Gothedistance
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专题能力训练18直线与圆锥曲线
能力突破训练
1.(2015江西九江高三一模)已知点P为双曲线??216???29=1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线
的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若??△??????1=??△??????2+8,则△MF1F2的面积为()
A.2√7B.10C.8D.6
2.已知椭圆E:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中
点坐标为(1,-1),则E的方程为()
A.??245+??236=1B.??236+??227=1
C.??227+??218=1D.??218+??29=1
3.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B
两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()
A.4B.2√2C.2D.√2
4.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程
为()
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)
C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)
D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)
5.(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:??2??2???2??2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线
C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.
6.(2015山东烟台高三一模)已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴
不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得?????????·?????????=?????????·??????????若存在,求出实数t
的取值范围;若不存在,说明理由.
7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:??2??2+??2??2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于
A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
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2
8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上
异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为√2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在一定点E(x0,0)(0
时,1|??????????|2+1|?????????|2为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
9.已知椭圆C:??22+y2=1与直线l:y=kx+m相交于E,F两点,且直线l与圆O:x2+y2=23相切于点
W(O为坐标原点).
(1)证明:OE⊥OF;
(2)设λ=|????||????|,求实数λ的取值范围.
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思维提升训练
10.(2015河北石家庄高三质检)定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,
动点P满足?????????=2?????????.
(1)求点P的轨迹曲线C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求??????????·??????????的最大值.
11.已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的上顶点为A,右顶点为B,离心率e=√22,O为坐标原点,圆
O:x2+y2=23与直线AB相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C相交于E,F两不同点,若椭圆C上一点P满足OP∥l.求△
EPF面积的最大值及此时的k2.
12.
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(2015福建高考)已知椭圆E:??2??2+??2??2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√22.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-94,0)与以线段AB为直径的圆的
位置关系,并说明理由.
参考答案
能力突破训练
1.B解析:设内切圆的半径为R,a=4,b=3,c=5.
∵??△??????1=??△??????2+8,
∴12(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,∴R=2.
∴??△????1??2=12·2c·R=10.故选B.
2.D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A,B在椭圆上,∴{
??12
??2+
??12
??2=1,①
??22
??2+
??22
??2=1,②
由①-②,得
(??1+??2)(??1-??2)
??2+
(??1+??2)(??1-??2)
??2=0,
即??
2
??2=-
(??1+??2)(??1-??2)
(??1+??2)(??1-??2).
∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,
而??1-??2??
1-??2
=kAB=0-(-1)3-1=12,∴??
2
??2=
1
2.
∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为??218+??29=1.故选D.
3.C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线
与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).
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因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准
线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2√(√2)2-12=2.
4.C解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛
物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
在△AMK中,由|????||????|=|????||????|,得??3??=????+4??,
解得x=2t,则cos∠NBK=|????||????|=????=12,
∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k=tan60°=√3,故直线方程为y=√3(x-1).
当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-√3(x-1),故选C.
5.32解析:双曲线的渐近线为y=±????x.由{??=
??
????,
??2=2????,
得A(2??????,2??
2??
??2).
由{??=-
??
????,
??2=2????,
得B(-2??????,2??
2??
??2).
∵F(0,??2)为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.
即
2??2??
??2-
??
2
2????
??-0
·(-????)=-1,解得??
2
??2=
5
4,
∴??2??2=94,即可得e=32.
6.解:(1)由题意知c=1,又????=tan60°=√3,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为??24+??23=1.
(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入??24+??23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=??1+??22=4??
2
3+4??2,y0=k(x0-1)=-
3??
3+4??2.
由?????????·?????????=?????????·?????????,得?????????·(?????????+?????????)=?????????·(2?????????)=0,
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6
所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,
直线TR的方程为y+3??3+4??2=-1??(??-4??
2
3+4??2).
令y=0得点T的横坐标t=??
2
3+4??2=
1
3
??2
+4
.
因为k2∈(0,+∞),所以3??2+4∈(4,+∞),
所以t∈(0,14).
所以线段OF上存在点T(t,0),使得?????????·?????????=?????????·?????????,其中t∈(0,14).
7.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
则??12??2+??1
2
??2=1,
??22
??2+
??22
??2=1,
??2-??1
??2-??1=-1,
由此可得??
2(??2+??1)
??2(??2+??1)=-
??2-??1
??2-??1=1.
因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,??0??
0
=12,所以a2=2b2.
又由题意知,M的右焦点为(√3,0),所以a2-b2=3.
所以a2=6,b2=3.
所以M的方程为??26+??23=1.
(2)由{
??+??-√3=0,
??2
6+
??2
3=1,
解得{
??=4√33,
??=-√33
或{??=0,??=√3.因此|AB|=4√63.由题意可设直线CD的方程为
y=x+n(-5√33
设C(x3,y3),D(x4,y4).
由{
??=??+??,
??2
6+
??2
3=1
得3x2+4nx+2n2-6=0.
于是x3,4=-2??±√2(9-??2)3.
因为直线CD的斜率为1,
所以|CD|=√2|x4-x3|=43√9-??2.
由已知,四边形ACBD的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-??2.
当n=0时,S取得最大值,最大值为8√63.
所以四边形ACBD面积的最大值为8√63.
8.解:(1)设椭圆的方程为??2??2+??2??2=1(a>b>0),
由已知可得12·2a·b=ab=√2.①
∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②
由①②可得a=√2,b=1,
故椭圆C的方程为??22+y2=1.
(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,
则1|????
1????????|2
+1|????
1???????|2
=1|????
2????????|2
+1|????
2???????|2
,
即2
1-??0
2
2
=1(??
0+√2)2
+1(??
0-√2)2
,解得x0=√63,
∴E若存在必为(√63,0),定值为3.
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证明如下:
设过点E(√63,0)的直线方程为x=ty+√63,代入C中得(t2+2)y2+2√63ty-43=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-
2√6
3??
??2+2=-
2√6??
3(??2+2),y1y2=-
4
3(??2+2),
1
|??????????|2+
1
|?????????|2=
1
(1+??2)??12+
1
(1+??2)??22=
1
1+??2·(
1
??12+
1
??22)=
1
1+??2·
(??1+??2)2-2??1??2
??12??22=
1
1+??2·
[-2√6??3(??2+2)]
2
+83(??2+2)
[-43(??2+2)]
2=3.
综上得定点为E(√63,0),定值为3.
9.解:(1)因为直线l与圆O相切,
所以圆x2+y2=23的圆心到直线l的距离d=|??|√
1+??2
=√23,从而m2=23(1+k2).
由{
??2
2+??
2=1,
??=????+??,
整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1+x2=-4????1+2??2,x1x2=2??2-21+2??2,
所以?????????·?????????=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)·(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)2??2-21+2??2+-4??
2??2
1+2??2+m
2
=3??2-2??
2-2
1+2??2=
2(1+??2)-2??2-2
1+2??2=0.
所以OE⊥OF.
(2)因为直线l与圆O相切于W,??122+??12=1,??222+??22=1,
所以λ=|????||????|=
√|????|2-??2
√|????|2-??2
=
√??12+??12-23
√??22+??22-23
=
√??12
2+
1
3
√??22
2+
1
3
.
由(1)知x1x2+y1y2=0,
所以x1x2=-y1y2,即??12??22=??12??22,
从而??12??22=(1-??122)(1-??222),即??22=4-2??122+3??
12
,
所以λ=
√??12
2+
1
3
√??22
2+
1
3
=2+3??124.
因为-√2≤x1≤√2,所以λ∈[12,2].
思维提升训练
10.解:(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
由?????????=2?????????得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
即{??=2(??0-??),??-??
0=-2??
?{??0=
3
2??,
??0=3??.
因为??02+??02=9,所以(32??)2+(3y)2=9,化简,得??24+y2=1,
所以点P的轨迹方程为??24+y2=1.
(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,??????????·??????????=(2,0)·(-2,0)=-4,
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8
当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立{
??2
4+??
2=1,
??=????+1
并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-2????2+4,y1y2=-3??2+4,
??????????·??????????=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-3??2+4+t·-2????2+4+1=-4??2+1??2+4=
-4(??2+4)+17
??2+4=-4+
17
??2+4.
又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,
对于上式,当t=0时,(??????????·??????????)max=14.
综上所述,??????????·??????????的最大值为14.
11.解:(1)由题意,直线AB的方程为????+????=1,即为bx+ay-ab=0.
因为圆O与直线AB相切,所以|????|√
??2+??2
=√23,??2??
2
??2+??2=
2
3.①
设椭圆的半焦距为c,因为b2+c2=a2,e=????=√22,
所以??2-??
2
??2=
1
2.②
由①②得a2=2,b2=1.
所以椭圆C的标准方程为??22+y2=1.
(2)由{
??2
2+??
2=1,
??=??(??-2),
整理,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=8??
2
1+2??2,x1x2=
8??2-2
1+2??2,所以|EF|=√1+??
2|x1-x2|=√1+??2·
√(??1+??2)2-4??1??2=√1+??2√8-16??2(1+2??2)2.
又点O到直线EF的距离d=|2??|√
1+??2
,
因为OP∥l,所以S△EPF=S△EOF=12|EF|d=2√2√??
2(1-2??2)
(1+2??2)2.
又Δ=8-16k2>0,所以k2<12.
因为k≠0,所以0
令t=1+2k2∈(1,2),则??
2(1-2??2)
(1+2??2)2=-
1
2?
1
??2+
3
2??=-(
1
??-
3
4)
2+1
16,
所以当t=43,k2=16时,??
2(1-2??2)
(1+2??2)2最大值为
1
16.
故当k2=16时,△EPF的面积的最大值为√22.
12.解:(1)由已知,得{
??=√2,
??
??=
√2
2,
??2=??2+??2,
解得{
??=2,
??=√2,
??=√2.
所以椭圆E的方程为??24+??22=1.
(2)方法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由{
??=????-1,
??2
4+
??2
2=1
得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2????2+2,y1y2=-3??2+2,
从而y0=????2+2.
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9
所以|GH|2=(??0+94)2+??02=(????0+54)2+??02=(m2+1)??02+52my0+2516.
|????|2
4=
(??1-??2)2+(??1-??2)2
4
=(1+??
2)(??
1-??2)
2
4
=(1+??
2)[(??
1+??2)
2-4??
1??2]
4
=(1+m2)(??02-y1y2),
故|GH|2-|????|
2
4=
5
2my0+(1+m
2)y
1y2+
25
16
=5??22(??2+2)?3(1+??2)??2+2+2516
=17??2+216(??2+2)>0,
所以|GH|>|????|2.
故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外.
方法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则?????????=(??1+94,??1),?????????=(??2+94,??2).
由{
??=????-1,
??2
4+
??2
2=1
得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2????2+2,y1y2=-3??2+2,
从而?????????·?????????=(??1+94)(??2+94)+y1y2
=(????1+54)(????2+54)+y1y2
=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516
=-3(??2+1)??2+2+
5
2??
2
??2+2+
25
16
=17??2+216(??2+2)>0,
所以cos>0.
又?????????,?????????不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G(-94,0)在以AB为直径的圆外.
|
|
