§3三垂线定理 一、复习要点．三垂线定理及其逆定理是解决垂直问题的重要工具.运用三垂线定理及其逆定理的规律为：确定平面→作出垂线→找到斜线→联成射影→查面内线；其关键是确定平面及平面的垂线．．本节的重点是三垂线定理的应用．用于：①立体几何的计算问题，如求空间的一点到平面内的某一直线的距离，求不在同一平面内的两条平行直线间的距离，求两条异面直线所成的角等；②立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直等；③二面角问题，主要是构作二面角的平面角．3．结合《基础复习讲练测》第九章的“三垂线定理”一节，体会对于“非标准”位置运用定理的灵活性．二、例题讲解例1如图7-20，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a，且PD=a,PA=PC=a.
图7-20
（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与AC所成角的大小；（3）求二面角A－PB－D的大小．讲解：欲证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交直线．而题设中的已知量都是线段的长，故可考虑用勾股定理的逆定理．求异面直线PB与AC所成的角，我们应首先考虑它们是否具有特殊关系——垂直．欲求二面角A－PB－D的大小，首先作出它的平面角，当然也可以利用面积射影定理计算．（1）证明略．（2）连结BD.∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的射影，∴由三垂线定理得PB⊥AC，故异面直线PB与AC所成的角为90°．（3）设AC交BD于O.∵AC⊥BD，AC⊥PD，∴AC⊥平面PBD.作OE⊥PB于E，连结AE，则由三垂线定理知AE⊥PB．∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角，容易求得∠AEO＝60°．例2如图7-21，在矩形ABCD中，已知ＡＢ＝1，ＢＣ＝ａ，PA⊥平面ＡＢＣＤ，且ＰＡ＝1．
图7-21
（1）在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥ＱＤ？并说明理由；（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使ＰＱ⊥ＱＤ，试求ＡＤ与平面ＰＤＱ所成角的正弦．讲解：本例第（1）问是一道“是否存在型”探索性问题．首先假设存在点Ｑ，使得ＰＱ⊥ＱＤ，然后根据这个假设进行正确的推理和验证．若能找出点Q在BC上的位置，说明存在，否则就不存在．第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求得其值．（1）假设存在点Ｑ，使得ＰＱ⊥ＱＤ．∵ＰＡ⊥平面ABCD，∴ＱＤ⊥ＡＱ．设BQ＝ｘ，则ＱＣ＝ａ－ｘ．由ＡＤ２＝ＡＱ２＋ＱＤ２，得ａ２＝1２＋ｘ２＋（ａ－ｘ）２＋1２，即ｘ２－ａｘ＋1＝0．其判别式为Δ＝ａ２－4．∴当ａ＝2时，Δ＝0，方程①有一解，即存在一个点Q，使ＰＱ⊥ＱＤ；当ａ＞2时，Δ＞0，方程①有两解，即存在两个点Q，使得ＰＱ⊥ＱＤ；当0＜ａ＜2时，Δ＜0，方程①无实根，即不存在点Q，使得ＰＱ⊥ＱＤ．（2）当BC边上仅有一个点Q，使得ＰＱ⊥ＱＤ时，可知ＢＣ＝2，Ｑ为BC的中点．∵ＤＱ⊥ＡＱ，ＤＱ⊥ＰＱ，∴平面ＰＤＱ⊥平面ＰAＱ．过A作ＡＥ⊥ＰＱ，垂足为E，则ＡＥ⊥平面ＰＤＱ，故∠ＡＤＥ为AD和平面ＰＤＱ所成的角．在Ｒｔ△ＰＡＱ中，ＡＥ＝ＰＡ·ＡＱ／ＰＱ＝（1·／）＝（／3）．在Ｒｔ△AED中，ｓｉｎ∠ＡＤＥ＝（ＡＥ／ＡＤ）＝（／6）．将点的存在性问题转化为方程根的讨论问题来处理，思路显得自然、流畅，方法独特而简捷．例3如图7-22，在斜三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知侧面ＢＣＣ１Ｂ１为矩形，侧棱与底面成30°角，底面三角形ABC的面积是截面Ａ１ＢＣ的面积的2倍，求二面角Ａ-ＢＣ-Ａ１的大小．
图7-22
讲解：从ＢＣＣ１Ｂ１为矩形入手，由于ＢＢ１⊥ＢＣ，从而BC⊥ＡＡ１，这不仅为应用三垂线定理创设了条件，也为作出二面角的平面角奠定了基础．解题的关键在于过Ａ１作Ａ１Ｏ⊥平面ABC，其他的已知条件便可以顺理成章地加以应用．∵ＢＣＣ１Ｂ１是矩形，∴ＢＣ⊥Ｂ１Ｂ．又Ｂ１Ｂ∥ＡＡ１，∴ＢＣ⊥ＡＡ１．作Ａ１Ｏ⊥平面ＡＢＣ，垂足为O，连AO交BC于D，根据三垂线定理的逆定理可得ＢＣ⊥ＡＤ．连A１Ｄ，再根据三垂线定理可得ＢＣ⊥Ａ１Ｄ．∴∠Ａ１ＤＡ是所求二面角的平面角，且∠Ａ１ＡＤ是侧棱与底面所成的角，∠Ａ１ＡＤ＝30°．又Ｓ△ＡＢＣ＝2Ｓ△Ａ１ＢＣ，∴（1／2）ＢＣ·ＡＤ＝2·（1／2）ＢＣ·Ａ１Ｄ，∴ＡＤ＝2Ａ１Ｄ．在△ＡＤＡ１中，（Ａ１Ｄ／ｓｉｎ30°）＝（ＡＤ／ｓｉｎ∠ＡＡ１Ｄ），可得ｓｉｎ∠ＡＡ１Ｄ＝1．∴∠ＡＡ１Ｄ＝90°，∴∠Ａ１ＤＡ＝60°．故二面角Ａ-ＢＣ-Ａ１为60°．三、专题训练1．α表示一个平面，ｌ表示一条直线，则α内至少有一条直线与ｌ（）．Ａ．互相平行Ｂ．互相垂直Ｃ．相交但不垂直Ｄ．是异面直线2．BC是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC，垂足为D，连结AD，则图7-23中共有直角三角形（）．
图7-23
Ａ．4个B．6个C．7个D．8个3．在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（）．Ａ．至多只能有一个直角三角形Ｂ．至多只能有两个直角三角形Ｃ．可能都是直角三角形Ｄ．一定都不是直角三角形4．平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a,PA为α的一条斜线，PA=2a（A∈α），B为圆O上的任意一点，则PA在α内的射影与AB所成角中的最大角的正弦值为（）．A．（1／2）B．（／3）C．（／2）D．（／2）5．如图7-24，在直四棱柱A１B１C１D１-ABCD中，当底面ABCD满足条件_______时，有A１C⊥B１D１．
图7-24
6．O是正△ABC的中心，PO⊥平面ABC.若PO＝ＡＢ＝a,则PA与平面ABC所成的角为_______；P到直线BC的距离为_______．7．如图7-25，S是四边形ABCD所在平面外一点，为了推出ＡＢ⊥ＢＣ，还需要从下述条件中选出一些条件来．
图7-25
①ＳＢ⊥平面ＡＢＣＤ；②ＳＣ⊥ＣＤ；③ＣＤ∥ＡＢ；④ＣＤ∥平面SAB；⑤BC⊥ＣＤ；⑥ＣＤ⊥平面ＳＢＣ；⑦ＡＢ⊥平面ＳＢＣ；⑧ＳＢ⊥ＣＤ．比如，选⑦为条件，有⑦ＡＢ⊥ＢＣ；又如选③，⑤为条件，有
③
ＡＢ⊥ＢＣ．现要求推理至少用到两条定理，
⑤
推理的格式为：_________．（写出两个正确的推理过程）8．如图7-26，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝（π／2），AB＝a,AD＝3a,并且∠ADC＝arcsin（／5）,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-ＣＤ-Ａ的正切值．
图7-26
9．如图7-27，圆柱的轴截面是正方形ABCD，底面直径为2ｒ，点E在底面圆周上，且ＡＦ⊥ＤＥ，垂足为F．若圆柱与三棱锥Ｄ-ＡＢＥ的体积之比为3π，
图7-27
（1）求证：AF⊥ＢＤ；（2）求二面角Ａ-ＢＤ-Ｅ的平面角的余弦值．10．已知三棱锥P-ＡＢＣ中，PA⊥平面ABC，ＢＡ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝90°．设二面角Ｐ-ＢＣ-Ａ为α，二面角Ｂ-ＰＣ-Ａ为β.求证：ｓｉｎα＝ｃｏｓβ．
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