§2不等式的证明（二） 一、复习要点在掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法和数学归纳法的基础上，还应掌握判别式法、换元法、反证法以及放缩技巧．放缩技巧贯穿在证明任一不等式的过程之中．放缩的方法很多，诸如增减项或因式、判别式、函数单调性和有界性，二、三元均值不等式，等等．二、例题讲解例1已知ｉ、ｍ、ｎ是正整数，且1＜ｉ≤ｍ＜ｎ．（1）证明ｎｉＰｉｍ＜ｎｉＰｉｎ；（2）证明（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ．（2001年高考理科试题）讲解：为了看清问题，我们不妨取ｉ＝2，ｍ＝3，ｎ＝4，则（1）可特殊化为证明4２·＜3２·．这时，既可证明（4２／3２）＜（／）或（／）＜（3２／4２），又可证明（4２·）／（3２·）＜1或（3２·）／（4２·）＞1．其中的证明必会启迪一般化的证明思路，即为证明（1），需对其作等价变形，证明方法并不惟一，可用分析法、综合法、数学归纳法等来证．一般说来，高考数学试题如果有几问，则它们往往是有联系的，前者常常是后者的铺垫，后者常常要用到前者的结论，故而欲证（2），须从（1）出发，寻找（1）与（2）的联系便是我们的解题方向，消灭其差异就可获解．过程请读者思考．在以能力立意的高考数学试题中，新颖而陌生的情境是体现公平竞争的标志，是考生展现其能力的良机．还想说明一点，如果不借用（1），那么（2）又如何证明呢?我们作以下变形：（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍｎｌｇ（1＋ｍ）＞ｍｌｇ（1＋ｎ）ｌｇ（1＋ｍ）／ｍ＞ｌｇ（1＋ｎ）／ｎ，设ｆ（ｘ）＝ｌｇ（1＋ｘ）／ｘ），ｘ∈Ｎ，则问题转化为证明该函数是减函数，这与原问题的难度没什么两样．如果作出函数ｙ＝ｌｇ（1＋ｘ）的图象（图4－1），则［ｌｇ（1＋ｘ）］／ｘ可看成图象上一点与原点连线的斜率．这样，问题的几何意义便是明显的．这代替不了证明!
图4－1
我们又想，既然要证ｌｇ（1＋ｍ）／ｍ）＞ｌｇ（1＋ｎ）／ｎ，则一定有ｌｇ2／1＞ｌｇ3／2＞ｌｇ4／3＞ｌｇ5／4＞…＞ｌｇ（ｎ＋1）／ｎ．这启发我们，反之也许可证，即只要证明了ｆ（1）＞ｆ（2）＞ｆ（3）＞ｆ（4）＞…＞ｆ（ｎ），就证明了ｆ（ｍ）＞ｆ（ｎ）．为此，仅需证明，当ｎ≥2时，有ｌｇｎ／（ｎ－1）＞［ｌｇ（1＋ｎ）］／ｎ．即ｎｎ＞（1＋ｎ）ｎ－1，亦即ｎ＋1＞（1＋（1／ｎ））ｎ．（）（）的证明可用数学归纳法，亦可用二项展开式进行放缩．留给读者完成．有趣的是，借用ｎ元算术平均数与几何平均数的不等式，亦可直接证明（2）：（1＋ｎ）ｍ＝｛（ｍ个）［（1＋ｎ）（1＋ｎ）·…·（1＋ｎ）］｝·｛（ｎ－ｍ个）［1·1·1·…·1］｝＜｛［（ｍ（1＋ｎ）＋（ｎ－ｍ）·1］／［ｍ＋（ｎ－ｍ）］｝ｎ＝（1＋ｍ）ｎ．不等式对训练思维的价值我们从此例可见一斑，探索是艰难的，但更是有趣的！更多的证法可参见本刊2001年第8期的高考试题解法介评．例2已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ＋ｂ＝1，求证：（ａ＋2）２＋（ｂ＋2）２≥（25／2）．讲解：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它们的“桥”较多，可从不同的角度来思考．思考一、用作差比较来完成，利用ａ＋ｂ＝1可将二元问题化为一元问题．思考二、用分析法来完成，最终可化为证（ａ－（1／2））２≥0．思考三、用综合法来完成，由（ａ－（1／2））２≥0出发进行变形．思考四、用反证法来完成．思考五、用放缩法来完成，利用基本不等式ａ２＋ｂ２≥2（（ａ＋ｂ）／2）２．思考六、用均值换元法来完成，设ａ＝（1／2）＋ｔ，ｂ＝（1／2）－ｔ．思考七、用构造函数法来完成，由ａ＋ｂ＝1，设ｙ＝（ａ＋2）２＋（ｂ＋2）２，则ｙ＝2ａ２－2ａ＋13＝2（ａ－（1／2））２＋（25／2）≥（25／2）．思考八、用判别式法来完成，在得到ｙ＝2ａ２－2ａ＋13后，改变观点，视其为方程，有2ａ２－2ａ＋13－ｙ＝0．因ａ∈Ｒ，则Δ＝4－4×2×（13－ｙ）≥0，从而（ａ＋2）２＋（ｂ＋2）２≥（25／2）．思考九、用数形结合法来完成，欲证不等式的几何意义是：点（－2，－2）到直线ａ＋ｂ＝1上的点的距离的平方和的最小值为（25／2）．利用平面几何知识及点到直线距离公式易得．知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，弄懂了这个法宝必然会促使解题（思维）能力的逐步提高．例3已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（（1／ｘ）－1），ｘ∈（0，（1／2）），若ｘ１，ｘ２∈（0，（1／2））且ｘ１≠ｘ２，求证：（1／2）［ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）］＞ｆ（（ｘ１＋ｘ２）／2）．讲解：要证明原不等式，只需证明（（1／ｘ１）－1）（（1／ｘ２）－1）＞（2／（ｘ１＋ｘ２）－1）２．事实上，∵0＜ｘ１，ｘ２＜（1／2），ｘ１≠ｘ２，（（1／ｘ１）－1）（（1／ｘ２）－1）－（2／（ｘ１＋ｘ２）－1）２＝（1／ｘ１ｘ２）－（1／ｘ１）－（1／ｘ２）－（4／（ｘ１＋ｘ２）２）＋（4／ｘ１＋ｘ２）＝［（ｘ１－ｘ２）２（1－ｘ１－ｘ２）］／［ｘ１ｘ２（ｘ１＋ｘ２）２］＞0，（（1／ｘ１）－1）（（1／ｘ２）－1）＞［2／（ｘ１＋ｘ２）－1］２，即有ｌｇ｛［（1／ｘ１）－1］［（1／ｘ２）－1］｝＞ｌｇ［2／（ｘ１＋ｘ２）－1］２．故（1／2）［ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）］＞ｆ［（ｘ１＋ｘ２）／2］．采用分析法寻求证明思路，运用作差法表述证明过程，两者联接，水到渠成．若将“对数函数”改为“正切函数”，就有类似习题：已知函数ｆ（ｘ）＝ｔｇｘ，ｘ∈（0，（π／2）），若ｘ１，ｘ２∈（0，（π／2））且ｘ１≠ｘ２，求证：（1／2）［ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）］＞ｆ（（ｘ１＋ｘ２）／2）．这是一道三角不等式证明题，一方面，可通过三角恒等变形，利用余弦函数的有界性证之；另一方面可设法换元，转化为代数不等式解决．令ａ＝ｔｇ（ｘ１／2），ｂ＝ｔｇ（ｘ２／2），则ａ，ｂ∈（0，1），ａ≠ｂ，因所证不等式即（1／2）（ｔｇｘ１＋ｔｇｘ２）＞ｔｇ（（ｘ１／2）＋（ｘ２／2））．故在上述代换之下，此不等式就等价于ａ／（1－ａ２）＋ｂ／（1－ｂ２）＞（ａ＋ｂ）／（1－ａｂ）．（）事实上，因为ａ，ｂ∈（0，1），且ａ≠ｂ，故ａ２＋ｂ２＞2ａｂ，从而ａ／（1－ａ２）＋ｂ／（1－ｂ２）＝［ａ（1－ｂ２）＋ｂ（1－ａ２）］／［（1－ａ２）（1－ｂ２）］＝（（ａ＋ｂ）（1－ａｂ）／1－（ａ２＋ｂ２）＋ａ２ｂ２）＞［（ａ＋ｂ）（1－ａｂ）］／（1－2ａｂ＋ａ２ｂ２）＝（ａ＋ｂ）／（1－ａｂ）．故原不等式成立．在学习解题的过程中，要善于抓住类似题目之间的本质属性，逐渐学会解一题知一类，以期达到触类旁通、一叶知秋之功效．对于不等式（＊），有如下类似的不等式：若ａ，ｂ∈（0，1），则（1）（1－ａ２）／ａ＋（1－ｂ２）／ｂ≥4·（1－ａｂ）／（ａ＋ｂ）；（2）ａ／（1－ｂ２）＋ｂ／（1－ａ２）≥（ａ＋ｂ）／（1－ａｂ）．三、专题训练1．已知0＜b＜a＜（1／4），则，a-b，-的大小顺序是（）．．＞a-b＞-．-＞＞a-b．＞-＞a-b．a-b＞＞-2．给出下列四个推导过程：①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2=2;②∵x，y∈Ｒ＋，∴;，a≠0，∴（4／a）+a≥2=4;，y∈，xy＜0，（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2.其中正确的是（）．．①②B．②③C．③④．①④．若正数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝1，则以下结论：①（1／ａｂ）≤4；②；③（1＋（1／ａ））（1＋（1／ｂ））≥9；④（ａ＋（1／ａ））（ｂ＋（1／ｂ））≥（25／4）中，正确的是（）．Ａ．②③Ｂ．②④Ｃ．②③④Ｄ．①②③④4．某厂产值第二年比第一年增长ｐ％，第三年比第二年增长ｑ％，又这两年的平均增长率为ｓ%，则ｓ与（ｐ＋ｑ）／2的大小关系是（）．Ａ．ｓ＞（ｐ＋ｑ）／2Ｂ．ｓ＝（ｐ＋ｑ）／2Ｃ．ｓ≤（ｐ＋ｑ）／2Ｄ．ｓ≥（ｐ＋ｑ）／2．若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，ｘ＝（／ａ＋ｂ＋ｃ），则ｘ的整数部分是_________．6．若正数ａ、ｂ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋3，则ａｂ的取值范围是_________．（用区间表示）7．已知x，y∈Ｒ＋，x+2y=3，则（1／x）+（1／y）的最小值是_________.．已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＞2，求证：（1＋ｙ／ｘ）与（1＋ｘ／ｙ）中至少有一个小于2．9．设△ABC的三边长为a、b、c，且满足a+b+c=2，求证＜5.10．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ＋ｃ定义在区间［0，1］上，ｘ１，ｘ２∈［0，1］，且ｘ１≠ｘ２，求证：（1）ｆ（0）＝ｆ（1）；（2）｜ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）｜＜2｜ｘ２－ｘ１｜；（3）｜ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）｜＜1．
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