椭圆与双曲线的对偶性质
椭圆
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,(,).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
椭圆与直线有公共点的充要条件是.
已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
已知椭圆（a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).
已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
双曲线
双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.
设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2).(3).
已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一.紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1.已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，
双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二.引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2.求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）
，而
再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则
消去t，得轨迹方程
三.数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3.已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示
四.应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4.已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：
五.应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5.已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，
点R在椭圆上，P点在直线上
，
即
化简整理得点Q的轨迹方程为：
（直线上方部分）
六.应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例6.求经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
则圆心为，在直线上
解得
故所求的方程为
七.巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
例7.过点A（2，1）的直线与双曲线相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。
解：设，，则
<2>－<1>得
即
设P1P2的中点为，则
又，而P1、A、M、P2共线
，即
中点M的轨迹方程是
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t(0
(1)写出直线的方程；（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
讲解:通过读图,看出点的坐标.
(1)显然,于是直线
的方程为；
（2）由方程组解出、；
（3）,.
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?
例2已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
讲解：从直线所处的位置,设出直线的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程得
化简后，得关于的一元二次方程
于是其判别式
由已知，得△=0．即①
在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为（x，y），由已知，得
代入①式并整理，得,即为所求顶点P的轨迹方程．
方程形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
讲解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得.
设的中点是，则
即
故所求k=±.为了求出的值,需要通过消元,想法设法建构的方程.
例4已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设,对由余弦定理,得
，
解出
（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：
i)当k存在时，设l的方程为………………①
椭圆方程为由得.
于是椭圆方程可转化为………………②
将①代入②，消去得,
整理为的一元二次方程，得.
则x1、x2是上述方程的两根．且，，
AB边上的高
ii)当k不存在时，把直线代入椭圆方程得
由①②知S的最大值为由题意得=12所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为：…………①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
椭圆的方程为：
由得：于是椭圆方程可化为：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的两根.
,
AB边上的高,
从而
当且仅当m=0取等号，即
由题意知,于是.
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
例5已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（１）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.
讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的中点坐标为（）.
由已知得，故椭圆的离心率为.
（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为设关于直线的对称点为解得
由已知得，故所求的椭圆方程为.
例6已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
讲解:（1）由，可得
由射影定理，得在Rt△MOQ中，
，故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得即
把（）及（）消去a，并注意到，可得
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围．
讲解:（1）建立平面直角坐标系,如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=∴动点P的轨迹是椭圆∵∴曲线E的方程是.
（2）设直线L的方程为,代入曲线E的方程，得设M1（,则
i)L与y轴重合时，
ii)L与y轴不重合时，由①得又∵,
∵或∴0＜＜1,
∴∵
而∴∴∴,
,∴的取值范围是.
值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.
例8直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.
（1）求证：;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
讲解:（1）易求得抛物线的焦点.若l⊥x轴，则l的方程为.若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得.综上可知.
（2）设，则CD的垂直平分线的方程为
假设过F，则整理得
，.这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点.而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！
例9某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
讲解:以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,∴M在双曲线的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
第1页
也可这样求解：
AOB
C
①
②
③
|
|
