§1数列 一、复习要点在首轮系统复习的基础上，本轮复习应主要解决好如下三个问题：．基础知识的深化．（1）在不涉及新名词的情况下，可通过例题和习题适当介绍数列的一些简单性质，例如数列的单调性、有界性和周期性等．（2）等差、等比数列的性质在课本中没有专门讲授，有必要进行归纳总结．例如：①等差、等比数列通项公式的推广：ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ，ａｎ＝ａｍｑｎ－ｍ；②｛ａｎ｝是等差数列的充要条件是ａｎ＝ａｎ＋ｂ或Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ（ａ、ｂ为常数）；③若｛ａｎ｝是等差（比）数列，且ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｒ（ｍ，ｎ，ｐ，ｒ∈Ｎ），则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｒ（或ａｍ·ａｎ＝ａｐ·ａｒ）；等差（比）数列的等长连续片断的和组成等差（比）数列（对等比数列，这种和为零的情况除外）；⑤对于等差数列｛ａｎ｝，若项数为2ｎ（ｎ∈Ｎ），则Ｓ偶－Ｓ奇＝ｎｄ，（Ｓ奇／Ｓ偶）＝（ａｎ／ａｎ＋１）；若项数为2ｎ－1（ｎ∈Ｎ），则Ｓ奇－Ｓ偶＝ａｎ，（Ｓ奇／Ｓ偶）＝ｎ／（ｎ－1）．2．基本技能的活用．（1）注意变形公式的运用.例如：①等差数列的前n项和公式：Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）／2＝ｎ（ａ２＋ａｎ－１）／2＝…＝ｎ（ａｍ＋ａｎ－ｍ＋１）／2；Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－1）／2ｄ＝（ｄ／2）ｎ２＋（ａ１－（ｄ／2））ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ．②等比数列的前ｎ项和公式：Ｓｎ＝（ａ１－ａｎｑ）／（1－ｑ）＝（ａ１－ａｎ－１ｑ２）／（1－ｑ）＝…＝（ａ１－ａｍｑｎ－ｍ＋１）／（1－ｑ）（ｑ≠1）．（2）掌握设元的一些技巧．如三个数成等差（比）数列，可设为ａ－ｄ，ａ，ａ+ｄ（或（ａ／ｑ），ａ，ａｑ）；四个数成等差（比）数列，可设为ａ－3ｄ，ａ－ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋3ｄ（或（ａ／ｑ３），（ａ／ｑ），ａｑ，ａｑ２）（对等比数列，公比为负数时设法除外）．（3）记住一些小结论．如在等差数列｛ａｎ｝中，若ａｍ＝ｎ，ａｎ＝ｍ，则ａｍ＋ｎ＝0；若Ｓｍ＝ｎ，Ｓｎ＝ｍ，则Ｓｍ＋ｎ＝－（ｍ＋ｎ）．3．常用方法的总结．（1）数列｛ａｎ｝成等差（比）数列ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ（（ａｎ＋１／ａｎ）＝ｑ）ａｎ－１＋ａｎ＋１＝2ａｎ（ａｎ－１·ａｎ＋１＝ａｎ２，ａｎ≠0）．（2）等差数列｛ａｎ｝的前n项和Ｓｎ的最大值为
Ｓｋ
ａｋ≥0，
ａｋ＋１＜0．
（3）设Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则有
ａｎ＝
Ｓ１（ｎ＝1），
Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥2）．
（4）数列｛ａｎ}，当n≤k时，单调递增；当n≥k时，单调递减数列｛ａｎ｝的最大项为ａｋ．．重要知识点的再现．如果说首轮复习的重点是夯实基础，那么本轮复习的重点将是培养能力．特别是综合、创新能力，使学生的数学能力有一个较大的提高．数列单元的重点除了两类特殊数列（等差、等比数列）外，就是利用ａｎ与Ｓｎ的关系
ａｎ＝
Ｓ１（ｎ＝1），
Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥2）
研究一般数列的性质．二、例题讲解例1完成下列各选择题：（1）数列a１，a２，a３成等差数列，a２a３，a４成等比数列，a３，a４，a５的倒数成等差数列，则a１，a３，a５（）.．成等差数列B．成等比数列．倒数成等差数列．以上都不对（2）一个等比数列｛ａｎ｝的前n项和Ｓｎ＝ａ－（1／2）ｎ，则该数列的各项和为（）．Ａ．（1／2）Ｂ．1Ｃ．－（1／2）Ｄ．任意实数（3）设｛ａｎ｝是首项为50，公差为2的等差数列；｛ｂｎ｝是首项为10，公差为4的等差数列．以ａｋ和ｂｋ为两边的矩形内的最大圆的面积记为Ｓｋ，如果ｋ≤21，那么Ｓｋ等于（）．Ａ．π（ｋ＋24）２Ｂ．π（ｋ＋12）２Ｃ．π（2ｋ＋3）２Ｄ．π（2ｋ＋1）２（4）当ｎ∈Ｎ且ｎ≥2时，1＋2＋2２＋2３＋…＋2４ｎ－１＝5ｐ＋ｑ，其中ｐ、ｑ为非负整数，且0≤ｑ＜5，则ｑ的值为（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．与ｎ有关（5）等差数列｛ａｎ｝中，Sｎ是它的前ｎ项和，且Ｓ６＜Ｓ７，S７＞Ｓ８，则给出下列四个命题：①此数列的公差ｄ＜0；②Ｓ９一定小于Ｓ６；③ａ７是各项中最大的一项；④Ｓ７一定是Ｓｎ中的最大值．其中，正确命题的序号是___________．（把你认为正确的命题的序号都填上）讲解：（1）思路1．从基本量的角度思考：因为a１，a２，a３成等差数列，设公差为d.又a２，a３,a４成等比数列，则有（a１+2d）２=（a１+d）a４，且（2／a４）=1／（a１+2d）+（1／a５），由此将a５用a１，d表示出来，从而可发现a１，a３，a５之间的关系：５=（a１+2d）２／a１，a３=a１+2d，因a１a５=a１·（a１+2d）２／a１=（a１+2d）２=a３２，又由条件知a３，a５≠0，故应选B．思路2．从整体上考虑，将条件一一列出：
2a２=a１+a３，
a３２=a２a４，
2／a４=1／a３+1／a５.
因为目标是研究a１，a３，a５之间的关系，故应将a２，a４消去，从而可得a１，a３，a５之间的关系，进而发现结论．（2）关键是根据等比数列的条件确定其公比的范围，为此可先由前ｎ项和公式求通项ａｎ的表达式．当ｎ＝1时，ａ１＝Ｓ１＝ａ－（1／2）；当ｎ≥2时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝…＝（1／2）·（1／2）ｎ－1．故a-（1／2）=（1／2）,a=1,由Sｎ=1-（1／2）n取极限知选B，或根据｛ａｎ｝是首项和公比均为（1／2）的等比数列，其各项和为Ｓ＝（1／2）／[1－（1／2）]＝1，选Ｂ．（3）画出示意图（图略），不难看出，要使矩形内的圆面积最大，圆应与矩形较长的一对边相切，这时圆的直径等于矩形较短的边长．所以，应从比较ａｋ与ｂｋ的大小入手．易知，ａｋ＝50＋2（ｋ－1）＝2ｋ＋48，ｂｋ＝10＋4（ｋ－1）＝4ｋ＋6．∵ｋ≤21，∴ａｋ－ｂｋ＝…＝42－2ｋ＝2（21－ｋ）≥0，∴ａｋ≥ｂｋ，即ｂｋ为圆的直径．这时Ｓｋ＝π（ｂｋ／2）２＝π（2ｋ＋3）２，选Ｃ．（4）从已知等式左、右两边同时考虑，左边是首项为1、公比为2的等比数列前4ｎ项（注意不是4ｎ－１项）的和，其和为2４ｎ－1＝16ｎ－1，右边为5ｐ＋ｑ；由ｐ、ｑ的范围知ｑ为被5除所得的余数，因对所有ｎ≥2且ｎ∈Ｎ，16ｎ的个位总是6，所以16ｎ－1的个位是5，即16ｎ－1是5的倍数，∴ｑ＝0，选Ａ．本题也可由二项式定理判断16ｎ－1被5整除．（5）这是一道多选填空新题型．须对其中四个命题一一进行判断．对于①，由Ｓ６＜Ｓ７，得Ｓ７－Ｓ６＝ａ７＞0，又由Ｓ７＞Ｓ８，得Ｓ８－Ｓ７＝ａ８＜0，即ａ７＋ｄ＜0，ｄ＜－ａ７＜0，∴①正确；对于②，∵Ｓ９＝Ｓ６＋ａ７＋ａ８＋ａ９＝Ｓ６＋3ａ８，∵ａ８＜0，∴Ｓ９＝Ｓ６＋3ａ８＜Ｓ６，∴②正确；对于③，∵ｄ＜0，∴ａ６＞ａ７，∴③显然不正确；对于④，由ｄ＜0，ａ７＞0，ａ８＜0知Ｓ７是Ｓｎ中的最大值，∴④正确．故应填①②④．例2已知数列｛ａｎ｝中，ａ1＝1，前ｎ项和为Ｓｎ，对任意ｎ≥2，总有3Ｓｎ－4，ａｎ，2－（3／2）Ｓｎ－１成等差数列．（1）求数列｛ａｎ｝的通项；（2）求．讲解：（1）据已知，当ｎ≥2时，有2ａｎ＝3Ｓｎ－4＋2－（3／2）Ｓｎ－１，由Ｓｎ－１＝Ｓｎ－ａｎ代入化简整理，得ａｎ＝3Ｓｎ－4（ｎ≥2）．思路1．归纳、猜想、证明．（请同学自己完成）思路2．利用Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝ａｎ＋１（ｎ≥2）消去Ｓｎ．当ｎ≥2时，有ａｎ＋１＝3Ｓｎ＋１－4，①ａｎ＝3Ｓｎ－4．②①－②，得ａｎ＋１－ａｎ＝3ａｎ＋１，2ａｎ＋１＝－ａｎ，即（ａｎ＋１／ａｎ）＝－（1／2）（ｎ≥2），∴ａ２，ａ３，ａ４，…成等比数列，∴当ｎ≥2时，ａｎ＝ａ２·ｑｎ－２＝（1／2）·（－（1／2））ｎ－２＝－（－（1／2））ｎ－１．当ｎ＝1时，ａ１＝1不适合上式，
故ａｎ＝
1（ｎ＝1），
－（－（1／2））ｎ－１（ｎ≥2）．
（2）∵Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋…＋ａｎ＝１＋（ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ），∴＝1＋{（1／2）／[1－（－（1／2））]}＝4／3．评注：①本题中，由ａｎ＝3Ｓｎ－4（ｎ≥2）求ａｎ时，一定要注意分类讨论，所求ａｎ应为ｎ的分段函数；②第（2）问求极限中，求和时应注意分段求和．同学们易犯的错误是在求和中忽略首项，而得错解（1／3）．例3（1）已知数列{cｎ}，其中cｎ=2ｎ+3ｎ，且数列{cn+1-pcｎ}为等比数列，求常数p;（2）设{aｎ}、{bｎ}是公比不相等的两个等比数列，cｎ=aｎ+bｎ，证明数列{cｎ}不是等比数列．讲解：（1）思路1．欲求p的值，关键是找到含p的等式，而由数列{cn+1-pcｎ}为等比数列，知相邻三项之间有等量关系：（cn+1-pcｎ）２＝（cｎ-pcn-1）（cn+2-pcn+1）.将cｎ=2ｎ+3ｎ代入上式并化简，得6ｎ（p-2）（p-3）=0，所以p=2或p=3.思路2．为减少变量个数，不妨先考虑前3项，根据前3项之间的关系直接解出p的值，再对一般情形加以验证．（过程略）（2）一般地讲，否定性的命题常用反证法证明．同样为减少变元个数，只需证c２２≠c１c3，故想到思路：如果{cn}是等比数列，则c２２=c１c3.设{an}、{bn}的公比分别为q１、q２，则有（a１q１+b１q２）２=（a１+b１）（a１q１２+b１q２２），化简，得q１2+q２２=2q１q２，于是有q１=q２，与条件矛盾．故命题结论成立．这是2000年高考（理）第20题，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性．例4设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ２≠ａ１，证明：｛ａｎ｝是首项为1的等比数列的充要条件，是存在非零常数ａ、ｂ满足Ｓｎ＝ａ＋ｂａｎ且ａ＋ｂ＝1．讲解：证明充要条件，需要分别证充分条件和必要条件两个方面．1°必要条件：即由｛ａｎ｝是首项为1的等比数列存在非零常数ａ、ｂ满足Ｓｎ＝ａ＋ｂａｎ且ａ＋ｂ＝1．证明：若｛ａｎ｝是首项为1的等比数列，则∵ａ２≠ａ１，∴ｑ≠1，ａｎ＝ｑｎ－１，Ｓｎ＝（ａ１（1－ｑｎ）／1－ｑ）＝1／（1－ｑ）－ｑ／（1－ｑ）ａｎ，令ａ＝1／（1－ｑ），ｂ＝－ｑ／（1－ｑ），则Ｓｎ＝ａ＋ｂａｎ且ａ＋ｂ＝1．2°充分条件：即由Ｓｎ＝ａ＋ｂａｎ且ａ＋ｂ＝1（ａ、ｂ为非零常数）｛ａｎ｝是等比数列且ａ１＝1．证明：若存在非零常数ａ、ｂ，满足Ｓｎ＝ａ＋ｂａｎ且ａ＋ｂ＝1，则∵ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｂ（ａｎ－ａｎ－１）（ｎ≥2），即（ｂ－1）ａｎ＝ｂａｎ－１，若ｂ－1＝0，∵ｂ≠0，ａｎ－１＝0（对任何ｎ≥2成立），∴ａ１＝ａ２＝0与ａ１≠ａ２矛盾！∴ｂ≠1，∴ａｎ／（ａｎ－１）＝ｂ／（ｂ－1）（非零常数）．又Ｓ１＝ａ＋ｂａ１＝ａ１，ａ＋ｂ＝1，∴ｂ（ａ１－1）＝ａ１－1，即（ｂ－1）（ａ１－1）＝0，∵ｂ≠1，∴ａ１＝1．故｛ａｎ｝是首项为1的等比数列．评注：在必要性的证明中，要运用等比数列前ｎ项和公式，就必须注意对ｑ＝1与ｑ≠1分类讨论，本题中首先要证明ｑ≠1，这一点容易遗漏，会造成失分；在充分性的证明中，也应注意证明ｂ≠1．三、专题训练1．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ３＋ａ１７＝10，则Ｓ１９的值是（）．Ａ．55Ｂ．95Ｃ．100Ｄ．不能确定2．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ７·ａ１１＝6，ａ４＋ａ１４＝5，则ａ２０／ａ１０等于（）．Ａ．（2／3）或（3／2）Ｂ．（2／3）Ｃ．（3／2）Ｄ．（1／3）或－（1／2）3．无穷等比数列｛ａｎ｝中，ａ１＝1，ｑ＝1／2，若Ｔｎ＝ａ２２＋ａ４２＋ａ６２＋…＋ａ２n２，则等于（）．Ａ．（1／3）Ｂ．（4／15）Ｃ．（8／15）Ｄ．（2／7）4．设｛ａｎ｝为等比数列，｛ｂｎ｝为等差数列，且ｂ１＝0，ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ．若数列｛ｃｎ｝的各项依次是1，1，2，…，则｛ｃｎ｝的前10项之和为（）．Ａ．467Ｂ．557Ｃ．978Ｄ．9875．若等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ≠0，且ａ１，ａ３，ａ７成等比数列，则（ａ１＋ａ３）／（ａ２＋ａ４）＝_________．6．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0．7℃，已知山顶处的温度为14．8℃，山脚温度是26℃，则这山的高度是_________．．在数列｛ａｎ｝中，已知ａ１＝－20，ａｎ＋１＝ａｎ＋4，则｜ａ１｜＋｜ａ２｜＋｜ａ３｜＋…＋｜ａｎ｜＝_________．8．｛ａｎ｝是等比数列，｛ｂｎ｝是等差数列，且ｂ１＝0，数列｛ｃｎ｝满足ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ，它的前四项依次为1，ａ，2ａ，2，求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．9．数列｛ａｎ｝中，其前ｎ项和为Ｓｎ，当ｎ≥1时，Ｓｎ＋１是ａｎ＋１与Ｓｎ＋１＋ｋ的等比中项（ｋ≠0）．（1）求证：对于ｎ≥1，有（1／Ｓｎ）－（1／Ｓｎ-１）＝（1／ｋ）；（2）设ａ１＝－（ｋ／2），求Ｓｎ的表达式；（3）设ａ１＝－（ｋ／2），且｛（ｎ／（ｐｎ＋ｑ）Ｓｎ）｝成等差数列，求证：（ｐ／ｑ）是与ｋ无关的常数．．已知函数f（x）=（x-1）２，数列{aｎ}是公差为d的等差数列，{bｎ}是公比为q（q∈R，且q≠1）的等比数列．若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b１=f（q+1），b３=f（q-1）.（1）求aｎ、bｎ;（2）设数列{cｎ}的前n项和为Sｎ，且对一切自然数n，均有（c１／b１）＋（c２／b２）＋…+cｎ／bｎ=an+1成立，求的值．
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