昌平区2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测
数学参考答案及评分标准2016.1
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C A B D B C 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
题号 11 12 13 14 15 16 答案 30° 105° ，-2 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．解：
…………………………………………………………4分
．…………………………………………………………………5分
18．：…………………………………………………………4分
（2）∵点C1所经过的路径为一段弧，
∴点C1所经过的路径长为…………………………………5分19．解：0，6),
∴c=6．……………………………………………………………………………1分6),
∴……………………………………………………………………2分．6)和(1，6),
∴抛物线的对称轴方程为.
∵当时，,
∴抛物线的顶点坐标为.…………………………………………………………4分
y＜0时x的取值范围是x＜-2或x＞3.……………………………………………………5分
20．解：C作CD⊥AB于点D.…………………………………………………………………1分在Rt△ADC中，，
∴，………………………2分.………………3分Rt△CDB中，∠B=45°，
∴∠DCB=∠B=45°.
∴.…………………………………………………………………4分.……………………………………………………5分
．1）画树状图或列表为
垃圾垃圾箱 A B C a (A,a) (B,a) (C,a) b (A,b) (B,b) (C,b) c (A,c) (B,c) (C,c)
∴P(垃圾投放正确)=.…………………………………………………………………4分
……………………………5分1）∵二次函数的顶点坐标为M(1，-4).
令y=0，得.
∴抛物线与轴的交点坐标…………………………………2分
（2）∵A(-1,0),B(3,0),M(1，-4),
∴AB=4.
∴.………………………………………………………………………3分
∵AB=4,
∴点P到AB的距离为5时，.
即点P的纵坐标为.
∵点P在二次函数的图象上顶点坐标为M(1-4)，
∴点P的……………………………………………………………………4分
∴.
∴x1=-2，x2=4.
∴点的………………………………………………………5分
四、解答题
23．（1）证明：连接OA．
∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°．
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°．1分
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°．
∴OA⊥PA．A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线．
（2）．
在Rt△中，∠=60°，
∴，CE=3．
∵，
∴．
∴在Rt△．
∴AP=AC=5．
∴在Rt△中，．
O的径．……………………………………………………………5分
24．解：（1），，顶点.
设抛物线G的表达式为.………………………………………………2分∵在抛物线G上，∴，求得.
∴.………………………………………………………………………3分4≤x≤4.………………………………………………………4分（）…………………………………………………5分25．解：于点
∴．……………………………………1分∴，.………………………2分Rt△BOC中，OC=20，
∴cos∠.
在Rt△OCF中，cos∠，
∴.
∴.………………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………4分∴.………………………………5分
26．解：………………………………………………………………………分
in2α==．………………………………………………………………2分
如图连接并延长交⊙O于连接MQ，作于．
在⊙O中，∠NMQ=90°．
∵∠Q=∠P=β，
∴∠MON=2∠Q=2β．…………………………………………3分
在QMN中，∵sinβ=，
∴设MN=，则Q=5k，OM=NQ=．
∴MQ=．
∵，
∴．
∴MR=．…………………………………………………………………………4分在MRO中，sin2β=sin∠MON=．……………………………5分3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）
27．……………………………………………………1分
日租金收每辆车的日租金日租出车辆日租金收……………………………………………………………2分
又∵日收益日租金收平均每日各项支出2+5000.……………………………………3分
∵租赁公司拥有2辆汽车
∴当日租出15辆时,租赁公司的日收益…………………4分
（3）当租赁公司的日收益不盈也不亏
∴－50(x－15)2+5000＝0，解得x1＝25，x2＝5.……………………………………5分
∴当5＜x＜25时，y＞0.………………………………………………………………6分拥有2辆汽车
∴当每日租出20（x为整数）辆时租赁公司的日收益……………7分
28．1）①90°.……………………………………………………………………………………1分
线段OA之间的数量关系.
如图1，连接OD.
∵△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.
∴CD=OC,∠ADC=∠BOC=120°,AD=OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°.
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.
∴∠DAO=90°.
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴.
∴.………………………………………………………………3分
2）①如图2，当αβ=120°时，OA+OB+OC有最小值.
作图如图2的实线部分.………………………………………………………4分
将△OC绕点C顺时针方向旋转60°得△A’’C，连接OO’.
∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.
∴O’C=OC,O’A’=OA，A’C=BC,
∠A’O’C=∠AOC.
∴△OCO’是等边三角形.
∴OC=O’C=OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A’O’C=120°.
∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.
∴四点B，O，O’，A’共线.
∴OA+OB+OC=O’A’+OB+OO’=BA’时值最小.……………………………………6分’B=.…………………7分
解：（1①如图1，过点C作CD⊥x轴于点D.
∴.
∵∠ABC=90o，
∴.
又∵，
∴.
∵AB=BC，
∴△AOB≌△BDC.
∴BD=OA，CD=OB.
∵A(0，3)，B(1，0)∴C(4，).………………………………1分
∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，且∴.……………………………………………………………………2分∵抛物线经过点C(，)，
∴.
∴该抛物线的表达式为.………………………………………………3分过点作轴于点∵∠POB=∠BAO，
∴.
设P(3m，)，m>0.………………………………………………………………………4分∵点P在上，
∴.
解得：，(舍去).
∴.……………………………………………………………………………5分.…………………………………6分POB为钝角，不符合题意.
综上所述，在抛物线上存在使得POB=∠BAO的点P点P的坐标或.
（2）的取值范围为或.…………………………………………………8分
昌平初三期末数学参考答案及评分标准第7页（共8页）
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