§3解三角形的综合问题 一、复习要点本节复习的重点是：如何把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其他三角函数公式配合运用，解答三角形的综合问题.这类试题在历年高考中时有出现．把方程观点和三角式的恒等变形方法结合运用，是解答这类问题的策略之一．把边和角的已知关系式相互转化，是解答这类问题的策略之二．巧用内角和定理，是解答这类问题的策略之三．例如，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ，ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝－ｃｏｓＡ，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ（Ａ／2），ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｓｉｎ（Ａ／2），ｔｇ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｔｇ（Ａ／2）等．二、例题讲解例1（1）在△ＡＢＣ中，Ａ＝（π／3），求证ｂ＋ｃ≤2ａ；（2）在△ＡＢC中，ａ，ｂ，ｃ成等差数列，求证B≤60°．讲解：（1）本题是由三角形角的一种特殊性，推证边的一种大小关系.要完成证明，应先吃透条件，寻找沟通目标与条件的渠道．由Ａ＝（π／3）Ｂ＋Ｃ＝（2／3）π，Ａ＝（Ｂ＋Ｃ）／2；根据目标不等式的形状，想到用正弦定理可把目标与条件沟通，即用正弦定理可把边的不等式转化为关于角的不等式，从而与条件相衔接，分析归纳后得证法如下：由正弦定理和Ａ＝（π／3），A+B+C＝π推知ｂ＋ｃ≤2ａｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ≤2ｓｉｎＡｓｉｎ（（2π／3）－Ｃ）＋ｓｉｎＣ≤（／2）ｃｏｓＣ＋（3／2）ｓｉｎＣ≤ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣ≤22ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤2ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤1．最后一不等式是显然成立的，故有ｂ＋ｃ≤2ａ．（2）本题是由三角形边的一种特殊关系，推证角的一种大小关系问题.先理解条件ａ，ｂ，ｃ成等差数列，即2ｂ＝ａ＋ｃ；再寻找目标与条件的联系：由于目标不等式是三角形一个内角的变化范围，故用余弦定理能把目标与条件联系起来．得证法如下：∵ａ，ｂ，ｃ成等差数列，∴2ｂ＝ａ＋ｃ，且由余弦定理，得ｃｏｓＢ＝（ａ２＋ｃ２－ｂ２）／（2ａｃ）＝（ａ２＋ｃ２－（（ａ＋ｃ）／2）２／（2ａｃ）＝（3（ａ２＋ｃ２）－2ａｃ／8ａｃ）（6ａｃ－2ａｃ／8ａｃ）＝（1／2）＝ｃｏｓ60°．又0＜Ｂ＜π，且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，故得Ｂ≤60°．例2在△ABC中，若（sin２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（1＋ｃｏｓ2Ｃ）／（1＋ｃｏｓ2Ｂ），试证明△ABC为等腰三角形或直角三角形；讲解：思路1．要证明三角形为等腰三角形，须由条件推得两边相等或两角相等；要证明三角形为直角三角形，须由条件推得三边满足勾股关系或一角等于90°．这就需要运用恒等变形的方法和方程观点对条件等式进行转化．注意到条件等式右端若用二倍角公式，条件即化为更均称的形式（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．观察此式，易从左端想到正弦定理，而从右端想到余弦定理；左右两端分别用正余弦定理变形，即可以从边的关系方面把左右两端沟通，有希望解出勾股关系或边的相等关系．进一步分析后，得证法如下：根据二倍角公式，由条件得（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．等式左右两端分别用正、余弦定理，得（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝（（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／2ａｂ））２／（（ａ２＋ｃ２－ｂ２／2ａｃ））２）＝（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２））２·（ｃ２／ｂ２），∴（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1）＝0．由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝0，得ａ２＋ｂ２＝ｃ２；由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1＝0，得ａ２ｃ２＋ｂ２ｃ２－ｃ４＝ａ２ｂ２－ｂ４＋ｂ２ｃ２，即（ｃ２－ｂ２）（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＝0．∴ｂ＝ｃ或ｂ２＋ｃ２＝ａ２．故三角形为等腰三角形或直角三角形．思路2．变换到（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）时，左端用正弦定理即为（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２＋ｃ２－ｂ２），而此表达式的形式又容易使我们想到余弦定理ａ２＋ｂ２－ｃ２＝2ａｂｃｏｓＣ，ａ２＋ｃ２－ｂ２＝2ａｃｃｏｓＢ，故而此式＝（ｂｃｏｓＣ）／（ｃｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），从而有（ｃｏｓ２Ｃ）／ｃｏｓ２Ｂ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），（ｃｏｓＣ／ｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢ／ｓｉｎＣ），即ｓｉｎ2Ｂ＝ｓｉｎ2Ｃ，2Ｂ＝2Ｃ或2Ｂ＝π－2Ｃ，即Ｂ＝Ｃ或Ｂ＋Ｃ＝（π／2）．可知此三角形为等腰三角形或直角三角形．例3已知△ＡＢＣ的三个内角A、B、C满足Ａ＋Ｃ＝2Ｂ，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）．求ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2）的值．（1996年高考题）讲解：这是一道三角形中的条件求值问题．根据题目的条件与目标结构特点，解答本题的基本想法可以是：将其他已知条件代入条件方程式（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ），然后运用恒等变形方法和方程观点进行转化，从中解出目标ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2来．由△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｃ＝2ＢＢ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°；代入条件方程式，整理，得ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］；且二倍角公式能把左边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）相沟通，又左边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）能求出，故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由题设条件知，Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．∵（－／ｃｏｓＢ）＝－2，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－2．将上式化为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．利用和差化积及积化和差公式，上式化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］．将ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ60°＝（1/2），ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－（1／2）代入上式，得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝（／2）－ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）．将ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）＝2ｃｏｓ2[（Ａ－Ｃ）／2]－1代入上式并整理，得4ｃｏｓ２（Ａ－Ｃ）／2＋2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－3＝0，（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－）（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3）＝0，∵2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3≠0，∴2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－＝0．从而得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝／2．若运用变量替换法，还可以有如下解法：由题设条件知Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．设α＝（Ａ－Ｃ）／2，则A－Ｃ＝2α，可得Ａ＝60°＋α，Ｃ＝60°－α．∴（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）化为ｃｏｓ（60°＋α）＋ｃｏｓ（60°－α）＝－2ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）．又ｃｏｓ（60°＋α）＝（1／2）ｃｏｓα－（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°－α）＝（1／2）ｃｏｓα＋（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）＝（1／4）ｃｏｓ２α－（3／4）ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α－（3／4），代入上式并整理，得4ｃｏｓ２α＋2ｃｏｓα－3＝0，（2ｃｏｓα－）（2ｃｏｓα＋3）＝0．∵2ｃｏｓα＋3≠0，∴2ｃｏｓα－＝0．故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝ｃｏｓα＝（／2）．三、专题训练1．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）．A．（0，（／2））B．（1，］C．［（1／2），（／2）］D．（（1／2），（／2）］2．△ABC中，cos2Ａ＜cos2Ｂ是Ａ＞B的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．等腰三角形腰长为2，底边的中点到腰的距离为（／2），则三角形外接圆半径为（）．Ａ．（2／3）Ｂ．4Ｃ．2或（2／）Ｄ．4或（4／3）4．设1＜ｔ＜（／2），在△ＡＢＣ中，Ｃ＝（π／2），ａ＋ｂ＝ｔｃ，则｜Ａ－Ｂ｜的变化范围是区间（）．Ａ．（0，（π／3））Ｂ．（（π／4），（π／3））Ｃ．（（π／3），（π／2））Ｄ．（0，（π／2））5．操场上有一旗杆OP（如图3-5），为了测得它的高度ｈ，在地面上取一基线ＡＢ＝20米，在A处测得P点的仰角∠ＯＡＰ＝30°，在B处测得P点的仰角∠ＯＢＰ＝45°，又测得∠ＡＯＢ＝150°，则旗杆的高ｈ＝________米．
图3-5
6．如图3-6所示，货轮在海上以40km/小时的速度沿着方位角（从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点与灯塔A的距离是________km（结果可以保留根号）．
图3-6
7．设△ＡＢC中角A、B、C所对边长分别为ａ、ｂ、ｃ，关于直线ｘｓｉｎＡ＋ａｙ＋ｃ＝0与ｂｘ＋ｙｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝0的位置关系有以下四个判定：①可以是相互平行的位置关系；②可以是重合的位置关系；③可以是相互垂直的位置关系；④一定是相交但不垂直的位置关系．其中正确判定的序号是________．（把你认为正确判定的序号都填上）8．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，C＝90°，ｒ、Ｒ分别是三角形内切圆半径和外接圆半径，求（ｒ／Ｒ）的最大值．9．已知△ＡＢC的三内角A，B，C成等差数列，公差为θ，又（1／ｓｉｎ2Ａ），（1／ｓｉｎ2Ｂ），（1／ｓｉｎ2Ｃ）也成等差数列，求ｃｏｓθ．10．锐角△ＡＢＣ中，2ｔｇＢ＝ｔｇＡ＋ｔｇＣ，且函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｃｏｓ2Ｃ）＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）．（1）求ｔｇＡｔｇＣ的值；（2）求ｆ（ｘ）的表达式．
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