第十五专题最值问题
考情动态分析：
最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容，求最值的方法较多，但要求学生熟练掌握以下方法：均值定理、利用单调性（对单调性的判断除应用单调性的定义外，还要熟练地应用导数判断）、配方法、换元法、图象法等求最值.在近几年的高考中，求最值已成为热点，特别是导数知识的介入，因此在复习中，必须对求最值问题的常用方法和一般技能进行系统整理、深化训练.
第一课时求最值的常见方法
一、考点核心整合
求最值常用的方法：均值不等式法、单调性法、判别式法、换元转化法、配方法、数形结合法.特别要注意利用导数判断单调性再求最值的方法.
二、典例精讲：
例1当时，函数的最小值为（）
A、2 B、 C、4 D、
例2求函数的最大值和最小值.
例3设函数，其中.
（Ⅰ）若在处取得极值，求常数的值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求的取值范围.
二、提高训练：
（一）选择题：
1．已知定点，且，动点P满足，则的最小值是（）
A、 B、 C、 D、5
2．实数满足，则的最小值是（）
A、 B、 C、 D、
3．设，式中变量和满足条件，则的最小值为（）
A、1 B、 C、 D、
4．函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（）
A、 B、 C、2 D、4
5．在中，为坐标原点，，则当的面积达到最大时，等于（）
A、 B、 C、 D、
（二）填空题：
6．P是抛物线上任意一点，则当点P和直线上的点的距离最小时，P与该抛物线准线的距离是___________.
7．设实数满足，则的最大值是_______________.
（三）解答题：
8．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形，其中.
（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
9．过点作直线，分别交轴和轴的正半轴于两点.
（Ⅰ）当取最小值时，求的方程；
（Ⅱ）当的面积取最小值时，求的方程；
（Ⅲ）当的面积取最小值时，求的方程.
10．已知函数的图象过点和.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）记，是否存在正整数，使得
对一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
第二课时最值问题的综合应用
一、考点核心整合
在解题中，关键要熟悉求函数最值的几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是什么，在多种方法中选出最优方法，根据具体问题注意挖掘隐含条件，求最值没有通用方法和固定式，要靠自己积累经验.
二、典例精讲：
例1已知，则的最小值为____________.
例2某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上，与水平地面的夹角为，.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大？（不计此人的身高）
例3已知函数，求的最小值.
例4已知函数，.
（Ⅰ）若在上是增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）求在区间上的最大值.
三、提高训练：
（一）选择题：
1．已知，函数在上是单调减函数，则的最大值为（）
A、1 B、2 C、3 D、4
2．点在曲线上移动，则的最大值是（）
A、 B、 C、 D、
3．下列命题中正确的是（）
A、函数的最小值为2 B、函数的最小值为
C、函数的最大值为D、函数的最小值为2
4．如图，南北方向的公路地在公路的正东2处，地在地东偏北方向处，河流沿岸（曲线）上任一点到公路和到
地距离相等.现要在曲线上选一处建一码头，向
两地转运货物，经测算从到与从到修建
公路的费用均为万元/千米，那么修建这两条公路的总费
用最低是（）
A、万元 B、万元 C、万元 D、万元
5．已知，则的最小值为（）
A、 B、 C、 D、
（二）填空题：
6．已知在中，，是上的点，则点P到的距离之积的最大值是____________.
7．设P是曲线上的动点，则P到点的距离与点P到轴的距离之和的最小值为_____________.
（三）解答题：
8．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两个不同动点满足（如图所示）.
（Ⅰ）求的重心的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，
请求出最小值；若不存在，请说明理由.
9．设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，且当时，恒成立.求实数的取值范围.
10．已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围.
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O
（山坡）
O
A
水平地面
B
C
P
A
B
P
Q
M
O
A
B
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