第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想——教师备用例题——返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想——教师备用例题——返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想考点考向探究核心知识聚焦返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考核心知识聚焦主干知识返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考核心知识聚焦返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考返回目录核心知识聚焦第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考主干知识返回目录核心知识聚焦第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考返回目录核心知识聚焦第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录核心知识聚焦第17讲分类与整合思想、化归与转化思想体验高考返回目录核心知识聚焦——教师知识必备——第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想考点考向探究返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想考点考向探究返回目录第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想图17-1返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第17讲分类与整合思想、化归与转化思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想第17讲分类与整合思想、化归与转化思想专题六数学思想方法第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考返回目录核心知识聚焦主干知识第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考核心知识聚焦返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考主干知识返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想体验高考返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录核心知识聚焦第16讲函数与方程思想、数形结合思想——教师知识必备——返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想考点考向探究返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想考点考向探究返回目录第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究第16讲函数与方程思想、数形结合思想返回目录考点考向探究1．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则________．
[]6
?函数与方程思想关键词：方程思想、函数思想，如①②③.[解析](x＋y)展开式的二项式系数的最大值是，即a＝；(x＋y)＋1展开式的二项式系数的最大值是，b＝.因为13a＝7b，所以13＝7，解得m＝6.
2.[2013·安徽卷改编]设S为等差数列{a的前n项和，S＝4a，a＝－2，则＝_____________．[]－[解析]设等差数列{a的公差为d，首项为a由S＝得，8a＋＝4×(a＋2d)．由a＝－2得a＋6d＝－2，所以a＝10，d＝－2，所以a＝a＋8d＝10－16＝－6.3.[2013·浙江卷]设e，e为单位向量，非零向量＝x＋ye，x，y∈R.若e，e的夹角为，则等于________．
[]2
[解析]＝＝＝＝＝＝2.4.[2013·天津卷改编]函数f(x)＝2x－1的为________．
[]2
?数形结合思想关键词：数形结合，如④⑤⑥.[解析]函数f(x)＝2－1的零点即为2－1＝0的解，即|＝的解，设(x)＝，h(x)＝，此时作出两函数的图像(如图所示)．
由图像可知，两个函数的图像共有2个交点，故函数f(x)＝2－1有2个零点.
5.[2013·山东卷]过点(3，1)作圆(x－2)＋(y－2)4的弦，其中为________．
[]2
[解析]设弦与圆的交点为A，B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得＋(3－2)＋(2－1)＝4，|AB|＝26.[2014·天津卷]已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a恰有个零点，则实数为______________．
[](1，2)
[解析]在同一坐标系内分别作出y＝(x)与＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与＝f(x)的图像相切时，联立整理得x＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)－4×1×4＝0，解得＝1或a＝9(舍去y＝a|x|与＝f(x)的图像有4个交点时，有1
函数与方程思想
、
数形结合思想 函数与方程思想 函数思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提取数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式， 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅 方程思想 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 以形助数 根据数与形之间的对应关系，把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题 数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越性，要注意培养这种思想意识，做到心中有图、见数想图，以开拓自己的思维视野 以数助形 根据数与形之间的对应关系，把形转化为数，通过数的计算、式子的变换等解决数学问题 ?考点一函数与方程思想方程思想————列方程求解待定系数
函数思想————把问题函数化后使用研究函数的方法解决问题
题型：选择、填空、解答分值：5、14例1(1)若函数f(x)满足：存在m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f(x＋m)＝f(x)＋f(m)恒成立，则称f(x)为m函数．现给出函数：①y＝；②y＝2x；③y＝；＝其中为m函数的是_________．(填序号)(2)已知数列和满足a＝()(n∈N)，若为等比数列，且a＝2，b＝6＋b求a，b设c＝－(n∈N)，记数列的前n项和为S(i)求S；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N，均有S[解析](1)①若f(x)＝，则由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得＝＋，即＝－＝，即x2＋mx＋m2＝0，该式对任意x不恒成立，所以不存在常数m使f(x＋m)＝f(x)＋f(m)成立，所以y＝不是m函数．
②若f(x)＝2x，由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得2(x＋m)＝2x＋2m，此式恒成立，所以y＝2x是m函数．
③若f(x)＝sinx，由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得sin(x＋m)＝sinx＋sinm，当m＝π时，f(x＋m)＝f(x)＋f(m)恒成立，所以y＝sinx是m函数．[答案](1)②③
④若f(x)＝，则由f(x＋m)＝f(x)＋f(m)得(x＋m)＝＋m，即(x＋m)＝，所以x＋m＝mx，要使x＋m＝mx成立则有所以方程无解，所以y＝不是m函数．所以为m函数的是②③.
②(i)由①知c＝－，所以S＝＋＋…＋－1－＋－＋…＋－＝1－－＝－(ii)易知S的值先增后减，所以只要观察前几项即可得到k，＝0，S＝，S＝，S＝，S＝，故k＝4.
[小结]方程思想的本质是根据已知得出方程，通过方程的解解决问题；函数思想的本质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种重要形式．
变式题已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．[解析]解：(1)由题可知F，则该直线的方程为y＝x－，将其代入y＝2px(p>0)中，得x－3px＋＝0.设M(x，y)，N(x，y)，则有x＋＝3p.＝8，∴x＋x＋p8，即3p＋p＝8，解得p＝2.抛物线C的方程为y＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y＝4x，得x＋(2b－4)x＋b＝0.直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)－4b＝0，解得b＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.由(1)可知，x＋x＝6，x＝1.设P(m，m＋1)，则＝(x－m，y－(m＋1))，＝(x－m，y－(m＋1))，·＝(x－m)(x－m)＋[y－(m＋1)][y－(m＋1)]＝x－m(x＋x)＋m＋y－(m＋1)(y＋y)＋(m＋1)又x＋x＝6，x＝1，(y1y2)2＝16x＝16，∴y＝－4.又∵y－y＝4(x－x)，∴y＋y＝4·＝4，∴·＝1－6m＋m－4－4(m＋1)＋(m＋1)＝2(m－－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，取得最小值－14.?考点二数形结合思想数形结合思想—————以形助数探究解题思路，或者直接画图得
出结论
题型：选择、填空、解答分值：5、14例2(1)定义在R上的函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－mf(x)＋m－1＝0(其中m>2)有n个不同的实数根xx2，…，x，则的值为()B．
C．D．
(2)已知圆P：x＋y＝4y及抛物线S：x＝8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果|AB|，|BC|，|CD|按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为()B．
C．±D．
[答案](1)B(2)[解析](1)方程f(x)－mf(x)＋m－1＝0的解是f(x)＝1或f(x)＝m－1>1.在坐标系中画出函数f(x)的图像，以及直线y＝1，y＝m－1(如图所示)．由图像可知f(x)的图像与直线y＝1，y＝m－1有五个公共点，即方程f(x)－(x)＋－1＝0有五个实根．设x，则x＋x＝x＋x＝4，x＝2，所以＝f(10)＝
(2)由题意可知，圆P的圆心坐标为(0，2)，半径为2.抛物线S的焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，画出图像如图所示，其中|BC|＝4.由于|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，所以|AB|＋|CD|＝8，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝12.所求问题等价于当过抛物线S的焦点的直线被抛物线所截得的线段的长度为12时，求直线的斜率．设A(x，y)，D(x，y)，过A，D分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A′，D′.根|AP|＝′|＝y＋2，|DP|＝′|＝y＋2，所以|AD|＝＋＝y＋y＋4＝12，得y＋y＝8.由题意可知，直线l的斜率存在，且不为0.设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为
y＝＋2，即x＝，代入抛物线方程得y－(4＋8k)y＋4＝0，故y＋y＝4＋8k＝8，解得＝.
[小结]数形结合思想的主要方法是根据函数图像(或者其他几何图形)，找到解决问题的思路．
变式题(1)已知函数f(x)把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为()＝＝n－1＝n(n－1)．＝2－2(2)函数y＝的值域是_________．[答案](1)B(2)[解析](1)函数f(x)的图像如图所示，可得函数g(x)＝f(x)－x的零点分别为0，1，2，…，故＝－1.
(2)的几何意义是指坐标平面上定点A(3，2)与动点(cosx，)连线的斜率．又＋＝1，所M的轨迹是坐标平面内的单位圆，所求问题等价于求定点A和单位圆上动点的连线的斜率的取值范围，如图所示．函数的值域的两个端点，就是过点A向单位圆引的两条切线AM，AN的斜率．设切线方程为y－＝k(x－)，即－－3k＋2＝0，所以圆心(0，0)到切线的距离为＝1，解得k＝，故所求函数的值域为
例1【配例2使用】已知三个正实数a，b，c满足b
[答案]A
[解析]依题意可得令＝x，＝y，则可得其表示的可行域如图所示，则x∈(x，x)，即.
例2【配例2使用】已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2a|x－1|－a(a＞0)．若函数y＝f[f(x)]恰有10个零点，则a的取值范围为()B.C.D.
[答案]B
[解析]作出函数f(x)的图像，如图所示，因为当f(x)＝0时，x为－，－，或又因为函数y＝f[f(x)]恰有10个零点，f(x)＝－，f(x)＝－，f(x)＝，f(x)＝共有10个根，所以.
1．[2013·江西卷改编]使不等式x＜＜x成立的是________．
[](－∞，－1)
?分类与整合思想关键词：分类与整合，如①②③.[解析]当x>0时，不等式化为此时无解；当x<0时，不等式化为解得x<－1.
2.[2013·四川卷]已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么，是________．[](－7，3)
[解析]当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)－4(x＋2)＝x－4，由f(x＋2)＜5，得x－4＜5，即x＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)3.[2014·浙江卷设函数f(x)＝若f[f(a)]≤2，则是________．
[](－∞，]
[解析]函数f(x)的图像如图所示，令t＝f(a)，则(t)≤2，由图像知t≥－2，所以(a)≥－2，则a≤
4.[2013·上海卷]设常数a＞0，若9x＋＋1对一切正实数x成立，则为________．[]
?化归与转化关键词：化归、等价转化，如④⑤⑥.
[解析]所求问题等价于＋1.根据基本不等式可得＝6a，所以6a≥a＋1，解得a≥，故a的取值范围是5.[2014·陕西卷改编]设函数f(x)＝＋，m∈R.若对任意b>a>0，恒成立，则是___________．
[]
[解析]对任意的b>a>0，<1恒成立，等价于f(b)－b
设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x>0)，
∴f(b)－ba>0恒成立等价于h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－10在区间(0，＋∞)上恒成立，
得m－x2＋x＝－＋在区间(0，＋∞)上恒成立，
∴m，
∴m的取值范围是.6．[2013·浙江卷改编]在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记B＝f(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q＝f[fα(P)]，Qfα[fβ(P)]，恒有PQ＝PQ，则________．(填“垂直”或“平行”)[]垂直
[解析]转换为过点P先向α作垂线，A，过点A向β作垂线，垂足为Q过点P先向β作垂线，垂足为A，过点A向α作垂线，垂足为Q由PQ＝PQ，用特殊法令PQ和PQ重合，即可知平面α与平面β垂直．知识必备分类与整合、化归与转化
分类 分类与整合 分类思想 解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解决的思想方法 分类与整合思想的主要问题是“分”，解题的过程是“合—分—合” 整合思想 把一个问题中各个解决的部分进行合并、提炼，得出整体结论的思想方法 化归与转化 化归思想 根据熟知的数学结论和已经掌握的数学题目的解法，把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法化归转化思想的实质是“化不能为可能”，使用化归转化思想需要有数学知识和解题经验的积累 转化思想 根据熟知的数学
?考点一分类与整合思想分类———分类求解问题
整合———对分类求解的部分结果整合为问题的完整答案
题型：选择、填空、解答分值：5分、14分
难度：中等以上热点：概率、函数导数等问题中的全方位运用
例1(1)已知函数f(x)＝x－2(a＋2)x＋a，g(x)＝－x＋(a－2)x－a＋8.设H(x)＝(x)，g(x)}，H(x)＝{f(x)，g(x)}(，q}表示p，q中的较大值，，q}表示p，q中的较小值)．若H(x)的最小值为A，H(x)的最大值为B，则A－B＝()－16－2a－16D．＋2a－16(2)[2014·浙江卷]已知函数f(x)＝x＋3(a∈R)．若f(x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；设b∈R，若对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围．[解析]()不等式f(x)≥g(x)，即x－2(a＋2)x＋a－x＋2(a－2)x－a＋8，x2－2ax＋a－4≥0，解得x≤a－2或x≥a＋2.根据定义，H(x)＝(x)＝当x≤a－2或x≥a＋2时，H(x)＝f(x)，H(x)＝g(x)，故H1(x)min＝A＝f(a＋2)＝－4a－4，H(x)max＝B＝g(a－2)＝－4a＋12，故A－B＝－16.当a－2＜x＜a＋2时，H(x)＝g(x)，H(x)＝f(x)，故H1(x)min＝A＝g(a＋2)＝－4a－4，H(x)max＝B＝f(a－2)＝－4a＋12，故A－B＝－16.[答案](1)B
(2)解：①因为f(x)＝f′(x)＝由于－1≤x≤1，当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x＋3x－3a，此时f(x)在(－1，1)上是增函数，因此，M(a)＝f(1)＝4－3a，m(a)＝f(－1)＝－4－3a，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.当－1
由于f(1)－f(－1)＝－6a＋2，因此，当－1
②令h(x)＝f(x)＋b，则h(x)＝
h′(x)＝
因为[f(x)＋b]对x∈[－1，1]恒成立，即－2≤h(x)≤2对x∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，()当a≤－1时，h(x)在(－1，1)上是增函数，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－＋b，最小值是h(－1)＝－4－＋b，则－4－＋b≥－2且4－3a＋b≤2，矛盾．(ii)当－1
令t(a)＝－2－a＋3a，则t′(a)＝3－3a，t(a)在上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，因此－2≤3a＋b≤0.(iii)当时，h(x)在[－1，1]上的最小值是h(a)＝a＋b，最大值是h(－1)＝3a＋b＋2，所以＋b≥－2且3a＋b＋，解得－<3a＋(iv)当a≥1时，h(x)在[－1，1]上的最大值是(－1)＝＋3a＋b，最小值是h(1)＝－2＋3a＋b，所以＋b＋2≤2且3a＋b－2≥－2，解得3a＋＝0.综上，得3a＋b的取值范围是－2≤3a＋b≤0.[小结]高考在函数解答题中重点考查分类与整合思想，特别是在函数的单调性、极值等方面的讨论．
变式题已知数列的前n项和S＝n＋1，数列是首项为1，公比为b的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和T[解析]解：(1)当n＝1时，a＝S＝2；当n≥2时，a＝S－S－1＝n＋1－(n－1)－1＝2n－1.所以a＝(2)当b＝1时，a＝此时T＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n＋1.当b≠1时，a＝此时T＝2＋3b＋5b＋…＋(2n－1)b－1，①两端同时乘b得，bT＝2b＋3b＋5b＋…＋(2n－1)b－②得，(1－b)T＝2＋b＋2b＋2b＋…＋2b－1－(2n－1)b＝2(1＋b＋b＋b＋…＋b－1)－(2n－1)b－b＝－(2n－1)b－b，所以T＝－－所以T＝?考点二化归与转化思想化归——通过化归把未知问题化为可解问题
等价转化——等价转化为另一类容易解决的问题
题型：选择、填空、解答分值：5分、15分
难度：各种难度均有可能热点：转化的方法解答各类试题
例2如图17-1所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60，AB＝AD＝2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且APD＝90，M为AP的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)求证：DM∥平面PCB；(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．[解析]解：方法一1)证明：取AD的中点G，连接PG，GB.＝PD，∴PG⊥AD.∵AB＝AD，且∠DAB＝60，是正三角形，又PG∩BG＝G，⊥平面PGB，(2)证明：取PB的中点F，连接MF，CF.，F分别为PA，PB的中点，，且MF＝四边形ABCD是直角梯形，且AB∥CD，AB＝2CD，且MF＝CD，四边形CDMF是平行四边形，平面PCB，DM平面PCB，平面PCB.(3)延长AD与BC的延长线交于点K，连接PK.过G作GH⊥PK于点H，连接BH，则BH⊥PK，为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．设CD＝a，则AD＝2a，KD＝2a.在△PAK中，PA＝，＝＝又在Rt中，在PK·GH＝PG·GK，GK＝3a，a·GH＝a·3a，∴GH＝，＝＝＝，＝平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
方法二：(1)同方法一．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD.，直线GA，GB，GP互相垂直，故以G为原点，GA，GB，GP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
设DC＝a，则P(0，0，a)，A(a，0，0)，B(0，，0)，D(－a，0，0)，，∴＝，＝(0，，－a)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则∴?
取y＝，得n＝(－1，，3)．M是AP的中点，∴M，＝－(－a，0，0)＝，∴·n＝(－1，，3)＝0，⊥n.
∵DM?平面PCB，平面PCB.(3)由题意可知，平面PAD的一个法向量＝＝(0，，0)．设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则＝＝＝，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
[小结]立体几何中证明线面位置关系是典型的转化思想的应用，在线线、线面、面面的平行(垂直)之间相互转化．使用空间向量方法解决立体几何问题也是一种转化，即把几何问题转化为空间向量的相应问题加以解决．
变式题如图17-2所示，已知抛物线＝的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，其l与x轴交于K点．
图17-2(1)求证：KF平分∠MKN；(2)O为坐标原点，直线MO，NO分别交准线于点P，Q，求＋的最小值．
解：(1)证明：抛物线焦点的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，直线MN的方程为x＝my＋1.
设M，N的坐标分别为，.
由得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
设直线KM和KN的斜率分别为k1，k2，
∵K(－1，0)，
∴k1＋k2＝＋＝＝0，
∴KF平分∠MKN.
(2)设M，N的坐标分别为，，由N，O，Q三点共线，易得Q点的坐标为，由M，O，P三点共线，易得P点的坐标为.
设直线MN的方程为x＝my＋1，由
得y2－4my－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，设直线MN的倾斜角为θ，则m＝，θ∈(0，π)．
故|PQ|＝＝＝＝＝4＝4＝，
|MN|＝＝＝＝4(m2＋1)＝，
故|PQ|＋|MN|＝＋8.
例1【配例1使用】已知函数f(x)＝x－＋a(2－)(a>0)，讨论f(x)的单调性．
[解析]解：由题意可知，函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝设g(x)＝x－ax＋2.当Δa2－8<0，即00都有g(x)>0，所以f′(x)>0，此时f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，当且仅当x＝时，g(x)＝0，即f′(x)＝0.当00，f′(x)>0；当x>时，g(x)>0，f′(x)>0.所以f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，且0
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间（，＋∞）上单调递增．
例2【配例2使用】已知f(x)是二次函数，f′(x)是它的导函数，且对任意的x∈R，f′(x)＝f(x＋1)＋x恒成立．若t>0，曲线C：＝f(x)在点P(t，f(t))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最小值．
[解析]解：设f(x)＝ax＋bx＋c(其中a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，(x＋1)＝a(x＋1)＋b(x＋1)＋c＝ax＋(2a＋b)x＋a＋b＋c.由已知，得2ax＋b＝(a＋1)x＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，解得(x)＝－x＋1.(t，1－t)，切线l的斜率为f′(t)＝－2t，切线l的方程为y－(1－t2t(x－t)，即y＝－2tx＋t＋1.从而切线l与x轴的交点坐标为，l与y轴的交点坐标为(0，t＋1)，(t)＝(其中t>0)，(t)＝.
当0时，S′(t)>0，(t)是增函数．∴当t＝时，S(t)取得最小值 |
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