§5不等式的综合问题 一、复习要点?不等式常与函数、三角、几何、数列、复数等知识综合，涉及不等式的综合题是高考数学的常见题目.诸如求函数的定义域、值域、最值或单调区间，确定参变量的取值范围，跨学科的不等式证明，探求两曲线的位置关系，关联不等式的实际应用题，等等．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式（实为分离变元），适时活用二、三元均值不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③均值不等式法；④依据某些变量（如ｃｏｓθ、离心率ｅ）的有界性等．?二、例题讲解例1设二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ，ｃ∈Ｒ），已知不论α、β为何实数，恒有ｆ（ｓｉｎα）≥0，ｆ（2＋ｃｏｓβ）≤0．（1）求证：ｂ＋ｃ＝－1；（２）求证：ｃ≥3；（3）若函数ｆ（ｓｉｎα）的最大值为8，求ｂ、ｃ的值．讲解：对于（1），欲出现ｂ＋ｃ，需让ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中的ｘ取1．给的是不等关系，要的是相等关系，故可采用两边夹的办法，即既推ｆ（1）≥0，又推ｆ（1）≤0．有了（1），则二次函数的解析式可消去ｂ，即ｆ（ｘ）＝ｘ２－（1＋ｃ）ｘ＋ｃ．为了证（2），我们可采用取中间点与端点值试验的方法，看什么时候能达到要求．注意到｜ｓｉｎα｜≤1，1≤2＋ｃｏｓβ≤3，可计算ｆ（－1），ｆ（0），ｆ（3），易知当ｘ＝3时，可得到（2），但这不能代替证明！证明需这样写：∵ｆ（ｘ）＝ｘ２－（1＋ｃ）ｘ＋ｃ＝（ｘ－1）·（ｘ－ｃ）≤0在1≤ｘ≤3时恒成立，∴ｘ－ｃ≤0，即ｘ≤ｃ恒成立．∴ｃ≥ｘｍａｘ＝3．对于（3），首先有ｆ（ｓｉｎα）＝ｓｉｎ２α－（1＋ｃ）ｓｉｎα＋ｃ，考察该函数的单调性，看什么时候ｆ（ｓｉｎα）取最大值8．由（2）知ｃ≥3，从而（1＋ｃ）／2≥2，故ｆ（ｓｉｎα）在ｓｉｎα＝－1时取最大值8，即（－1）２＋（1＋ｃ）·1＋ｃ＝8，得ｃ＝3，从而ｂ＝－1－ｃ＝－1－3＝－4．二次函数、一元二次不等式、一元二次方程的关系非常密切，它们相互联系，相互渗透，使得这个“知识网络”的新题层出不穷，成为近几年高考试题的一个热点．例2在数列｛ａｎ｝中，已知ａ１＝ａ（ａ＞2），且ａｎ＋1＝（ａｎ２／2（ａｎ－1））（ｎ∈Ｎ）．（1）求证：ａｎ＞2（ｎ∈Ｎ）；（2）求证：ａｎ＋1＜ａｎ（ｎ∈Ｎ）；（3）若存在ｋ∈Ｎ，使得ａｋ≥3，求证：ｋ＜ｌｇ（3／ａ）／ｌｇ（3／4）＋1．讲解：本题涉及数列、数学归纳法、不等式性质、均值不等式、不等变换、解不等式等多方面知识内容和思想方法．三问之间，联系紧密，环环相扣!对于（1），可用数学归纳法与均值不等式；其中，还需用到拆项、变形技巧，即ａｋ＋1＝（ａｋ２／2（ａｋ－1））＝（1／2）［（ａｋ－1）＋1／（ａｋ－1）＋2］．对于（2），可作商分析．因（ａｎ＋1／ａｎ）＝（ａｎ／2（ａｎ－1））＝（1／2）（1＋（1／ａｎ－1）），且由（1）知ａｎ＞2，即ａｎ－1＞1，故（ａｎ＋1／ａｎ）＜（1／2）（1＋1）＝1．对于（3），由（2）知ａｎ＋1＜ａｎ，又ａｋ≥3，所以ａ1＞ａ２＞ａ３＞…＞ａｋ－1＞ａｋ≥3．则（ａｋ／ａｋ－1）＝（ａｋ－1／2（ａｋ－1－1））＝（1／2）（1＋1／（ａｋ－1－1））＜（3／4）．从而ａｋ＝ａ１·（ａ２／ａ１）·（ａ３／ａ２）·…·（ａｋ／ａｋ－1）＜ａ１·（3／4）·（3／4）·…·（3／4）＝ａ（3／4）ｋ－1，得3≤ａｋ＜ａ（3／4）ｋ－1，于是ａ（3／4）ｋ－1＞3．又ａ＞0，∴（3／4）ｋ－1＞（3／ａ），解得ｋ＜ｌｇ（3／ａ）／ｌｇ（3／4）＋1．本题充分体现了在“知识网络”的交汇处考查学生的能力与素质．第（3）问思维层次较高，但有悖于不等式证明的常规思路，此处仅是为了开阔视野才选出来．例3已知抛物线ｙ＝ａｘ２－1上存在关于直线ｘ＋ｙ＝0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．讲解：方法1．由判别式导出不等式．设抛物线上关于直线ｌ对称的两相异点为P（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２），线段PQ的中点为M（ｘ０，ｙ０）.设直线PQ的方程为ｙ＝ｘ＋ｂ，由于P、Q两点存在，所以方程组
ｙ＝ｘ＋ｂ，
有两组不同的实数解，即得方程
ｙ＝ａｘ２－1
ａｘ２－ｘ－（1＋ｂ）＝0．①判别式＝1＋4ａ（1＋ｂ）＞0．②由①得ｘ０＝（ｘ１＋ｘ２／2）＝（1／2ａ），ｙ０＝ｘ０＋ｂ＝（1／2ａ）＋ｂ．∵Ｍ∈ｌ，∴0＝ｘ０＋ｙ０＝（1／2ａ）＋（1／2ａ）＋ｂ，即ｂ＝－（1／ａ），代入②解得ａ＞（3／4）．方法2．由均值不等式导出不等式．设同方法1，由题意得
ｙ１＝ａｘ１２－1，
①
ｙ２＝ａｘ２２－1，
②
（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝1，
③
（ｙ１＋ｙ２）／2＋（ｘ１＋ｘ２）／2＝0．
④
由①、②代入③、④并注意到ａ≠0，ｘ１－ｘ２≠0，得
ｘ１＋ｘ２＝（1／ａ），
⑤
ｘ１２＋ｘ２２＝－（1／ａ２）＋（2／ａ）．
⑥
由二元均值不等式易得2（ｘ１２＋ｘ２２）＞（ｘ１＋ｘ２）２（ｘ１≠ｘ２.）将⑤、⑥代入上式得2（－（1／ａ２）＋2／ａ）＞（1／ａ）２，解得ａ＞（3／4）．方法3．利用点在曲线内部（或外部）导出不等式．同方法2，由①－②，得ｙ１－ｙ２＝ａ（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）．∵ｘ１－ｘ２≠0，ａ（ｘ１＋ｘ２）＝（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝1，ｘ０＝（ｘ１＋ｘ２）／2＝（1／2ａ）．Ｍ（ｘ０，ｙ０）∈ｌ，∴ｙ０＋ｘ０＝0，即ｙ０＝－ｘ０＝－（1／2ａ），从而PQ的中点M的坐标为（（1／2ａ），－（1／2ａ））．∵Ｍ在抛物线内部，∴ａ（1／2ａ）２－（－（1／2ａ））－1＜0，解得ａ＞（3／4）．（舍去ａ＜0，为什么?）本题介绍了构造不等关系的几种常用方法．三、专题训练．一个直角三角形的周长为2，一个锐角为α，其斜边长的最小值为（）．．2／（+1）．2／（+1-1）．2／（3+）．2／（3-）．直线ｘ＋ｙ－ｍ＝0与圆ｘ２＋ｙ２＝1在第一象限内有两个不同的交点，则ｍ的取值范围是（）．Ａ．1＜ｍ＜2Ｂ．＜ｍ＜3Ｃ．1＜ｍ＜Ｄ．＜ｍ＜23．若a＞b＞1，P=，Q=（1／2）（lga+lgb），R=lg（（a+b）／2），则（）．Ａ．Ｒ＜P＜QＢ．P＜Q＜RＣ．Q＜P＜RＤ．P＜R＜Q．设ａ＝ｓｉｎ15°＋ｃｏｓ15°，ｂ＝ｓｉｎ16°＋ｃｏｓ16°，则（）．Ａ．ａ＜（ａ２＋ｂ２）／2＜ｂＢ．ａ＜ｂ＜（ａ２＋ｂ２）／2Ｃ．ｂ＜ａ＜（ａ２＋ｂ２）／2Ｄ．ｂ＜（ａ２＋ｂ２）／2＜ａ5．已知ａ＞0，ｂ＞0，ａ＋2ｂ＝6，则ｌｏｇ２ａ＋2ｌｏｇ２ｂ的最大值是__________．6．已知α、β是实数，给出四个论断：；＞2，|β|＞2；＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：__________．
7．椭圆
ｘ＝2ｃｏｓθ，
（θ是参数）上的点到直线
ｘ＝1＋3ｔ，
ｙ＝ｓｉｎθ
y=－1－4ｔ
（ｔ是参数）的距离的最大值是__________．8．若ｐ、ｑ是方程ｘ２－ｘ＋ｔ２＝0的两实根，且ｐ，ｐ－ｑ，ｑ成等比数列．（1）求正数ｔ的值；（2）设ａｎ＝（1／ｎ（ｎ＋1）），Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前n项和，求证ｌｏｇ２ｔ≤Ｓｎ＜（1／2）ｌｏｇｔ2．9．已知f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞0，a≠1，t∈R）.（1）当t=4，x∈［0，1）时，求g（x）-f（x）的最值；（2）当0＜a＜1，x∈［0，1）时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．．已知函数ｆ（ｘ）＝（ａｘ２＋1）／（ｂｘ＋ｃ）（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ＞0，ｂ＞0）是奇函数．（1）若ｘ＞0时，ｆ（ｘ）有最小值2，试求a与ｂ的关系式；（2）求证：满足（1）的条件下，当ｘ≥（1／6）时，ｆ（ｘ）为增函数；（3）若ｆ（ｘ）在ｘ＞0时的递增区间是［（1／2），＋∞），求ａ、ｂ的值，并求这时函数的表达式．
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