§2重视数学思想 一、复习要点?常用的数学思想主要有：函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想．?．函数思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想．函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法．函数思想的应用主要有：在求变量的取值范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题．2．数形结合思想空间形式和数量关系是初等数学研究的两个主要方面．在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开．根据辩证统一的思想，“数”和“形”在一定的条件下可以相互换化、相互渗透．也就是说，代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题也可以代数化（以数促形）．这样，既能避免繁杂冗长的推理与运算，又能沟通数学各分支之间的内在联系．我们把这种解决问题的方法称之为数形结合的思想．数形结合思想的本质是：数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系．3．分类讨论思想自从初中引入字母表示数以来，分类讨论便逐渐渗透于整个中学数学了．解决分类讨论问题的关键是找出分类的动机，即为什么分类；找出分类的对策，即怎样分类．引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下四个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有参数而引起的讨论．分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐类（或逐段）讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的总结．需要指出的是，并非含有参数的问题都需要讨论，讨论有时也可以回避．含有参数的问题，并非解题一开始就要进行讨论，何时讨论?一般来说，当它影响我们往下解题时，便可考虑对其进行讨论．4．等价转化等价转化是指同一命题的等价形式．可以通过变更问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现．等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍是原来要求的结果．等价转化是使用最多的一种化归，但也并非是永远可行的．数学解题有时还必须施行某些非等价转化来促使问题的解决．非等价转化时，易出现“翻译”失真，必须对“失真”部分另作处理，才能获得原问题的完全解决．尽管如此，非等价转化仍不失为一种极有用的数学化归方法，运用得当不但可使解题成功，还能起到等价转化时所无法解决的作用．常用的转化策略主要有：已知与未知的转化；正向与反面的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化；复杂与简单的转化．二、例题讲解例1设ａ＞ｂ＞ｃ且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，抛物线ｙ＝ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ被ｘ轴截得的弦长为ｌ，求证：＜ｌ＜2．讲解：由于弦长ｌ随变量ａ、ｂ、ｃ的变化而变化，所以若能建立ｌ关于ａ、ｂ、ｃ的函数关系，那么结论相当于确定该函数的值域．为了确定函数的值域，需要做好三件事：一是求函数的解析式，这可利用弦长公式和韦达定理来完成；二是化多元函数为一元函数，也就是实施减元的策略，可考虑应用条件ａ＋ｂ＋ｃ＝0；三是确定这个一元函数的定义域，可利用条件ａ＞ｂ＞ｃ及ａ＋ｂ＋ｃ＝0．∵ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，∴ａ＞0，ｃ＜0．∴Δ＝4ｂ２－4ａｃ＞0．故方程ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ＝0必有两个不相等的实根ｘ１、ｘ２，即抛物线ｙ＝ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ与ｘ轴必相交，且两个交点的横坐标分别为ｘ１、ｘ２．从而有ｌ２＝｜ｘ１－ｘ２｜２＝（ｘ１＋ｘ２）２－4ｘ１ｘ２＝（－2ｂ／ａ）２－4·（ｃ／ａ）＝4[（ｂ２／ａ２）－（ｃ／ａ）]．由于ａ＞0、ｃ＜0，而ｂ的正负不能确定，所以可将ｂ＝－（ａ＋ｃ）代入消去ｂ．∴ｌ２＝4［（ａ＋ｃ）２／ａ２－（ｃ／ａ）］＝4［（ｃ／ａ）２＋（ｃ／ａ）＋1］＝4（ｃ／ａ＋1／2）２＋3．显然，ｌ２是关于（ｃ／ａ）的二次函数，下面确定该函数的定义域，也就是（ｃ／ａ）的取值范围．∵ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，∴ａ＋2ｃ＜ａ＋ｂ＋ｃ＜2ａ＋ｃ，即ａ＋2ｃ＜0＜2ａ＋ｃ，∴－2＜（ｃ／ａ）＜－（1／2）．又ｌ２＝4（ｃ／ａ）＋（1／2）２＋3在（－2，－（1／2））上是减函数，∴3＜ｌ２＜12，故＜ｌ＜2．例2求函数ｆ（ａ，ｂ）＝［ａ－（ｂ／3）］２＋（－（27／ｂ）２的最小值．讲解：观察函数表达式的结构，不难看出，它具有两点间距离的平方这一特点，所以本题可从数形结合的角度考虑来解决．
图1-1
设A（ａ，）、Ｂ（ｂ／3，27／ｂ），则A点的轨迹为半圆ｘ２＋ｙ２＝1（ｙ≥0），B点的轨迹为双曲线ｘｙ＝9（ｘ＞0）位于第一象限的那一支（如图1-1）．连结OA、ＯＢ、ＡＢ，则｜ＯＡ｜＋｜ＡＢ｜≥｜ＯＢ｜．设OB交半圆于C点，则｜ＯＣ｜＝｜ＯＡ｜，从而有｜ＡＢ｜≥｜ＣＢ｜．因此，｜ＡＢ｜的最小值即为｜ＯＢ｜－1的最小值．设B（ｘ０，ｙ０），则｜ＯＢ｜＝＝3，当且仅当ｘ０＝ｙ０＝3，即B点在（3，3）时，｜ＯＢ｜取得最小值为2．∴｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝3－1．故ｆ（a,b）ｍｉｎ＝（3－1）２＝19－6．例3设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ，其中ａ＞0．（1）解不等式ｆ（ｘ）≤1；（2）求ａ的取值范围，使ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上是单调函数．讲解：（1）不等式ｆ（ｘ）≤1，即为≤1＋ａｘ．这是一个标准的无理不等式，若按无理不等式的一般解法，需分类讨论．但若注意到ｘ２＋1≥1，则可避免一次讨论．∵≥1，∴1＋ａｘ≥1，即ａｘ≥0．又ａ＞0，∴ｘ≥0．这时，原不等式等价于不等式组
（｛ｘ２＋1≤（1＋ａｘ）２，
ｘ≥0，
即
ｘ≥0，
（1－ａ２）ｘ≤2ａ．
∴当0＜ａ＜1时，原不等式的解集为［0，2ａ／（1－ａ２）］；当ａ＞1时，原不等式的解集为［0，＋∞）．（2）设ｘ１＞ｘ２≥0，则ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝－－ａ（ｘ１－ｘ２）＝…＝（ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２）／（＋）－ａ）．1°当ａ≥1时，∵ｘ１＞ｘ２≥0，∴（ｘ１＋ｘ２）／（＋）＜1，∴（ｘ１＋ｘ２）／（＋）－ａ＜0．又ｘ１－ｘ２＞0，∴ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜0，即ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）．故当ａ≥1时，ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上是减函数．2当0＜ａ＜1时，在区间［0，＋∞）上存在两个实数ｘ１＝2ａ／（1－ａ２），ｘ２＝0，使ｘ１＞ｘ２≥0，且满足ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝1，所以ｆ（ｘ）在［0，＋∞）上不是单调函数．综上所述，当且仅当ａ≥1时，函数ｆ（ｘ）在［0，＋∞）上是单调函数．说明：（ｉ）虽然我们一开始就通过挖掘题目的隐含条件≥1，避免了一次大规律的讨论，但是两个小题还都各进行了一次小范围内的讨论．（ｉｉ）本题也可以应用数形结合的思想来解决，留给读者去完成．例4对任意的ａ∈［－1，1］，函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ－4）ｘ＋4－2ａ的值总大于零，求ｘ的取值范围．讲解：本题看上去是一个关于ｘ的二次不等式问题，可通过讨论求解．但若仔细观察，可将变量ｘ的函数ｆ（ｘ）转化为参数ａ的新函数ｇ（ａ），且ｇ（ａ）是关于ａ的一次函数．设ｇ（ａ）＝（ｘ－2）ａ＋ｘ２－4ｘ＋4．∵当ａ∈［－1，1］时，ｇ（ａ）＞0恒成立，
∴
ｇ（－1）＞0，
ｇ（1）＞0，
即
－（ｘ－2）＋ｘ２－4ｘ＋4＞0，
（ｘ－2）２＋ｘ２－4ｘ＋4＞0．
解得ｘ＜1或ｘ＞3．故所求ｘ的取值范围是（－∞，1）∪（3，＋∞）．说明：本题通过主变量与参变量的转化，抓住了问题的本质，寻找到了解题的最佳切入点；又通过数和形的转化，建立了关于ｘ的不等式，简化了解题过程．三、专题训练1．已知关于ｘ的不等式＞ａｘ的解集为（0，4］，则实数ａ的取值范围是（）．Ａ．ａ≥0Ｂ．ａ＞0Ｃ．ａ≤0Ｄ．ａ＜02．对每个实数ｘ，设ｆ（ｘ）为4ｘ＋1、ｘ＋2和－2ｘ＋4三个函数中的最小值，那么函数ｆ（ｘ）的最大值是（）．Ａ．1／3Ｂ．2／3Ｃ．8／3Ｄ．5／23．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ／｜ｓｉｎｘ｜＋ｃｏｓｘ／｜ｃｏｓｘ｜＋｜ｔｇｘ｜／ｔｇｘ＋｜ｃｔｇｘ｜／ｃｔｇｘ的值域是（）．Ａ．｛4，2，0｝Ｂ．｛4，－2，0｝Ｃ．｛－4，－2，0｝Ｄ．｛4，－4，0，－2｝4．当｜ｘ｜≤1时，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋2ａ＋1的值有正也有负，则实数ａ的取值范围是（）．Ａ．（－1，－（1／3））Ｂ．（－1，＋∞）Ｃ．（－（1／3），＋∞）Ｄ．（－∞，－1）∪（－（1／3），＋∞）5．若三条直线ｘ＋2ｙ＝0、ｘ－ｙ＋3＝0、ａｘ＋ｙ＋5＝0在坐标平面上不能构成三角形，则实数ａ的所有取值之和为____________．6．设ａｎ＝（ｎ－）／（ｎ－）（ｎ∈Ｎ），当ａｎ取最大值时，ｎ＝_______．7．已知ｔｇ2ｘ＋＋ｍ＝0，ｔｇ3ｙ＋－ｍ＝0，且｜ｘ｜＜（π／6），｜ｙ｜＜（π／6），则ｌｏｇ２（2ｘ＋3ｙ＋8）＝____________．8．已知实数ｐ、ｑ满足ｌｇ（ｌｏｇ3ｐ）＝ｌｇ（2－ｑ）＋ｌｇ（ｑ＋1），求ｐ的取值范围．9．已知集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｍｘ－ｙ＋2＝0｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ－ｙ＋1＝0，且0≤ｘ≤2｝．如果Ａ∩Ｂ≠Ф，求实数ｍ的取值范围．10．设ｆ（ｘ）是定义在区间（－∞，＋∞）上以2为周期的函数．对ｋ∈Ｚ，用Ｉｋ表示区间（2ｋ－1，2ｋ＋1］，已知当ｘ∈Ｉ０时，ｆ（ｘ）＝ｘ２．（1）求ｆ（ｘ）在Ｉｋ上的解析表达式；（2）对自然数ｋ，求集合Ｍｋ＝｛ａ｜使方程ｆ（ｘ）＝ａｘ在Ｉｋ上有两个不相等的实根｝．
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