Gothedistance
重庆市2013年高考数学模拟题(理工类)（3）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设复数
2221,zizz???则
等于（）
A．1i??B．1i?C．12i??D．12i?
2.已知命题p：14≤2x≤12，命题q：x＋1x∈????－52，－2，则下列说法正确的是()
A．p是q的充要条件B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的必要不充分条件D．p是q的既不充分也不必要条件
3．已知集合??
?????????????023,042xxxNxxM
，则?NM?()
A.?B.??2C.??32??xxD.??2??x[来源:学&科&网]
4．在等比数列??na中，3543?aaa，24876?aaa，，则11109aaa值为()
A.48B.72C.144D.192[来源:Z+xx+k.Com]
5．已知一组正数4321,,,xxxx的方差为??16412
42322212?????xxxxS
，则数据21?x，
22?x，23?x，24?x的平均数为()
A．2B．3C．4D．6
6．已知向量??????25,5,4,2,2,1????????cbacba，则a与c的夹角为()
A.3?B2?.C.32?D.43?
7．若1()1
(1)fxfx???
，当??0,1x?时，()fxx?，若在区间??1,1?内
()()gxfxmxm???有两个零点，则实数m的取值范围是()
A..?
?????21,0
B.?
???????,21
C.?
?????31,0
D.?
?????21,0
8．从甲、乙、丙、丁、戌5名同学任选四名同学，参加1004?接力赛，其中，甲不跑第一
棒，乙、丙不跑相邻两棒，则不同的选排种数为()
A.48B.56C.60D.68
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9．点)4,4(?P作直线l与圆25)1(:22???yxC交于A、B两点，若2||?PA，则圆心C
到直线l的距离等于（）
A.5B.4C.3D.2
10．已知?
??????2,0??
，则????cossin22sincos1???的最小值为()[来源:Zxxk.Com]
A．5B6C7D9
123[来源:学_科_网Z_X_X_K]45678910
二.填空题.(共5小题,每小题5分,共25分)
11．一个几何体的三视图如图所示，已知正(主)视图是底边长为1的平行四边
形，侧(左)视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正
方形拼成的矩形，则该几何体的体积是________．
12．从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三
个数字中5恰好出现两次的概率为
13．已知抛物线22ypx?的焦点F与双曲线221
3yx??
的右焦点重合，抛物线的准线与x
轴的交点为K，点A在抛物线上且||2||AKAF?，则AFK?的面积为
注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，按前两题给分
14．如图，点P是圆O外一点，PD为圆O的一切线，D是切点，割线
经过圆心O，若32,300???PDEFD，则PE
15．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A、B两
点，若|AB|＝4，则，若,4?AB则直线l的极坐标方程为________．
16．若不等式03???xax的解集为??1??xx，则?a。
三.解答题.(共6小题,共75分)解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写
在答题卷相应的位置上．
17.已知函数??1cossin32
2sin22???????????txxxxf????
，若??xf图象上相邻两个
对称轴间的距离为23?，且当???,0?x时，函数??xf的最小值为0.
(1)求函数??xf的表达式；
(2)在ABC?中，若??1?Cf，且22sincoscos()BBAC???，求sinA的值．
O
P
D
E
F
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18．QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从
该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃
掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ先生吃掉的概率；
（2）以?表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求?的分布列及其数学期望E?．
19．如图1,,,EFG分别是边长为2的正方形ABCD所在边的中点，沿EF将CEF?截去
后，又沿EG将多边形折起，使得平面DGEF?平面ABEG得到如图2所示的多面体.
（1）求证：FG?平面BEF[来源:学科网]
(2)求二面角ABFE??的大小；
(3)求多面体ADGBFE?的体积
20．已知函数)(ln)(Raxaxxf???
（1）求)(xf的极值；（2）若函数)(xf的图象与函数)(xg=1的图象在区间],0(2e上有公
共点，求实数a的取值范围
Gothedistance
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为22，左焦点到右准线l的距离为
3.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若椭圆??01
2
2
2
2????babyax上以点??00,yx为切点的切线方程为：1
2020??byyaxx
。
①过直线l上点P引椭圆M的两条切线,切点分别为BA,.求证：直线AB恒过定点C.
②是否存在实数?，使得BCACBCAC???，若存在，求出λ的值，若不存在，说明
理由．
22．若实数列??na满足??1122,3,kkkaaak????????,则称数列??na为凸数列.
（1）判断数列??3
2
n
nanN?????????
是否是凸数列?
（2）若数列??na为凸数列,nm,,kNknm????、、且
??i求证：mnnkaaaamnnk???;
??ii设nS是数列??na的前n项和,求证：
kmnmnnkmkSSSkmn?????
.
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重庆市2013年高考数学模拟题(理工类)（3）参考答案
1D2B3A4D5C6C7D8D9B10C
11．312.1251213.814.21532cos???16.2
17．.解：(1)???xfcos2ωx＋3sin2ωx＋t＝2sin(2ωx＋π6)＋t.
依题意??xf的周期T＝3π，且ω>0，∴T＝2π2ω＝πω＝3π.
∴ω＝13，∴f(x)＝2sin????23x＋π6＋t.
∵x∈[0，π]，∴π6≤2x3＋π6≤5π6，∴12≤sin????2x3＋π6≤1，
∴??xf的最小值为t＋1，即t＋1＝0，∴t＝－1.∴f(x)＝2sin????23x＋π6－1.
(2)∵??Cf＝2sin????2C3＋π6－1＝1，∴sin????2C3＋π6＝1.
又∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝π2.，在Rt△ABC中，∵A＋B＝π2，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，
∴2cos2A＝sinA＋sinA，sin2A＋sinA－1＝0.
解得sinA＝－1±52.又∵0
18．.解：（Ⅰ）设QQ先生能吃到的鱼的条数为?
QQ先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，??177P???
QQ先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，??61667535P?????
故QQ先生至少吃掉6条鱼的概率是??????1166735PPP?????????
（Ⅱ）QQ先生能吃到的鱼的条数?可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃
掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ先生吃掉黑鱼,其概率为
64216(4)75335P????????6418575335P??????
所以?的分布列为
?45[来源:学科网]67
P163583563517
故416586675535353535E??????????，所求期望值为5.
19．．解（1）证明∵面DGEF⊥面ABEG，且GEBE?，
∴BE⊥面DGEF，得FGBE?．
又∵2224EGEFGF???FGEFEFG?????,900
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而EEFBE??，因此?FG面BEF
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），
E（0，2，0），F（0，1，1），于是，FA=(1,－1,－1)，FB=(1,1,－1)，FE=(0,1,－1)．
设相交两向量FA、FB的法向量为??zyxn,,1?，
则由FAn?1，得0???zyx；由1n⊥FB，
得0???zyx．
解得zxy??,0，因此令??1,0,11?n
事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量
为??1,1,02?n．
所以??21,cosnn=
211111111001||||2121????????????nnnn
，两法向量所成的角为
3?
，
从而图2中二面角EBFA??的大小为
32?
另法如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角
EBFH??的大小为3?，进而求得二面角EBFA??的大小为32?．
（3）连结BGBD,将多面体BFEADG?分割成一个四棱
锥EFDGB?和一个三棱锥ABGD?，则多面体的体积
=????ABGDEFDGBVV
653121112213111)21(2131????????????
．
另法补成直三棱柱或过F作ADG的平行截面FKM，则
多面体的体积=???BEHFVV柱
65
或=???KMBEFVV柱
65
．
20．（Ⅰ）
2)(ln1)(),,0()(xaxxfxf??????的定义域为
令aexxf????10)(得
当)(,0)(,),0(1xfxfexa????时是增函数
当)(,0)(,),(1xfxfexa??????时是减函数
∴111)()(,)(??????aaaeefxfexxf极大值处取得极大值在
（Ⅱ）（1）当21eea??时，时1??a，由（Ⅰ）知),0()(1aexf?在上是增函数，
在],(21eea?上是减函数
11)()(?????aamxeefxf
又当],(.0)(],0(,0)(,2eexxfexxfexaaa????????当时当时时，).0()(1??aexf
FD
G
B
E
A
H
x
E
FD
G
BA
z
y
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所以1)()(?xgxf与图象的图象在],0(2e上有公共点，等价于11??ae
解得1,1,1????aaa所以又
（2）当121????aeea即时，],0()(2exf在上是增函数，
∴
2222)(],0()(eaefexf??上的最大值为在
所以原问题等价于.2,122
2????eaea解得
又1??a?，∴无解综合（1）（2）得1?a
21．解：(1)1
222??yx
（2）①由（1）得2:?xl，设??????tPyxByxA,2,,,,2211
所以过A的切线方程为12
11??yyxx
，此切线过点P，所以111??tyx
同理有122??tyx，所以????2211,,,yxByxA都在直线1??tyx上，即
直线AB的方程为1??tyx，因此直线AB过定点??0,1C。
②由①知C即为M的焦点。设直线AB的倾斜角为?，C到l的距离为1?p。
由椭圆的定义得,
cos2
1
cos221
122
?????
?
?AC,cos21
cos221
122
?????
?
?BC
221cos2cos211??????????BCAC
因此存在实数22??。
22．（Ⅰ）111
1133313220,22242
kkkk
kkkaaa
???
?????????????????????????????????
?数列??3
2
n
nanN?????????
是凸数列.
(Ⅱ)??i由??1122,3,kkkaaak????????得11kkkaaaa?????
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??????????11211mnmmmmnnnnaaaaaaaamnaa???????????????????
?1mnnnaaaamn?????,
??????????????112111nknnnnkknnnnaaaaaaaankaankaa???????????????????????
?1nknnaaaank?????,故mnnkaaaamnnk???.
??ii由mnnkaaaamnnk???得??????kmnmnankamka?????.①
故先证nS
n??????
是凸数列.
在??????kmnmnankamka?????中令1mn??得
????11knnankanka??????,令1,2,,1,kn???????2n?叠加得
??????111112122nnnSnnanna???????,
??????????1112121nnnnnSnnSSnnSS???????????
??????211
11
1121
2.
nnn
nnn
nnSnnSnS
SSS
nnn
??
??
??????
???
故nS
n??????
是凸数列,由①得
kmnmnnkmkSSSkmn?????
.
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