e,同时当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,故g(x)的取值范围为[-1e,+∞).
因此当1??-2∈(-∞,-1e)时,方程()无实数解,解得k的取值范围是(2-e,2).
综合①②,可知k的取值范围是(2-e,2].
5.解:(1)不等式f(x)+2g''(x)≤(a+3)x-g(x),
即alnx+2x≤(a+3)x-12x2,
化简,得a(x-lnx)≥12x2-x.
由x∈[1,e]知x-lnx>0,
因而a≥
1
2??
2-??
??-ln??.设y=
1
2??
2-??
??-ln??,
则y=(??-1)(??-ln??)-(1-
1
??)(
1
2??
2-??)
(??-ln??)2=
(??-1)(12??+1-ln??)
(??-ln??)2.
∵当x∈(1,e)时,x-1>0,12x+1-lnx>0,
∴y''>0在x∈[1,e]时成立.
由不等式有解,可得a≥ymin=-12,
即实数a的取值范围是[-12,+∞).
(2)当a=1时,f(x)=lnx.
由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立,
设t(x)=??2x2-xlnx(x>0).
由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,
∴t''(x)=mx-lnx-1≥0恒成立,即m≥ln??+1??恒成立.
因此,记h(x)=ln??+1??,得h''(x)=-ln????2.
∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
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∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.
由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.
6.(1)解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f''(x)=2(x-a)-2lnx-2(1+????),
所以g''(x)=2-2??+2????2=2(??-
1
2)
2
+2(??-14)
??2.
当0
在区间(1-√1-4??2,1+√1-4??2)上单调递减;
当a≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)证明:由f''(x)=2(x-a)-2lnx-2(1+????)=0,解得a=??-1-ln??1+??-1.
令φ(x)=-2(??+??-1-ln??1+??-1)lnx+x2-2(??-1-ln??1+??-1)x-2(??-1-ln??1+??-1)
2
+??-1-ln??1+??-1.
则φ(1)=1>0,φ(e)=-e(e-2)1+e-1-2(e-21+e-1)
2
<0.
故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.
令a0=??0-1-ln??0
1+??0-1
,u(x)=x-1-lnx(x≥1).
由u''(x)=1-1??≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
所以0=??(1)1+1
1+??0-1
=a0
即a0∈(0,1).
当a=a0时,有f''(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.
由(1)知,f''(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
故当x∈(1,x0)时,f''(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;
当x∈(x0,+∞)时,f''(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.
所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯
一解.
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7.解:(1)f''(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,
①当a≥1时,Δ≤0,则f''(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;
②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-√1-??,x2=-1+√1-??,
解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-√1-??或x>-1+√1-??,
解不等式x2+2x+a<0,解得-1-√1-??
此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-√1-??)和(-1+√1-??,+∞),
单调递减区间为(-1-√1-??,-1+√1-??).
综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-√1-??)和(-1+√1-??,+∞),单调递减区间为(-1-
√1-??,-1+√1-??).
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(2)f(x0)-f(12)=13??03+??02+ax0+1-13×[(12)3]?(12)2-a·12-1
=13[??03-(12)3]+[??02-(12)2]+a(??0-12)
=13(??0-12)(??02+??02+14)+(??0-12)·
(??0+12)+a(??0-12)=(??0-12)·(??023+??06+112+x0+12+??)=112(??0-12)(4??02+14x0+7+12a).
若存在x0∈(0,12)∪(12,1),使得f(x0)=f(12),则4??02+14x0+7+12a=0在(0,12)∪(12,1)内有解.
∵a<0,∴Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,
方程4??02+14x0+7+12a=0的两根为x1''=-7-√21-48??4,x''2=-7+√21-48??4.
∵x0>0,∴x0=x''2=-7+√21-48??4,
依题意,0<-7+√21-48??4<1,即7<√21-48??<11,∴49<21-48a<121,即-2512
又由-7+√21-48??4=12得a=-54,
∴要使满足题意的x0存在,则a≠-54.
综上,当a∈(-2512,-54)∪(-54,-712)时,存在唯一的x0∈(0,12)∪(12,1)满足f(x0)=f(12),当a∈
(-∞,-2512]∪(-54)∪[-712,0)时,不存在x0∈(0,12)∪(12,1)满足f(x0)=f(12).
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