专题能力测试 一、选择题．已知直线ｌ⊥平面α，ｍ表示直线，β表示平面，有以下四个命题：ｍ∥αα⊥ｍ；②α⊥βｌ∥β；③ｌ∥ｍ，ｍβα⊥β；④若β与ｌ相交，则β必与α相交．上述命题中，真命题的个数是（）．Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．1．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，SA＝ＢＣ＝2，则异面直线EF与AB所成的角是（）．．60°Ｂ．90°Ｃ．45°Ｄ．30°．一个圆锥直立在水平面上，其底面积为π，侧面积为3π，忽然一阵风吹来，圆锥倒在水平面上，此时圆锥的最高点离水平面的高度是（）．Ａ．3／2Ｂ．4／3Ｃ．8／3Ｄ．2．点P是△ABC所在平面外一点，P在△ABC上的射影是△ABC的中心，PA与底面所成角为β，侧面PBC与底面所成的二面角为α，则tgα·ctgβ的值为（）．．2．3．（1／2）．（1／3）．对于直线ｍ、ｎ和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）．Ａ．ｍ⊥ｎ，ｍ∥α，ｎ∥βＢ．ｍ⊥ｎ，α∩β＝ｍ，ｎαＣ．ｍ∥ｎ，ｎ⊥β，ｍαＤ．ｍ∥ｎ，ｍ⊥α，ｎ⊥β．一棱锥被平行于底面的平面截成一小棱锥和一个棱台，若小棱锥及棱台的体积分别为ｙ和ｘ，则ｙ关于ｘ的函数的图象的大致形状为（）．（如图7-43）．
图7-43
．若一个长方体的全面积是22，体积是8，则这样的长方体（）．Ａ．有一个Ｂ．有两个Ｃ．有无数多个Ｄ．不存在．球与其内切等边圆柱、等边圆锥的表面积分别为m、n、t，则m、n、t（）．．三数成递增等差数列．三数成递减等差数列．三数成等比数列．以上结论都不对．一个正四棱台上、下底面的边长分别为ａ、ｂ，高为ｈ，且侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是（）．Ａ．（1／ｈ）＝（1／ａ）＋（1／ｂ）Ｂ．（1／ｈ）＝1／（ａ＋ｂ）Ｃ．（1／ａ）＝（1／ｂ）＋（1／ｈ）Ｄ．（1／ｂ）＝（1／ａ）＋（1／ｈ）．一间民房的屋顶有如图的三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．
图7-44
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）．Ａ．Ｐ３＝Ｐ２＞Ｐ１Ｂ．Ｐ３＞Ｐ２＝Ｐ１Ｃ．Ｐ３＞Ｐ２＞Ｐ１Ｄ．Ｐ３＝Ｐ２＝Ｐ１．如图7-45，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（）．
图7-45
．arccos（1／）．arccos（1／2）．arccos（1／）（1／）．三个12ｃｍ×12ｃｍ的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分为Ａ、Ｂ两片（如图7-46（1）），把六片粘在一个正六边形的外围（如图7-46（2）），然后折成多面体(如图7-46（3）），则此多面体的体积为（）．
图7-46
Ａ．216ｃｍ３Ｂ．648ｃｍ３Ｃ．864ｃｍ３Ｄ．1728ｃｍ３二、填空题．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_________．．在长方体ＡＣ１中，已知顶点A上三条棱长分别是、、2，如果对角线ＡＣ１与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２γ＝_________．．如图7-47，侧棱长为2的正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，∠ＡＶＢ＝∠ＢＶＣ＝∠ＣＶＡ＝40°.过A作截面AEF与VB、VC分别交于E、F点，则截面△ＡＥＦ的最小周长为_________．
图7-47
．一个大木球放在水平的地面上，球在太阳下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处；同一时刻，一根高1米的垂直立于水平地面上的尺子的影子的长度是2米，则球的半径为_________．三、解答题．如图7-48，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD．求证：CE⊥平面ADE．
图7-48
．如图7-49，已知正四棱柱ABCD-A１B１C１D１中，点E在棱D１D上，截面EAC∥D１Ｂ，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a.
图7-49
（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A１B１与AC之间的距离；（3）求三棱锥B１EAC的体积．．一个气象探测气球以每分钟14ｍ的垂直分速度由地面上升，经过10分钟后由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45°；又过10分钟后测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°．若气球作直线运动，求风向与风速．．如图7-50，已知平行六面体ABCD-A１B１C１D１的底面ABCD是菱形，且∠C１CB＝∠Ｃ１ＣＤ＝∠ＢＣＤ＝60°．
图7-50
（1）证明：C１Ｃ⊥BD；（2）假定CD＝2，ＣＣ１＝（3／2），记面C１ＢＤ为α，面CBD为β，求二面角α-ＢＤ-β的平面角的余弦值；（3）当（CD／CC１）的值为多少时，能使A１C⊥平面C１ＢＤ？请给出证明．
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