§3掌握数学方法 一、复习要点?人们常说：一种思想，多种方法．这不仅说明了数学方法的多样性，也说明数学方法是实现数学思想的重要途径．基本的数学方法主要有：换元法、配方法、待定系数法和反证法等．1．换元法换元法是实现等价转化思想的一种重要手段．换元法的本质是映射转移，它的理论根据是等量代换．换元法的操作是施行未知量或变量替换，其关键是确定替换式．换元法又称辅助元素法．通过引进辅助元素，可以把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显现出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，从而达到化难为易、化繁为简、化生为熟的目的．常用的换元法主要有局部代换、整体代换、二元对称代换、三角代换、复数代换等．应用换元法解题一定要注意新变量的取值范围．2．配方法应用配方变形来解数学题的方法称之为配方法．配方法的实质是集中变量，其理论依据是代数式的恒等变形．配方的目标是使数学表达式中出现完全平方式，因此，配方法是一种非常基本而又十分具体的数学技巧．它适用的范围主要是：（1）一元二次方程（包括二次齐次方程）和一元二次不等式的解法与讨论；（2）二次函数，或可化为二次函数的复合函数的单调性、对称性和最值的讨论与求解；（3）证明与二次型有关的等式和不等式；（4）缺交叉项ｘｙ的二次曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0的化简与平移变换．中学数学中常见的配方形式有：ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋ｂ／2ａ）２＋（4ａｃ－ｂ２）／4ａ；ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝（ａ＋ｂ／2）２＋（／2ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋3ａｂ；ａ２＋ｂ２＝[（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２]／2；ａｂ＝[（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２]／4；ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ｂｃ－ｃａ＝（1／2）［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］；（ｘ１－ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２－4ｘ１ｘ２．3．待定系数法在某些数学问题中，如果我们事先能够判断所求问题的结果具有某种确定的数学表达形式，仅仅是这种形式中的某些系数有待确定，则可先引进适当的几个“尚待确定的系数”，把要解答的数学问题，根据给定的已知条件，列出含有尚待确定系数的方程或方程组，并解此方程或方程组，以求出这些待定系数的值，从而使问题得到解决．这种解决数学问题的方法，称之为待定系数法．要判断一个数学问题能否用待定系数法求解，关键是这个问题的结果是否具有某种确定的数学表达形式，如果具有，则可使用待定系数法求解．例如，解析几何中曲线（或轨迹）的方程，如果能事先确定曲线（或轨迹）的形状，就可以根据题设的其它条件，考虑用待定系数法确定曲线（或轨迹）的位置和大小．待定系数法的理论依据是多项式恒等的充要条件．应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）设出所求问题含待定系数的解析表达式；（2）根据多项式恒等的充要条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解这个方程（组），求出待定系数的值，或者消去待定系数，从而使问题获得解决．4．反证法反证法是一种间接的证题方法．所谓反证法，首先是假定所要证明的结论不成立，然后经过正确推理得出矛盾的结论来．据此，推翻开始的假设，从而确定原命题成立．反证法的核心是导致矛盾，因此这种方法也叫归谬法．它所针对的问题，常常是从正面不易入手，或从正面入手后，推证过程障碍颇多，而改变角度，从反面入手．其过程简明扼要，常常产生出奇制胜的效果．这种“正难则反”的思路，是解决数学问题的重要策略．反证法推理中常见的矛盾形式有：（1）与已知公理矛盾；（2）与已知定理矛盾；（3）与已知定义矛盾；（4）与已知条件（或部分条件）矛盾；（5）与由已知条件推出的某正确结论矛盾；（6）与反设自身矛盾；（7）由反设导出两个矛盾的结果等．反证法的适用范围是：（1）已知条件很少的命题；（2）结论的反面比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）存在性命题；（5）惟一性命题；（6）至少（多）型命题等．二、例题讲解例1已知ｘ≥1，ｙ≥1，且ｌｏｇ２ａｘ＋ｌｏｇ２ａｙ＝ｌｏｇａ（ａｘ２）＋ｌｏｇａ（ａｙ２），其中ａ＞1．求ｌｏｇａ（ｘｙ）的最大值和最小值．讲解：已知等式可化为ｌｏｇ２ａｘ＋ｌｏｇ２ａy－2logａx－2ｌｏｇａｙ－2＝0，即（ｌｏｇａｘ－1）２＋（ｌｏｇａｙ－1）２＝4．令Ｘ＝ｌｏｇａｘ，Ｙ＝ｌｏｇａｙ，则（Ｘ－1）２＋（Ｙ－1）２＝4．①∵ｘ≥1，ｙ≥1，ａ＞1，∴Ｘ≥0，Ｙ≥0．这时方程①表示以（1，1）为圆心，2为半径的圆弧（如图1-2），问题转化为在约束条件①下求Ｘ＋Ｙ的最大值和最小值．
图1-2
思路1．令Ｘ＋Ｙ＝ｔ，则当平行直线系Ｙ＝－Ｘ＋ｔ与圆弧①相切时，ｔｍａｘ＝2＋2；当直线系过弧的两个端点Ａ、Ｂ时，ｔｍｉｎ＝1＋．思路2．令Ｘ＝1＋2ｃｏｓθ，Ｙ＝1＋2ｓｉｎθ，由Ｘ≥0，Ｙ≥0，得－（π／6）≤θ≤（2π／3）．于是有ｌｏｇａ（ｘｙ）＝ｌｏｇａｘ＋ｌｏｇａｙ＝Ｘ＋Ｙ＝2＋2ｓｉｎ[θ＋（π／4）]．∵（π／12）≤θ＋（π／4）≤（11π／12，∴当θ＝（π／4）时，ｌｏｇａ（ｘｙ）有最大值2＋2；当θ＝－（π／6）或（2π／3）时，ｌｏｇａ（ｘｙ）有最小值1＋．说明：本题通过多次换元，从不同的角度揭示了问题的实质，使解法更简捷．例2已知ａ∈（－∞，－2］，若函数ｆ（ｘ）＝2ａｓｉｎｘ－2ｃｏｓ２ｘ＋（ａ２／2）－4ａ＋3的最小值为19，求函数ｆ（ｘ）的最大值以及取得最大值时的ｘ的值．讲解：这是一个逆向最值的问题，要求ｆ（ｘ）的最大值，首先须求出参数ａ的值．为此，可先根据ｆ（ｘ）的最小值为19建立关于ａ的方程．注意到ｆ（ｘ）可化为关于ｓｉｎｘ的二次函数，所以可从配方入手求ｆ（ｘ）的最小值．ｆ（ｘ）＝2ａｓｉｎｘ－2（1－ｓｉｎ２ｘ）＋（ａ２／2）－4ａ＋3＝2[ｓｉｎｘ＋（ａ／2）２]－4ａ＋1．∵ａ∈（－∞，－2］，∴（ａ／2）∈（－∞，－1］．∴当ｓｉｎｘ＝1，即ｘ＝2ｋπ＋（π／2）（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（x）ｍｉｎ＝2（1＋（ａ／2）２－4ａ＋1＝（ａ２／2）－2ａ＋3．由题设得（ａ２／2）－2ａ＋3＝19．解得ａ＝8（舍去），或ａ＝－4．当ａ＝－4时，ｆ（ｘ）＝2（ｓｉｎｘ－2）２＋17．∴当ｓｉｎｘ＝－1，即ｘ＝2ｋπ－（π／2）（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（x）ｍａｘ＝35．说明：本题中若去掉条件ａ∈（－∞，－2］的限制，改为ａ∈Ｒ，应如何解决?建议读者不妨试一试．例3已知数列｛ａｎ｝的通项ａｎ＝ｎ（ｎ＋1）２（ｎ∈Ｎ）．问是否存在等差数列｛ｂｎ｝，使得等式ａｎ＝1·ｂ１＋2·ｂ２＋3·ｂ３＋…＋ｎ·ｂｎ对一切自然数ｎ都成立．如果存在，求出等差数列｛ｂｎ｝的通项公式；如果不存在，请说明理由．讲解：由于｛ｂｎ｝具有等差数列这一确定的形式，因此本题适宜于用待定系数法．有以下两种基本的解题思路．思路1．假定存在等差数列｛ｂｎ｝，使得ａｎ＝1·ｂ１＋2·ｂ２＋3·ｂ３＋…＋ｎ·ｂｎ对一切自然数ｎ都成立．不妨设ｂｎ＝ｂ１＋（ｎ－1）ｄ，则ｎ（ｎ＋1）２＝1·ｂ１＋2（ｂ１＋ｄ）＋3（ｂ１＋2ｄ）＋…＋ｎ［ｂ１＋（ｎ－1）ｄ］．因涉及到两个待定系数ｂ１、ｄ，所以只需取ｎ＝1，2即可．令ｎ＝1，得ｂ１＝4；令ｎ＝2，得3ｂ１＋2ｄ＝18．联立解得ｂ１＝4，ｄ＝3．∴ｂｎ＝4＋（ｎ－1）·3＝3ｎ＋1．这时，等式ｎ（ｎ＋1）２＝1·4＋2·7＋3·10＋…＋ｎ（3ｎ＋1）仅对ｎ＝1，2成立，是否对一切自然数ｎ都成立，还需要用数学归纳法证明．下面的证明请读者补出．思路2．设ｂｎ＝ｂ１＋（ｎ－1）d，则ｎ（ｎ＋1）２＝1·ｂ１＋2（ｂ１＋ｄ）＋3（ｂ１＋2ｄ）＋…＋ｎ［ｂ１＋（ｎ－1）ｄ］．对上式右边重组，得ｎ（ｎ＋1）２＝（1＋2＋3＋…＋ｎ）ｂ１＋［1·2＋2·3＋…＋（ｎ－1）ｎ］ｄ．∵1＋2＋3＋…＋ｎ＝ｎ（ｎ＋1）／2，1·2＋2·3＋…＋（ｎ－1）ｎ＝Ｐ２２＋Ｐ２３＋…＋Ｐ２n＝2（Ｃ２２＋Ｃ２３＋…＋Ｃ２n）＝2Ｃ３ｎ＋1＝［（ｎ＋1）ｎ（ｎ－1）］／3，∴ｎ（ｎ＋1）２＝{[ｎ（ｎ＋1）]／2}ｂ１＋［（ｎ＋1）ｎ（ｎ－1）／3］ｄ，即ｎ＋1＝（ｂ１／2）＋（ｎ－1／3）ｄ＝（ｄ／3）ｎ＋（ｂ１／2）－（ｄ／3）．
∴
（ｄ／3）＝1，
解得
ｂ１＝4，
（ｂ１／2）－（ｄ／3）＝1．
ｄ＝3．
∴存在等差数列｛ｂｎ｝，使等式对一切自然数ｎ都成立．这时ｂn＝3ｎ＋1．说明：思路具有一般性，没有必要再用数学归纳法证明．例4设ａ、ｂ、ｃ、ｄ均为正数，求证：下列三个不等式ａ＋ｂ＜ｃ＋ｄ，①（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＜ａｂ＋ｃｄ，②（ａ＋ｂ）ｃｄ＜ａｂ（ｃ＋ｄ）③中至少有一个不正确．讲解：这是一个至少型问题，显然应该用反证法证明．假设不等式①、②、③都成立，因为ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是正数，所以①与②相乘，得（ａ＋ｂ）２＜ａｂ＋ｃｄ．④由③得（ａ＋ｂ）ｃｄ＜ａｂ（ｃ＋ｄ）≤（（ａ＋ｂ）／2）２（ｃ＋ｄ）．∵ａ＋ｂ＞0，∴4ｃｄ＜（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）．结合②式，得4ｃｄ＜ａｂ＋ｃｄ，即ｃｄ＜（1／3）ａｂ．由④式得（ａ＋ｂ）２＜（4／3）ａｂ，即ａ２＋ｂ２＜－（2／3）ａｂ，矛盾．故不等式①、②、③中至少有一个不正确．说明：上述证法的基本思路是，通过不等变形，减少变量的个数，最后推出矛盾．三、专题训练1．已知ｘ，ｙ∈Ｒ，且ｘ２＋ｙ２＝4，则ｘ２＋6ｙ＋2的最大值是（）．Ａ．15Ｂ．14Ｃ．11Ｄ．102．若抛物线4ｙ＝ｘ２－8ｘ＋c的焦点在ｘ轴上，则实数c的值是（）．Ａ．16Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．103．若α、β是方程ｘ２－2ａｘ＋ａ＋6＝0的两个实根，则（α－1）２＋（β－1）２的最小值是（）．Ａ．8Ｂ．18Ｃ．－12（1／4）Ｄ．不存在4．有首项为ａ１＝1的等差数列｛ａｎ｝和等比数列｛ｂｎ｝，把这两个数列对应项相加得的新数列｛ａｎ＋ｂｎ｝的前三项分别为3，12，23，则｛ａｎ｝的公差ｄ与｛ｂｎ｝的公比ｑ之和为（）．Ａ．14Ｂ．－5Ｃ．7Ｄ．95．函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的最大值是__________．6．过双曲线2ｘ２－ｙ２－8ｘ＋6＝0的右焦点作直线交双曲线于Ａ、Ｂ两点，若｜ＡＢ｜＝4，则这样的直线存在__________条．7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得ｎ次测量分别得到ａ１，ａ２，…，ａｎ共ｎ个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”ａ是这样一个量：与其他近似值比较，ａ与各数据的差的平方和最小．依此规定，从ａ１，ａ２，…，ａｎ推出ａ＝________．8．设ａ＞0，求函数ｆ（ｘ）＝2ａ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）－ｓｉｎｘｃｏｓｘ－2ａ２的最大值．9．设双曲线的中心是坐标原点，准线平行于ｘ轴，离心率ｅ＝／2．已知点P（0，5）到该双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线的方程．10．设ａ、ｂ均为实数，给出三个点集：Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＝ｎ，ｙ＝ｎａ＋ｂ，ｎ∈Ｚ｝；Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＝ｍ，ｙ＝3ｍ２＋15，ｍ∈Ｚ｝；Ｃ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２≤144｝．求证：不存在实数ａ、ｂ，使得Ａ∩Ｂ≠Φ，且点（ａ，ｂ）∈Ｃ同时成立．
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