注重整体设计，突出几何直观
——青岛版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十章“一次函数”简介
山东沂南教育局（276399）李树臣
【发表在湖北大学《中学数学》2015年第7期】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）强调指出“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性。”教材的整体设计“要体现内容领域的核心”，突出核心词。我们在编写青岛版《义务教育教科书·数学》时对函数内容采取的是“提前渗透、分层推进、及时穿插、不断深化”的安排方式，充分体现出“函数”在课程领域的核心地位。在编排八年级下册第十章“一次函数”时，体现了“整体设计，突出直观”的原则。为帮助教师更好的研究和使用教材，教好与一次函数有关的知识，进而形成以“函数”为主线的认知结构，笔者就本章的编写和教学研究问题，谈以下三点：
一、本章内容概述与教学目标
1.知识结构（如图1所示）
2.内容概述
本章（含6节）是在学生对函数已有感性认识的基础上，进一步研究形如y=kx+b（k≠0）的一类具体的函数。主要内容包括：函数的图象、一次函数的图象及其性质、一次函数与二元一次方程以及与一元一次不等式的关系、建立一次函数模型解答实际问题。
第1节“函数的图象”是全章的基础部分，教科书在学生已有认识的基础上，用“实验与探究”栏目给出的6个问题，引导学生进行“饮料瓶放水实验”活动，学生通过记录数据、列表、描点、画图等活动，借助于直角坐标系中画出的曲线感悟曲线能表示出饮料瓶中水面下降高度L与放水时间t之间的函数关系，目的在于让学生经历实验活动过程，积累数学活动经验，会在直角坐标系中用一条曲线表示出L与t的函数关系，从而给出表示变量之间函数关系的图象法的概念，感受用图象法表示函数关系的直观特点。
第2节“一次函数和它的图象”，采用《课标（2011年版）》倡导的“问题情境—建立模型—求解验证”的呈现模式，首先以“高铁列车”问题引导学生思考，从而得到高铁列车离开上海站的距离s与时间t之间的函数关系s=10+300t，结合前面接触过的几个具体的函数表达式，抽象出一次函数的一般形式。然后在引导学生观察前面已经用描点法画出的一次函数图象的基础上，概括出一次函数图象的特征是一条直线，并引导学生关注直线与两坐标轴的交点情况，初步体会一次函数与一元一次方程的联系，进而得出画一次函数图象的简便方法。最后结合例题给出了用待定系数法确定一次函数表达式的过程。
第3节“一次函数的性质”，用“观察与思考”栏目中的4个问题引导学生经历画图、观察、思考、归纳、交流等活动，探索一次函数y=kx+b当k＞0和k＜0时，图象的变化趋势，从而总结出一次函数的性质。体现了由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程。
第4节“一次函数与二元一次方程”，用“观察与思考”栏目中的6个问题引导学生通过思考和操作，探索二元一次方程与一次函数图象、二元一次方程组与一次函图象、方程组的解与对应图象交点的坐标之间的相互关系，并引入二元一次方程组的图象解法。这样的设计体现了数学的整体性，有利于培养学生的识图技能，进一步感悟数形结合以及转化的数学思想方法。
第5节“一次函数与一元一次不等式”，教科书以直线y=2x+4为例，引导学生通过观察与交流等活动，发现一次函数与一元一次不等式的联系。通过一个例题，综合运用了一元一次方程、一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组的图象解法等知识，加深学生对上述知识相互关联的认识。解题过程借助了几何直观的作用，体现了转化、数形结合思想的运用。
第6节“一次函数的应用”，通过现实生活中的一些实例介绍了一次函数的应用。目的是让学生体会一次函数是刻画现实世界数量关系的模型。在利用一次函数解决简单实际问题的过程中，感悟数形结合、转化和建模的思想，增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力。
3.教学目标
（1）结合实例，体会表示函数关系的图象法以及用描点法画函数图象的步骤，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
（2）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
（3）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
（4）能画出一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况。
（5）理解正比例函数。
（6）体会一次函数与二元一次方程（组）以及一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对方程、不等式的认识，理解数学知识之间的实质性联系，感悟数学知识的整体性和数学方法的一般性。
（7）能运用一次函数解决简单的实际问题。进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。
（8）通过本章的学习，感悟分类、转化、数形结合以及模型思想，发展几何直观，感悟数学的应用价值。
二、编写时重点考虑的三个问题
1.统筹安排，整体规划，体现螺旋上升的原则
《课标（2011年版）》指出：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的”。“教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级推进、螺旋上升的原则”。
函数是数学中极为重要的基本概念，它对数学的发展有着重大影响，是数学学习中的重要知识点。由于函数概念表示方法不唯一，抽象性较强，又涉及运动变化，因此，也是学生感到难理解和掌握的概念。为了分散难点，体现《课标（2011年版）》的上述精神，帮助学生通过一段较长时期的学习，逐步形成并加深对函数概念的理解，我们在青岛版教材中对函数内容是分三个阶段呈现的：
第一阶段安排在七（上），学生在学习求代数式的值后，通过一些具体例子，已经感受到当代数式中字母的取值发生变化时，这个代数式的值也相应发生变化。在此基础上给出了变量与函数的概念，这样安排，学生可及早获得对函数的初步认识，能用函数的观点去看代数式，并给将来学习方程根的估计，分式和二次根式中字母可以取值的范围等内容埋下伏笔。
第二阶段安排在八（下），当学生学过实数以及有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系后，及时安排一次函数的有关内容。通过一次函数的学习，学生可初次经历用初等方法研究函数的过程，如用描点法画函数图象，以及通过图象研究函数的性质，同时使学生进一步感受数形结合思想，并体会一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的联系，从而对函数有进一步的认识。
第三阶段安排在九（下），学生将在已有认识的基础上，从函数的自变量取值范围和对应这两个要素深化对函数概念的认识。这里再次给出的函数定义比七（上）给出的定义进了一步，更加接近函数的近代定义。学生还将再次利用初等方法研究反比例函数、二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的联系，使学生能够一般性的了解函数的概念，进一步获取用初等方法研究函数的体验，为高中阶段继续学习函数打下必要的基础。
2.遵循“从特殊到一般”的认识规律
人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，“一次函数和它的图象”是本章的重点内容，在设计、安排时就是按照这样的过程展现的，主要体现在以下两个地方：
（1）形成一次函数概念
在归纳、概括出一次函数概念之前，教科书引导学生从分析实际问题得到高铁列车行驶距离s与时间t之间的函数关系s=10+300t后，让学生分析该函数表达式以及y=x-1，y=-x，y=2x-1，y=2x有哪些共同特征？之后给出一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做x的一次函数。特别地，当k≠0，b=0时，函数y=kx也是一次函数，叫正比例函数。
（2）归纳一次函数图象的性质
为了概括一次函数图象的特征，教科书首先用“观察与思考”栏目引导学生观察图2和图3的特点，然后观察前面学过的函数表达式y=-x+2，y=-2x，y=-3x-1，y=2x和图象，相互交流自己的发现。
在学生观察交流之后，概括出一次函数y=kx+b的图象是一条直线。
最后，教科书又讨论了用简单方法画出一次函数y=-2x+4图象的方法，从而得到由两点确定直线y=kx+b的一般方法。这样的设计向我们展示了解决问题的一种基本策略，即“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的方法。
教科书第2、3节给出的通过函数表达式用描点法画出函数的图象，再利用函数图象研究函数性质的方法具有一般性。这样的设计有利于学生积累数学活动经验，感悟数形结合、分类、转化等数学思想，为今后学习其他函数的性质，提供研究方法上的准备。
3.注重培养学生的几何直观
“几何直观”是《课标（2011年版）》首次提出的一个核心概念，其本质就是依托、利用图形进行数学思考和想象。加强数形结合的教学是培养学生几何直观的重要渠道。在传统的教科书和教学中，较为强调其“数”的特征，表现为重视对函数的表达式的学习，而相对弱化其“形”的特性。导致学生缺乏识图、用图能力，数形结合的意识较为薄弱。为改变这一现象，本章中设计了“一次函数与二元一次方程”、“一次函数与一元一次不等式”等内容，使学生从变量的观点去认识二元一次方程和一元一次不等式，并让学生通过在同一直角坐标系中作出两个一次函数的图象，由它们的交点坐标，求二元一次方程组的解，由二元一次方程组的解确定两个一次函数的交点坐标，以充分体现出它们之间的内在联系。这种设计体现出函数的重要性，反映了函数概念对相关内容的统率作用。有助于学生理解“数与代数”中核心内容的实质性关联，感悟数形结合思想，加大对已经学过的相关内容之间的整体认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活分析问题和解决问题的能力。并为今后继续研究方程、不等式与函数，学习解析几何等后继知识作必要的铺垫。
三、教学建议
1.借助实际问题，引导学生认识函数；通过函数应用，强化数学建模思想
《课标（2011年版）》指出，教学“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。”创设问题情境的核心是引导学生通过问题情境深入到数学学科的本质，超越对于技巧性问题的过度追求数学概念表面理解。
（1）引入函数图象及一次函数等概念
本章内容是从研究函数的图象开始的，在学生认识到用函数的图象表示函数后，开始学习一次函数并利用一次函数知识研究有关问题。函数的图象包括认识函数的图象与画出简单的函数图象。为了学习函数的图象，可组织学生亲自操作教科书设计的“饮水瓶放水实验”，按每4人一组进行，分别负责计时、控制铁夹、观察水面高度、记录数据。实验结束后，每人根据数据填表、在坐标系中描点、连接曲线。在实验基础上，给出图象法的定义，并让学生思考图象法的优点。通过高铁运行问题引入一次函数，通过金属铜的问题认识正比例函数等，这样教学的目的是借助现实的、具体的问题为理解抽象的内容服务。符合《课标（2011年版）》提出的“结合具体情境体会一次函数的意义”的要求。
（2）体现一次函数模型的应用
在本章的教学中，要充分利用现实背景，不断加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识，实现《课标（2011年版）》提出的“能用一次函数解决简单实际问题”的目的，从而再一次感悟数学模型思想的重要性。例如，10.2节例2中的弹簧长度问题，汽车行驶问题，饮料的利润问题；10.6节中的温度计问题、购买树苗、购买篮排球问题等，它们都能体现数学建模思想，反映函数的广泛应用性。
通过这样的教学，能使学生认识到函数是从实际问题抽象得到的，又能回到解决实际问题中去，进而加深对“数学来源于生活，又服务于生活”的理解和认识。
2.鼓励学生独立思考、自主探索与合作交流
《课标（2011年版）》提出“数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。”本章需要学生进行较多的数学活动，如观察、实验、列表、画图、探究、交流等。在函数的图象、描点法作图、一次函数的图象与性质以及一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系等学习过程中，教师应根据《课标（2011年版）》提出的上述建议，设法引导学生积极主动地参与各项数学活动，以丰富数学活动经验，感悟数学思想，从事使学生不仅能主动地获取知识，而且学会探索，学会学习。
案例1：判定一次函数关系的过程。
判定某个函数是一次函数，是教学中的难点，为帮助学生学会这种方法，可用教科书提供的下列问题，引导学生进行思考、探究、交流等活动。
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（0C）和华氏温度（0T）两种。它们之间的关系如下表所示：
摄氏温度/0C … -10 0 10 20 30 … 华氏温度/0F … 14 32 50 68 86 …
（1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
（4）你能求出华氏温度为0度（即00T）时，摄氏温度是多少度吗？
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流。
【设计意图】本问题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，学生能利用已有的知识，根据已有经验以表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，画出图4所示的图象，通过观察可发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式。
根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的。可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手。学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如，，，…。特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有，，，。如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函数。有了这个结果，问题（4）（5）便迎刃而解。
学生的学习过程与科学家的研究过程在本质上是一致的。因此，在教学中应引导学生要像“小科学家”一样通过研究活动去发现问题、提出问题、分析问题直至解决问题。学生在探究的过程中除了能获取知识、发展技能、形成能力外，还能受到科学价值观和科学方法的教育，并发展自己的个性。
3.重视数形结合的研究方法
《课标（2011年版）》把数形结合作为一种重要的数学思想方法来要求。数学思想方法是具体数学知识的灵魂，能对数学知识起到“凝聚”作用，它对一个人的影响往往要高于具体的数学知识。数学思想方法是以数学知识为载体来体现的，通过具体知识的学习获取、感悟数学思想方法往往需要一个较长的过程。
本章所讨论的对象是一次函数，函数的表示法之一是图象法，即通过直角坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法具有直观形象性的特点，学生能通过观察图象获取有关的信息，进而数形结合地解决有关问题，这种方法在数学发展过程中具有重要的价值。无论是函数图象的学习、还是一次函数性质的探究过程以及借助于一次函数的图象研究方程、不等式的有关问题等都离不开数学结合。因此，教学中要结合具体的内容使学生加深对数形结合的理解，并灵活运用，充分发挥它在分析问题、解决问题过程中所表现出的“数”和“形”两个方面的共同优势。
案例2：直线为何总经过一个点？
设k≠,求证：不论k取何值，直线y=（2k-1）x+（k-1）总经过一个定点。
证明：取k的两个特殊值，如0,1，代入原式，得到
在同一直角坐标系中作出直线y=x和y=-x-1（如图5所示）：
观察图5可得两直线的交点为A（-，-），将该点坐标代入y=（2k-1）x+（k-1），可知，不管k取何值，该式的左右两边都相等，即不管k取何值，直线y=（2k-1）x+（k-1）都经过定点A（-，-）。
4.处理好新旧知识之间的联系，促进学生新的认知结构的构建
《课标（2011年版）》指出“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”在本章教学中，不仅应注意各节内容和思想方法之间的密切联系，还要注意揭示本章知识与学生已经学过的知识的联系，帮助学生从整体上理解数学。例如，正比例函数y=kx，第二学段学习成正比例的量时，比例系数k只能取正有理数，但在本章中，k可以取不为零的实数，即不仅可取正有理数，也可取正无理数，负有理数，负无理数。因此，正比例函数是上一学段正比例关系的推广和发展。这样通过横纵两个方面的联系，就能突出函数在发展和构建学生认知结构时所起的“统帅”作用。
参考文献
[1]深入研究教材，学好函数概念[J].中学数学（下），2009（9）
[2]李树臣.关于教好函数知识的几个问题[J].中国数学教育，2012（3）
[3]李树臣.精心设计问题情境，引导学生自主发展——青岛版《义务教育教科书·数学》中问题情境的类型及设计意图[J].中学数学教学参考，2013（10）
[4]李树臣.深入研究课程课标2011年版，精心选择课程内容——青岛版《义务教育教科书·数学》中课程内容选取的主要原则[J].中学数学杂志，2014（2）
[5]李树臣等.整体把握函数内容，宏观设计教学策略——以青岛版义务教育教科书·数学对“函数”的设计为例[[J].中学数学（下），2014（8）
[6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程课标2011年版（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社，2012
7
y=-x-1
-1
1
·
1
图5
A
y
x
-1
0
图4
y=x
图3
y=-
图3
图2
图1
一次函数的应用
一次函数与一元一次不等式
一次函数与二元一次方程（组）
一次函数的性质
一次函数的图象
反比例函数
一次函数
函
数
的
图
象
图形与坐标
函数的概念
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