§2数列的综合应用 一、复习要点．数列在高中数学和实际生活中有着广泛的应用，它与函数、方程、不等式、三角、复数、立体几何和解析几何都有着密切的关系，涉及数列的应用性问题也屡见不鲜，成为高考命题的热点，如2001年高考第（21）题．．解答数列综合题，既要有坚实的基础知识，又要有良好的数学素质和较高的数学能力，特别是逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力．著名数学家波利亚写过一本风靡世界的书，叫做《怎样解题》，书中把解题分为四步：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾．其中关键是第二步，但大前提是第一步．弄清题意主要是明确已知是什么，求证、求解是什么，即从题目本身去获取从何入手、向何方前进的信息．题目的条件和结论是两个信息源，从条件发出的信息预示可知并启发解题手段；从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向．为了从中获得尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件和结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一．3．解答数列应用性问题，关键是如何将它转化为数学问题，所以要注意审题和分析、比较、综合、判断、表述，要有良好的思维品质．解答应用性问题，通常分为四步：（1）阅读理解．就是读懂题目中的文字叙述，理解问题的实际背景，从背景中概括出问题的数学实质；（2）进行数学化设计．将实际问题转化为一个数学问题；（3）进行标准化设计．将数学问题转化为一个常规的数学问题加以解决，具体到本专题的内容，就是要转化为一个等差或等比数列问题来解决；（4）将数学问题转化为实际问题，即回答实际问题．二、例题讲解例1已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（ａ＞0）．（1）求ｆ（ｘ）的反函数ｆ－1（ｘ）及其定义域；
（2）数列｛ａｎ｝满足
ａ1＝3ａ，
ａｎ＋1＝ｆ－1（ａｎ）．
设ｂｎ＝（ａｎ－ａ／ａｎ＋ａ），数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．试比较Ｓｎ与（7／8）的大小，并证明你的结论．讲解：这是一道数列与函数的综合题，首先应准确地求出ｆ－1（ｘ）及其定义域，其次由ａｎ＋1＝ｆ－1（ａｎ）判断数列｛ａｎ｝的性质，进而由ｂｎ＝（ａｎ－ａ）／（ａｎ＋ａ）判断数列｛ｂｎ｝的性质．（1）给ｙ－ｘ＝两边平方，整理得ｘ＝（ｙ2＋ａ2）／2ｙ．∵ｙ－x＝ｙ－（ｙ2＋ａ2）／2ｙ＝（ｙ2－ａ2）／2ｙ＝（（ｙ＋ａ）（ｙ－ａ）／2ｙ）≥0，∴ｙ≥ａ或－ａ≤ｙ＜0．故ｆ－1（ｘ）＝（ｘ2＋ａ2／2ｘ），其定义域为［－ａ，0）∪［ａ，＋∞）．（2）∵ａｎ＋1＝ｆ－1（ａｎ）＝（ａｎ2＋ａ2）／2ａｎ，∴ｂｎ＋1＝（ａｎ＋1－ａ）／（ａｎ＋1＋ａ）＝…＝（（ａｎ－ａ）／（ａｎ＋ａ））2＝ｂｎ2．又ａ1＝3ａ，ｂ1＝（ａ1－ａ）／（ａ1＋ａ）＝（3ａ－ａ）／（3ａ＋ａ）＝（1／2），∴ｂｎ＝（ｂｎ－1）2＝（ｂｎ－2）22＝（ｂｎ－3）2３＝…＝（ｂ1）2ｎ－1＝（1／2）2ｎ－1．∴Ｓｎ＝ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂｎ＝（1／2）＋（1／2）2＋（1／2）22＋［（1／2）2３＋（1／2）2４＋…＋（1／2）2ｎ－1］．注意到2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋Ｃ１ｎ－1＋Ｃ2ｎ－1＋…＋Ｃｎ－1ｎ－1．则当ｎ≥4时，2ｎ－1≥1＋Ｃ１ｎ－1＋Ｃ2ｎ－1＝1＋（ｎ－1）＋［（ｎ－1）（ｎ－2）］／2＞ｎ＋1．∴（1／2）2ｎ－1＜（1／2）ｎ＋1．∴Ｓｎ＜（1／2）＋（1／2）2＋（1／2）22＋［（1／2）2３＋（1／2）2４＋…＋（1／2）2ｎ－1］＜（1／2）＋（1／4）＋（1／16）＋［（1／2）5＋（1／2）６＋…＋（1／2）ｎ＋1］＝（1／2）＋（1／4）＋（1／16）＋（（1／2）5［1－（1／2）ｎ－3］／1－（1／2））＝（1／2）＋（1／4）＋（1／16）＋（1／16）［1－（1／2）ｎ－3］＜（1／2）＋（1／4）＋（1／16）＋（1／16）＝（7／8）．说明：注意到函数ｆ（ｘ）解析式的特点，也可以利用三角代换ｘ＝ａｓｅｃθ，θ∈［0，（π／2））∪［π，（3π／2）），求函数ｆ（ｘ）的值域，即ｆ－1（ｘ）的定义域．对于第（2）小题，也可以用“归纳—猜想—证明”的方法求数列｛ｂｎ｝的通项公式；用数学归纳法证明2ｎ－1＞ｎ＋1对任意的ｎ∈Ｎ，ｎ≥4都成立．例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少（1／5）．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1／4）．（1）设ｎ年内（本年度为第一年）总投入为ａｎ万元，旅游业总收入为ｂｎ万元．写出ａｎ、ｂｎ的表达式；（2）至少经过ｎ年旅游业的总收入才能超过总投入？（2001年全国高考题）讲解：这是一道与函数、不等式知识交叉、综合的数列模型的实际应用问题．（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－（1／5））万元，…，第ｎ年投入为800×（1－（1／5））ｎ－1万元，所以，ｎ年内的总投入为ａｎ＝800＋800×（1－（1／5））＋…＋800×（1－（1／5））ｎ－1＝800［1＋（4／5）＋（4／5）2＋（4／5）３＋…＋（4／5）ｎ－1］＝800×［1－（4／5）ｎ］／［1－（4／5）］＝4000×［1－（4／5）ｎ］．第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋（1／4））万元，…，第ｎ年旅游业收入为400×（1＋（1／4））ｎ－1万元．所以，ｎ年内旅游业总收入为ｂｎ＝400＋400（1＋（1／4））＋…＋400×（1＋（1／4））ｎ－1＝400×［1＋（5／4）＋（5／4）2＋…＋（5／4）ｎ－1］＝1600×［（5／4）ｎ－1］．（2）设至少经过ｎ年旅游业的总收入才能超过总投入，则有ｂｎ－ａｎ＞0，即1600×［（5／4）ｎ－1］－4000×［1－（4／5）ｎ］＞0．化简并整理，得5×（4／5）ｎ＋2×（5／4）ｎ－7＞0．设ｘ＝（4／5）ｎ，则有5ｘ2－7ｘ＋2＞0．解之，得ｘ＜（2／5）或ｘ＞1（舍去）．由（4／5）ｎ＜（2／5），得ｎ≥5．例3某地区1998年底现有居民住房的总面积为ａ（米2），其中危旧住房占（1／4），新型单元住房占（1／3）．该地区为了加快住房改造，计划在5年内全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），并对现有的新型单元住房以21%的年增长率加快建设．用Ｐｎ（m2）表示第ｎ年该地区的居民住房总面积．（1）分别算出Ｐ1、Ｐ２、Ｐ３（只需列式，不必化简），并归纳出Ｐｎ的计算公式；（2）危旧住房全部拆除后，至少再过多少年，才能使该地区居民住房总面积的年平均增长率超过10%?（精确到年．以下数据供解题时参考：ｌｇ2＝0．3010，ｌｇ3＝0．4771，ｌｇ1．1＝0．0414，ｌｇ2．5＝0．3979）讲解：（1）第ｎ年该地区居民住房的总面积Ｐｎ由三部分构成，一是新型单元住房面积，二是剩余的危旧住房面积，三是其他住房面积．根据这种关系，得Ｐ1＝（ａ／3）（1＋21％）＋（2／3）ａ－1／（4×5）ａ，Ｐ2＝（ａ／3）（1＋21％）2＋（2／3）ａ－2／（4×5）ａ，Ｐ３＝（a／3）（1＋21％）３＋（2／3）ａ－3／（4×5）ａ．
Ｐｎ＝
（ａ／3）（1＋21％）ｎ＋（2／3）ａ－（ｎ／20）ａ（ｎ＝1，2，3，4），
（ａ／3）（1＋21％）ｎ＋（2／3）ａ－（1／4）ａ（ｎ＝5，6，7，…）．
（2）设从1998年底算起，x年后住房面积的年平均增长率超过10%，依题意有（ａ／3）（1＋21％）ｘ＋（2／3）ａ－（1／4）ａ＞ａ（1＋10％）ｘ，即（1＋21％）ｘ＋5＞12（1＋10％）ｘ．令1．1ｘ＝ｙ，代入上式，化简得4ｙ2－12ｙ＋5＞0．解得ｙ＞（5／2）或ｙ＜（1／2）（因1．1ｘ＞1，故舍去）．由1．1ｘ＞（5／2），得ｘ＞ｌｏｇ1．12．5＝（ｌｇ2．5／ｌｇ1．1）≈9．6．即危旧住房全部拆除后，至少再过5年才能使年平均增长率超过10%．二、专题训练1．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎ2＋ｎ，则过P（1，ａ1）、Ｑ（2，ａ2）两点的直线的斜率是（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．42．若一直角三角形三边长成等比数列，则（）．Ａ．三边长之比为3∶4∶5．三边长之比为1∶∶3C．较小锐角的正弦值为（－1）／2Ｄ．较大锐角的正弦值为（－1）／23．在△ＡＢＣ中，ｔｇＡ是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差；ｔｇＢ是以（1／3）为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形必为（）．Ａ．锐角三角形B．直角三角形．钝角三角形D．等腰三角形4．等比数列｛ａｎ｝的公比不等于－1，记集合M＝｛ｘ｜ｘ＝｝，其中Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，那么集合M的所有子集的个数为（）．Ａ．2Ｂ．4Ｃ．7Ｄ．85．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ满足ｌｏｇｂ（ｂ＋Ｓｎ）＝ｎ＋1（ｂ＞0，ｂ≠1），则的值等于________．6．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和，若｛Sｎ｝是等差数列，则ｑ＝________．（2001年全国高考题）7．一只皮球从12米高处落下，以后每次弹起的高度都是下落高度的（1／3），则到其停止时共走的路程为________．．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ＝（π／12）·（2ｎ2＋ｎ）．（1）求证：｛ａｎ｝是等差数列，并求它的首项和公差；（2）记ｂｎ＝ｓｉｎａｎ·ｓｉｎａｎ＋1·ｓｉｎａｎ＋2，求证：对于任意的自然数ｎ，都有ｂｎ＝（／8）（－1）ｎ－1．．若p、q是方程x2－x+t2＝0的两实根，且p、p-q、q成等比数列.（1）求正数t的值；（2）设aｎ=（1／n（n+1）），Sｎ为数列{aｎ}的前n项的和．求证log2t≤Sｎ
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