Gothedistance
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专题能力训练16直线与圆
能力突破训练
1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()
A.-2B.-4C.-6D.-8
2.(2015全国Ⅱ高考)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离
为()
A.53B.√213C.2√53D.43
3.已知直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则实数k的取值范
围是()
A.(-∞,-125)B.(-∞,-125]
C.(-∞,125)D.(-∞,125]
4.(2015全国Ⅱ高考)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()
A.2√6B.8C.4√6D.10
5.已知圆C:x2+y2=1,过第一象限内一点P(a,b)作圆C的两条切线,切点分别为A,B.若∠
APB=60°,则a+b的最大值为.
6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该
圆的方程为.
7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交
于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.
8.(2015河北邢台二模)已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为
M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.
9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-√3y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN的方程;
(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求?????????·?????????的
取值范围.
10.
已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
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11.(2015全国Ⅰ高考)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N
两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若??????????·??????????=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
思维提升训练
12.已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,
则四边形PACB面积的最小值是()
A.√2B.2√2C.√3D.2√3
13.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的
取值范围是()
A.(0,1)B.(1-√22,12)
C.(1-√22,13]D.[13,12)
14.直线√2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形
(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为.
15.
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(2015河南六市高三一联)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-
4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1
和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件
的点P的坐标.
16.已知以点C(??,2??)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原
点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此
时点P的坐标.
参考答案
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1.B解析:由圆的方程x2+y2+2x-2y+a=0可得,圆心为(-1,1),半径r=√2-??.圆心到直线
x+y+2=0的距离为d=|-1+1+2|√2=√2.
由r2=d2+(42)2,得2-a=2+4,所以a=-4.
2.B解析:由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点设为P,
而线段AB垂直平分线的方程为y-√32=√33(??-12),它与x=1联立得圆心P的坐标为(1,2√33),则
|OP|=√12+(2√33)
2
=√213.
3.B解析:当|MN|=2√3时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到
直线y=kx+3的距离为√4-(√3)2=1,即|??+5|√
1+??2
=1,解得k=-125.若使|MN|≥2√3,则k≤-125.
4.C解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{
??+3??+??+10=0,
4??+2??+??+20=0,
??-7??+??+50=0,
解
得{
??=-2,
??=4,
??=-20.
则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0得y2+4y-20=0,
设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-
20,故|MN|=|y1-y2|=√(??1+??2)2-4??1??2=√16+80=4√6.
5.2√2解析:∵P(a,b),∴|PO|=√??2+??2(a>0,b>0).
∵∠APB=60°,∴∠APO=30°,
∴|PO|=2|OB|=2.
∴√??2+??2=2,即a2+b2=4,
∴(a+b)2≤2(a2+b2)=8(当且仅当a=b时取等号),∴a+b的最大值为2√2.
6.(x-1)2+y2=1解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据
|3×1+4×0+2|
√32+42=1=r,所以圆的方程为(x-1)
2+y2=1.
7.x2+(y-1)2=10解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到
直线4x-3y-2=0的距离d=|4×0-3×1-2|5=1.
∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,
∴圆的半径r=√12+32=√10.
∴圆方程为x2+(y-1)2=10.
8.√26-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线
的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到
点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√(2-1)2+(5-0)2=√26,故
|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√26-1.
9.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-√3y=4的距离,
即r=4√1+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.
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则圆心O到直线MN的距离d=|??|√5.
由垂径定理,得??25+(√3)2=22,即m=±√5.
所以直线MN的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0.
(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
得√(??+2)2+??2·√(??-2)2+??2=x2+y2,
即x2-y2=2.
因为?????????·?????????=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),
因为点P在圆O内,所以{0≤??
2+??2<4,
??2-??2=2.由此得0≤y
2<1.所以?????????·?????????的取值范围为[-2,0).
10.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-
|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.
取点A关于y轴的对称点A'',连接A''B,
则|A''B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A''B|=4>|A''A|.
所以点B的轨迹是以A'',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,故曲线Γ的方程
为??24+y2=1.
(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,
则?????????⊥?????????.设B(x0,y0),
则x0(x0-√3)+??02=0.
又??024+??02=1,解得x0=2√3,y0=±√2√3.
则kOB=±√22,kAB=?√2,则直线AB的方程为y=±√2(x-√3),
即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0.
11.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以|2??-3+1|√
1+??2
<1.
解得4-√73
所以k的取值范围为(4-√73,4+√73).
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=4(1+??)1+??2,x1x2=71+??2.
??????????·??????????=x1x2+y1y2
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=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4??(1+??)1+??2+8.
由题设可得4??(1+??)1+??2+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.
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12.C解析:
如图所示,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径为r=1.
根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC=2×12|PA|r=|PA|,
则当|PA|最小时,四边形PACB的面积最小.
因为|PA|=√|????|2-1,
所以当|PC|最小时,|PA|最小,
此时,直线CP垂直于直线l:3x-4y+11=0.
因为|PC|的最小值为圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离d=|3-4+11|√
32+42
=105=2,
所以|PA|=√|????|2-1=√22-1=√3.
故四边形PACB面积的最小值为√3.
13.B解析:
由题意可得,△ABC的面积为S=12·AB·OC=1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(-????,0),由-????≤0可得点M在射线OA上.
设直线和BC的交点为N,又直线BC的方程为x+y=1,
则由{??=????+??,??+??=1,可得点N的坐标为(1-????+1,??+????+1).
①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-????=-1,且??+????+1=12,解得a=b=13.
②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于12,即
1
2·|MB|·yN=
1
2,即
1
2·(1+
??
??)·
??+??
??+1=
1
2,解得a=
??2
1-2??>0,则b<
1
2.
③若点M在点A的左侧,则-????<-1,b>a,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由{??=????+??,??=??+1,求
得点P的坐标为(1-????-1,??-????-1),
此时,NP=√(1-????+1-1-????-1)
2
+(??+????+1-??-????-1)
2
=√[-2(1-??)(??+1)(??-1)]
2
+[2??(??-1)(??+1)(??-1)]
2
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=√4(1+??2)(1-??)
2
(??+1)2(??-1)2=
2|1-??|
|(??+1)(??-1)|√1+??
2,
此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为|0-1+??|√
1+??2
=|??-1|√
1+??2
,
由题意可得,△CPN的面积等于12,
即12·2|1-??||(??+1)(??-1)|√1+??2·|??-1|√
1+??2
=12,
化简,得2(1-b)2=|a2-1|.
由于此时0
∴2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.
两边开方可得√2(1-b)=√1-??2<1,则1-b<1√2,即b>1-√22,
综合以上可得,b=13符合题意,且b<12,b>1-√22,即b的取值范围是(1-√22,12).
14.√2-1解析:根据题意画出图形,如图所示,过点O作OC⊥AB于点C,
因为△AOB为等腰直角三角形,
所以C为弦AB的中点.
又|OA|=|OB|=1,根据勾股定理得|AB|=√2,
所以|OC|=12|AB|=√22.
所以圆心到直线的距离为1√
2??2+??2
=√22,
即2a2+b2=2,即a2=-12b2+1≥0.
所以-√2≤b≤√2.则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离
d=√(??-0)2+(??-1)2=√??2+??2-2??+1=√12??2-2??+2.
设f(b)=12b2-2b+2=12(b-2)2,此函数的图象是对称轴为x=2的开口向上的抛物线,
所以当-√2≤b≤√2<2时,函数f(b)为减函数.
因为f(√2)=3-2√2,所以d的最小值为√3-2√2=√2-1.
15.解:(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离
d=√22-(2√32)
2
=1.
由点到直线距离公式,得|-3??-1-4??|√
??2+1
=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.
当k=0时,直线l的方程为y=0;
当k=-724时,直线l的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.
故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-1??(x-m),
即kx-y+n-km=0,-1??x-y+n+1??m=0.
∵直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等,
∴由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.
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∴|-3??-1+??-????|√
??2+1
=|-
4
??-5+??+
1
????|
√1??2+1
,
化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.
∵关于k的方程有无穷多解,
∴{2-??-??=0,??-??-3=0或{??-??+8=0,??+??-5=0.
解得{
??=52,
??=-12
或{
??=-32,
??=132.
故点P的坐标为(52,-12)或(-32,132).
16.(1)证明:由题设知,圆C的方程为(x-t)2+(??-2??)2=t2+4??2,化简,得x2-2tx+y2-4??y=0.当y=0时,x=0
或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或4??,则B(0,4??),故S△AOB=12|OA|·|OB|=12|2t|·|4??|=4为定值.
(2)解:∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=
2
??
??=
2
??2=
1
2,∴t=2或t=-2.
∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线
与圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)解:点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B''(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB''|+|PQ|≥|B''Q|.
又点B''到圆上点Q的最短距离为|B''C|-r=√(-6)2+(-3)2?√5=3√5?√5=2√5,
所以|PB|+|PQ|的最小值为2√5,直线B''C的方程为y=12x,则直线B''C与直线x+y+2=0的交
点P的坐标为(-43,-23).
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