第八专题直线、平面、简单几何体
一、考情分析：
立体几何是中学数学的重要内容之一，由于立体几何内容具有相对的独立性，高考命题突出空间图形的特点，考查的重点与热点主要有两大类型，一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是数学语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证；二是空间的角和距离的概念及其计算.
选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等.
解答题形成了一些规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体或旋转体为依托（以多面体的时候较多）设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查.
二、考点整合
1、空间两直线、直线与平面、平面与平面：特别注意线与面平行、线与面垂直、面与面平行、面与面垂直的判定与性质运用的条件；
2、空间角：（1）类型有异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角.
（2）计算空间角的一般步骤：①作：作出平面角；②证：证明所作角即为所求角；③算：将该角归结到三角形中算出.
注：作异面直线所成角的平面角的常用方法：（1）平移法：（2）补形法：
作直线与平面所成角的平面：需作线面垂直，常从面面垂直处寻找作辅助线，常用方法：（1）定义法：（2）公式法：
作二面角的平面角的方法：①定义法：②用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点，由向另一个平面作垂线（常从面面垂直处作交线的垂线），垂足为，再由向棱作垂线交于点，则即为二面角的平面角.③作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.④面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为，则.⑤对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便.
3、空间的距离
（1）立体几何中距离有八种类型：两点间距离、点到直线距离、点平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离.这八种距离都归结到求点到点、点到线、点到面这三种距离.
（2）求空间距离的步骤：①作：找到或作出表示该距离的线段；②证：证明该线段合题意；③算：将该线段归结到三角形算出.简单地表述为：一作，二证，三计算.
注：求异面直线间距离：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间的距离的最小值”这一概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）求之.
点到平面的距离：求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及：“平行移动”的思想方法.若要作出需从面面垂直处寻找.
线与面的距离、面与面的距离最后需转化为点到面的距离.
注意间接法在求空间距离中的运用：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止.
4、简单几何体：棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正多面体、棱锥、正棱锥、球：
三、典例精讲：
例1已知正方体的棱长为1，在正方体表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为___________________.
例2已知四棱锥的底面为直角梯形，，
且是的中点.
（Ⅰ）证明面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小.
例3如图，在四棱锥中，底面是正方形，
侧棱，是的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求与底面所成角的正切值.
例4如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，
，点在上，且.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求以为棱，与为面的二面
角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？
证明你的结论.
四、提高训练： 姓名___________
（一）选择题：
1．已知直线平面，直线平面，则下列四个命题中，正确的两个命题是（）
①；②；③；④.
A、①② B、③④ C、②④ D、①③
2．设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）
A、 B、
C、 D、
3．若是两条异面直线，且分别在平面内，若，则直线必定（）
A、分别与相交 B、至少与之一相交
C、与都不相交 D、至多与之一相交
4．在下列条件中，可判断平面与平行的是（）
A、都垂直一于平面 B、内存在不共线三点到的距离相等
C、是内两条直线，且
D、是两条异面直线，且
5．正方体中，分别是、的中点，则与对角面所成角的大小（）
A、 B、 C、 D、
6．如右图，长方形中，，把它折成正三棱柱
的侧面，使与重合，长方形的对角线与折痕线
分别交于两点，则截面与棱柱的
底面所成的角等于（）
A、 B、 C、 D、除以外的结果
7．如下图左所示，在正方体侧面内有一动点，到直线的距离与到直线的距离相等，则动点所在曲线的形状大致为（）
（二）填空题：
8．正四棱锥的底边长为2，高为，则异面直线与所成的角是___.
9．如图，在直三棱柱中，分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最
短路径的长度为________.
（三）解答题：
10．如图，在直三棱柱中，底面
是直角三角形，，，
且，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）设二面角为，求的值.
11．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，
垂直于底面，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小；
（Ⅲ）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.
12．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，为中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
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