重视动手操作活动培养探究发现能力
——青岛版《义务教育教科书·数学》八年级下册第6章“平行四边形”介绍
山东沂南教育局（276399）李树臣
【文章的三部分发表在北京《中小学数学》2015年第6期】
平行四边形是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》界定的“图形与几何”中的重要内容。无论在自然界，还是在人们的生产与生活中，平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）都随处可见，它不仅为我们生活的世界增添了绚丽的光彩，也给人们带来了美的感受。
本章是在学生已经学过平行四边形的简单知识、平行线、三角形、多边形初步知识的基础上安排的，是平行线和三角形知识的应用和发展，也是进一步研究圆和多边形等知识的基础，对于学生的后继学习具有重要的奠基作用。
一、教材分析
1、本章的知识结构如图1所示：
2、内容简析
本章的主要内容包括三个方面：一是探索平行四边形的性质定理和判定定理；二是以平行四边形的性质定理和判定定理为基础研究矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质与判定；三是研究三角形的中位线定理等。
本章教材共分4节。第6.1节主要研究平行四边形的概念及性质，这是本章的重点内容之一，也是后面将要学习的各种“特殊平行四边形”的基础。教材首先用“观察与思考”设计了4个活动：（1）观察生活中平行四边形的实例；（2）识别给定的三幅图片中的平行四边形；（3）抽象、概括出平行四边形的两组对边的位置关系；（4）发现并证明平行四边形两组对边长度的关系。通过前三个活动，使学生经历从生活体验出发抽象出几何图形和数学概念的过程，并建立平行四边形的定义。通过活动（4），引导学生探索并证明平行四边形的性质定理1——平行四边形的对边相等。在证明定理1的过程中，顺便推导出定理2——平行四边形的对角相等。然后用“实验与探究”栏目引导学生进行如下探究活动：（1）剪平行四边形纸片；（2）沿对角线把平行四边形纸片剪成四个三角形，找全等的三角形；（3）发现并证明相等的线段。从而得到定理3——平行四边形的对角线互相平分。
第6.2节，教材首先通过“观察与思考”设计了三个问题：（1）画满足“一组对边平行且相等”的四边形；（2）观察、猜想所画四边形的形状；（3）理性思考，证明猜想的正确性。前一个活动的目的是使学生形成感性认识。后两个问题把学生引向有目的的观察、合理的猜想和理性的思考，使他们再次经历从感性到理性的认识过程。学生在参与以上活动并思考给定问题的过程中，能得到判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。然后通过“交流与发现”活动，引导学生（1）探索“能不能通过两组对边分别相等推出其中一组对边平行？”（2）画“两组对边分别相等的四边形”，猜测并证明该四边形是平行四边形。从而发现判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。最后用“交流与发现”栏目引导学生（1）分析平行四边形的性质定理（平行四边形的对角线互相平分）的逆命题；（2）画符合逆命题要求的四边形；（3）猜测并证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。从而得到判定定理3。
第6.3节设计了大量的实验、探究、观察、思考、交流等活动，用这些活动引导学生集中系统的研究了特殊平行四边形，包括矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，重点是它们的性质和判定。矩形、菱形都是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，兼有矩形、菱形的特殊性，这种包含关系决定了它们的性质及判定定理之间具有一般与特殊的关系。教材按照矩形菱形正方形的顺序，对它们的概念、性质与判定进行了深入探讨与研究。
第6.4节教材用“实验与探究”设计了五个活动，其中，活动（1）是让学生画出三角形两边中点的连线，由此引出中位线的定义。活动（2）是一个操作性的问题，要求学生把一个三角形沿中位线剪开并进行拼接，猜测拼出的图形形状。学生通过实际操作可以发现三角形问题能转化为平行四边形进行研究，这样安排既为定理的证明做好铺垫，又体现了三角形与平行四边形之间的内在联系，加深了对转化思想的认识。活动（3）意在引导学生观察活动（2）拼出的图形，发现并归纳出三角形中位线的性质。活动（4）意在通过变式训练进一步验证前面得到的结论。活动（5）引导学生猜想三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，并写出证明过程，从而得到三角形的中位线定理。
3、学习目标
《课标（2011年版）》对于课程“总目标”是从“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”和“情感态度”四个方面进行论述的。在“教学建议”中强调“数学教学活动要注重课程目标的整体实现”，根据上述要求，我们确定本章的学习目标如下：
知识技能：（1）经历对四边形观察与分析过程，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系。（2）探索并证明四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。（3）经历三角形中位线定理的探索过程，掌握这个定理。
数学思考：（1）在新的问题情境中丰富对图形的认识，进一步发展探索与研究图形性质的能力，了解图形变换的思想方法，巩固已初步建立起来的空间观念和几何直觉。（2）在本章有关定理的探索与证明中，进一步体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。（3）在对四边形的观察、探索与猜想活动中，进一步发展合情推理能力。
问题解决：（1）能利用已有的经验，结合新的问题情境发现并提出数学问题。（2）能尝试评价平行四边形、矩形、菱形、正方形等不同概念和性质之间的差异。（3）能对有关定理的证明给出清楚的表达。（4）在问题解决的过程中，培养推理和论证意识。
情感态度：（1）学习逐步深入，问题逐渐复杂，敢于面对学习中的困难提高学好数学的自信心。（2）在对四边形的探索中，获得数学发现的成功体验，增强学习数学的乐趣，积极参与数学学习活动。（3）在有关定理的学习中，进一步感受证明的必要性，体验数学的严谨性以及数学结论的确定性。（4）体会在问题解决的过程中与他人合作的重要性。
二、编写中注意的问题
1、注重体现整体性，反映数学实质
《课标（2011年版）》指出，教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，努力体现课程内容的数学实质。本章围绕平行四边形这一主题教学内容，在选用学习素材时，综合考虑到学生的生活现实，八年级学生的认知水平和已有的数学活动经验，精心设计了观察、操作、归纳、抽象、猜想、证明等大量的数学活动，呈现方式丰富多彩。结构严谨，脉络清楚，特色鲜明。既注意体现教学内容的数学实质，又保持了整套教科书的编写风格。
例如，矩形、菱形性质定理的引入，借助于学生已了解的轴对称性；平行四边形、矩形、菱形判定定理的引入，借助于它们与性质定理的互逆关系，探索其逆命题。在这个过程中，对于一些条件不足的命题，要求学生举出反例判断它是假命题，并尝试适当增加命题的条件，使其成为真命题。对于一些条件过强的真命题，则尝试去掉一些条件，使其成为定理。教科书的这种设计，不仅有助于反映数学的本质，理解所学知识的内涵，增强其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，不断积累数学活动经验。而且通过揭示相关数学知识之间的内在联系，有助于学生从整体上理解数学，建构数学认知结构，提高他们的数学素养。
2、注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程
《课标（2011年版）》把“推理能力”作为核心词之一。并强调说，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。我们力求把培养合情推理与演绎推理作为贯穿本套教材的主线之一。本章在内容的处理上，力求将合情推理与初步的演绎推理相结合，特别注重实验几何的教学，对于平行四边形及其特殊四边形的性质及判定方法等知识，都是利用“观察与思考”“实验与探究”、“交流与发现”等栏目提出有关的问题，以此引导学生进行动手操作、实验、交流、猜想、验证等数学活动，在“亲身”体验有关数学知识发展进程的过程中发现新知，这样就为学生的自主发展创造了广阔的空间，使他们能自主探索图形的性质，不断提高合情推理能力，以及有条理地进行思考与符合逻辑地进行表达的能力，从而逐步养成推理的意识。
例如，为了探究矩形的性质，教科书通过“观察与思考”栏目提出三个问题，引导学生沿矩形两组对边的中点所在的直线折叠矩形纸片，利用矩形的轴对称性，研究矩形的四个角的性质，比较矩形对角线的长度等活动，在此基础上，得到矩形的两条性质。这样处理方式，将实验几何与论证几何有机地整合在一起，使学生经历了一个实验、探究、归纳、推理的全过程。
3、有利于促进学生数学活动经验2011年版）》在“课程基本理念”中指出，课程内容“要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”本章依次研究平行四边形、矩形、菱形正方形平行四边形的内容下三个基本事实：（1）知识脉络定义性质判定方法应用考察的基本元素边、角与对角线关注的主要关系度量关系与位置关系而学生在学习平行四边形过程中获得的数学活动经验一旦积累起这些数学活动经验在后续矩形、菱形、正方形的学习中发挥积极的作用，经过几次这样的学习活动，最终会使学生获得研究四边形的数学活动经验AC和BD之间具有
什么位置关系？
（3）你能运用菱形的定义及平行四边形的性质，证明
你得到的命题是真命题吗？与同学交流。
学生借助于直观的操作，不难发现菱形具有下面的两条性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
3、注意合情推理和论证推理相辅相成
学习数学的最好方法是做数学，以已有的知识和经验为基础的建构结论2011年版）》和教科书，对“平行四边形”一章所作的教学研究，不妥之处敬请读者批评指正，我们的目的只有一个，就是希望教师们能创造性地使用教材，不要迷信教材，要以它为平台，提高学生的知识素养，从而促进学生全面、健康、和谐发展，这理应是我们广大教师的责任和义务。
1
判定定理
性质定理
正方形
菱形
矩形
特殊平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形
定义
利用对角线的特征
利用边的特征
判定
平
行
四
边
形
定义
图3
A
B
C
A/
B/
C/
图4
A（C/）
）
B
C（A/）
B/
轴对称
对称性
每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直
对角线互相平分
对角线的性质
对角相等
角的性质
四边相等
对边平行
边的性质
性质
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
三角形中位线定理
定义
菱形
图5
D
C
B
A
图2
图1
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