专题13圆锥曲线的定义、性质和方程
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是C)
(A)2(B)6(C)4(D)12
2.已知双曲线的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)
3.如果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是(C)
A.B.C.D.
4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(B)
(A)(B)(C)(D)0
5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.
6.如图,F为双曲线C:的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形,|PF|=(|OF|。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与(的关系式;
(Ⅱ)当(=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程。
【专家解答】∵四边形是(,∴,作双曲线的右准线交PM于H,则,又,。
(Ⅱ)当时,,,,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:,
又,由得:,解得,则,所以为所求。
1)定义及简单几何性质的灵活运用;
(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。
题型一般为二小一大,小题基础灵活,解答题一般在中等难度以上,一般具有较高的区分度。
★★★突破重难点
【范例1】过椭圆左焦点F,倾斜角为60(的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为(B)
A)(B)(C)(D)
解:设点A、B到椭圆左准线的距离分别为d1,d2,|FA|=r1,|FB|=r2,则=e,即d1=,同理d2=,两式相减得.因为直线AB的倾斜角为60(,(2|d1-d2|=|AB|=3r2,e=
【点晴】本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60(倾斜角、|FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。
【文】若F1、F2为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足:
,
则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.3
解:由知四边形F1OMP是平行四边形,又知OP平分∠F1OM,即F1OMP是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+c,由双曲线的第二定义知,且e>1,∴e=2,故选C.
【范例2】定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。
分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,x22),又设AB中点为M(x0,y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义。
解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9,即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴,
≥
当4x02+1=3即时,此时
法:如图
∴,即,
∴,当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
【点晴】解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。请思考:当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二?
【文】(北京卷)椭圆的两个焦点F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥PF2,|PF1|=,|PF2|=.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程。
解法一:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称.所以
解得,
所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.(经检验,符合题意)
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①-②得 ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得=,即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
【范例3】如图1,已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且,。(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数(使?请给出证明。
解:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系,则A(2,0),椭圆方程可设为。
而O为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB|
又,所以AC⊥BC
又,所以|OC|=|AC|,
所以△AOC为等腰直角三角形,所以点C坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得,则椭圆方程为。
(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,设直线CP的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,直线CP的方程为y=k(x-1),直线CQ的方程为y=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立,消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为C(1,1)在椭圆上,所以x=1是方程①的一个根,于是
同理
这样,又B(-1,-1),所以,
即kAB=kPQ。所以PQ∥AB,存在实数(使。
【点晴】利用斜率互为相反数关系,整体替换,可简化解题过程。
【文】(06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
解:(1)设曲线方程为,由题意可知,..
曲线方程为.
(2)设变轨点为,根据题意可知
得,或(不合题意,舍去).
.
得或(不合题意,舍去).点的坐标为,.
答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出指令.
【范例4】过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)已知点F(0,1),是否存在实数(使得?若存在,求出(的值,若不存在,请说明理由。
解法(一):(1)设
由得:
直线PA的方程是即①
同理,直线PB的方程是:②
由①②得:∴点P的轨迹方程是
(2)由(1)得:
,所以
故存在(=1使得
解法(二):(1)∵直线PA、PB与抛物线相切,且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0,且
设PA的直线方程是
由得:
即
即直线PA的方程是:
同理可得直线PB的方程是:
由得:
故点P的轨迹方程是
(2)由(1)得:
故存在(=1使得
【点晴】抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法,应熟练掌握。
【文】已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x2-2y2=1的左、右焦点,且sinC是sinA、sinB的等差中项.
(Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程;
(Ⅱ)设P(-2,0),过点作直线l交轨迹T于M、N两点,问∠MPN的大小是否为定值?证明你的结论.
解:(Ⅰ)由条件知A(-1,0),B(1,0),且sinA+sinB=2sinC
∴|BC|+|AC|=2|AB|=4
∴点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长2a=4的椭圆(不包括x轴上两点).
∴点C的轨迹T的方程是=1(x≠±2)
(Ⅱ)当l⊥x轴时,直线l的方程为x=,代入=1解得M、N的坐标为(),而|PE|=,∴∠MPN=90°,
猜测∠MPN=90°为定值.
证明:设直线l的方程为my=x+,
由 ,得(3m2+4)y2my=0
∴y1+y2=,y1y2=
∴=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=(my1+)(my2+)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+
=(m2+1)+m+=0
∴∠MPN=90°,为定值.
1.若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为(C)
A. B. C. D.
2.双曲线的虚轴长为4,离心率,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A).
A、B、C、D、8
3.F1、F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为(A).
A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线
4.双曲线的左支上一点P,⊙O''为ΔPF1F2的内切圆,则圆心O''的横坐标为(B).
A、aB、-aC、D、
5.已知点F1(-4,0),F2(4,0),又P(x,y)是曲线上的点,则(C)
A.|PF1|+|PF2|=10B.|PF1|+|PF2|<10C.|PF1|+|PF2|(10D.|PF1|+|PF2|(10
6.F1、F2是椭圆(a>b>0)的两焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2,其中∠BAF2=900,则椭圆的离心率是________
7.已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为F1、F2,抛物线C以F2为焦点,F1为其顶点,若P为两曲线的公共点,且e|PF2|=|PF1|,则e=__________。
8.已知⊙O:x2+y2=4,一动抛物线过A(-1,0)、B(1,0)两点,且以圆的切线为准线,则动抛物线的焦点F的轨迹方程为____
9.如图,已知三点A-70),B7,0),C2,-12①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|,
即
故P的轨迹为A(-7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支,
其方程为;
②经讨论知,无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14
故点Q的轨迹为以A(-7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为28的椭圆,其方程为。
10.已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
解:(1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
(2)
∴当m=5时,当m=2时,
11.如图,A为椭圆上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2.当AC垂直于x轴时,恰好|AF1|:|AF2=3:1
(I)求该椭圆的离心率;
(II)设,,
试判断(((((是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
解:(I)当C垂直于x轴时,,由,得,
在Rt△中,解得=.
(II)由=,则,.
焦点坐标为,则椭圆方程为,
化简有.
设,,
①若直线AC的斜率存在,则直线AC方程为
代入椭圆方程有.
由韦达定理得:,∴
所以,同理可得
故(((((=.
②若直线轴,,,
∴(((((=6.
综上所述:(((((是定值6.
高考网www.gaokao.com
学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com
H
M
P
y
x
F
O
x=my
3x2+4y2=12
x
y
A
B
C
O
F1
F2
图1
①
②
③
|
|