Gothedistance
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专题能力训练22几何证明选讲(选修4—1)
能力突破训练
1.
(2015云南弥勒模拟)如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点
F,FG切圆O于点G.
(1)求证:△DEF∽△EAF;
(2)如果FG=1,求EF的长.
2.(2015全国Ⅰ高考)
如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.
(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;
(2)若OA=√3CE,求∠ACB的大小.
3.
如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C,D两点,交圆O于E,F
两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于点H.
(1)求证:B,D,H,F四点共圆;
(2)若AC=2,AF=2√2,求△BDH外接圆的半径.
Gothedistance
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4.
如图,在△ABC中,AB=AC=4,D是AC的中点,E是BC上一点,AE与DB交于点F,∠BAE=∠
CBD.
(1)求证:C,D,F,E四点共圆;
(2)已知BF=2,求FD的长.
5.(2015河北唐山一中仿真)如图,AB是☉O的弦,C,F是☉O上的点,OC垂直于弦AB,过点F
作☉O的切线交AB的延长线于点D,连接CF交AB于点E.
(1)求证:DE2=DB·DA;
(2)若BE=1,DE=2AE,求DF的长.
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6.
(2015湖南高考)如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直
线CD相交于点F.证明:
(1)∠MEN+∠NOM=180°;
(2)FE·FN=FM·FO.
7.
如图,已知AB为☉O的直径,CD是☉O的切线,C为切点,AD⊥CD交☉O于点E,连接
AC,BC,OC,CE,延长AB交CD于点F.
(1)证明:BC=CE;
(2)证明:△BCF∽△EAC.
思维提升训练
8.
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于D,过点D作☉O的切线交BC于
E,AE交☉O于点F.
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(1)证明:E是BC的中点;
(2)证明:AD·AC=AE·AF.
9.
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC
上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
10.
(2015中原名校联盟模拟)如图,△ABC的顶点都在圆O上,点P在BC的延长线上,且PA与圆
O切于点A.
(1)若∠ACB=70°,求∠BAP的度数;
(2)若????????=25,求????????的值.
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参考答案
能力突破训练
1.(1)证明:因为EF∥CB,所以∠DEF=∠ECB.
又∠ECB=∠BAD,
所以∠DEF=∠BAD.因为∠DFE=∠DFE,所以△DEF∽△EAF.
(2)解:由△EAF∽△DEF,得FE2=FD·FA,
因为FG为切线,所以FG2=FD·FA,
所以EF=FG=1.
2.
(1)证明:连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连接OE,则∠OBE=∠OEB.
又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.
(2)解:设CE=1,AE=x,由已知得AB=2√3,BE=√12-??2.
由射影定理可得,AE2=CE·BE,
所以x2=√12-??2,即x4+x2-12=0.
可得x=√3,所以∠ACB=60°.
3.(1)证明:因为AB为圆O的一条直径,所以BF⊥FH.
又DH⊥BD,所以B,D,H,F四点共圆.
(2)解:因为AH与圆B相切于点F,
由切割线定理得AF2=AC·AD,代入解得AD=4,所以BD=12(AD-AC)=1,BF=BD=1.
又△AFB∽△ADH,所以????????=????????,
由此得DH=????·????????=√2.
由(1)知,BH为△BDH外接圆的直径,BH=√????2+????2=√3,
故△BDH外接圆的半径为√32.
4.(1)证明:因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB.
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因为∠BAE=∠CBD,所以△ABE∽△BCD.
所以∠AEB=∠BDC.
所以C,D,F,E四点共圆.
(2)解:由(1)知△ABE∽△BCD,所以????????=????????.
因为AB=AC=4,D是AC的中点,
所以BC×BE=AB×CD=8.
又由(1)知,C,D,F,E四点共圆,
所以BF×BD=BE×BC=8.
因为BF=2,所以BD=4.
所以FD=BD-BF=2.
5.
(1)证明:连接OF.∵OC=OF,
∴∠OCF=∠OFC.
∵DF是☉O的切线,
∴OF⊥DF.
∵OC垂直于弦AB,∠AEC与∠OCF互余,∠DFE与∠OFC互余,
∴∠AEC=∠DFE,∴∠DEF=∠DFE,
∴DE=DF.∵DF是☉O的切线,
∴DF2=DB·DA,∴DE2=DB·DA.
(2)解:设AE=x,则DE=2x,DF=2x.
∵DF2=DB·DA,∴(2x)2=3x(2x-1),
解得2x=3,∴DF的长为3.
6.证明:
(1)如图,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,
所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.
又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.
(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.
7.证明:(1)∵CD为圆O的切线,C为切点,AB为圆O的直径,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠CAE.
又OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠CAE,∴BC=CE.
(2)由弦切角定理可知,∠FCB=∠OAC,
∴∠FCB=∠CAE.
∵四边形ABCE为圆O的内接四边形,
∴∠FBC=∠CEA,∴△BCF∽△EAC.
思维提升训练
8.证明:(1)连接BD,因为AB为☉O的直径,
所以BD⊥AC.
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又∠ABC=90°,所以CB切☉O于点B,且ED切☉O于点D,
因此EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C,
所以∠CDE=∠C,得EC=ED,
因此EB=EC,即E是BC的中点.
(2)连接BF,可知BF是Rt△ABE斜边上的高,可得△ABE∽△AFB.
于是有????????=????????,即AB2=AE·AF,
同理可证AB2=AD·AC,
所以AD·AC=AE·AF.
9.(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,
所以∠DCB=∠A.由题设知????????=????????,
故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
因为B,E,F,C四点共圆,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)解:连接CE.因为∠CBE=90°,
所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.
10.解:(1)∵PA与圆O切于点A,
∴∠CAP=∠ABC.
而∠ACP=∠ABC+∠BAC,
∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP,
∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°,
而∠ACB=70°,∴∠BAP=110°.
(2)由(1)可得∠CAP=∠ABC,
而∠APC=∠APC,∴△PAC∽△PBA,
∴????????=????????,∴PA=????·????????,
即PA2=????2·????2????2.
由切割线定理可得PA2=PB·PC,
故PB·PC=????2·????2????2,∴????????=????2????2=425.
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