§1坐标法 一、复习要点1本节的主要内容是用坐标法研究几何问题的思想和方法．包括由曲线方程研究曲线的性质（如曲线的图形、对称性、范围等）和由给定条件求曲线方程两个基本问题．其中，由给定条件选择适当的坐标系求出曲线的方程是本节的重点，同时也是难点．2最新《考试说明》中仍要求：“能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线”．“了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法．”这里既有“思想”又有“方法”，因而本节内容成为高考考查的热点．3在本节的复习中，一要进一步深刻理解曲线与方程的概念；二要熟练掌握求曲线（轨迹）方程的方法和一般步骤．在求曲线方程中，要重视建立坐标系这一关键环节，从中体会“适当”二字的含意，即所选择的坐标系应尽量使点的坐标简单，使图形相对于坐标轴具有对称性，这样便于方程的化简．求曲线方程的第（5）步可以省略不写，但仍需验证其轨迹的纯粹性和完备性．二、例题讲解例1设曲线C的方程是y=x３-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C１的方程；（2）证明曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称；（3）如果曲线C与C１有且仅有一个公共点，证明s=（t３／4）-t，且t≠0.讲解：（1）思路1利用函数图象平移法，得C１的方程y=（x-t）３-（x-t）+s．思路2可看作曲线不动，坐标轴平移.将原点移至O′（-t,-s）,得平移公式
x=x′-t，
代入C的方程，得y′-s=（x′-t）３-（x′-t）,即y=（x-t）３-（x-t）+s．
y=y′-s，
（2）欲证曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称，须证：①C上任一点关于A的对称点在C１上；②C１上任一点关于A的对称点在C上．简证：在曲线C上任取一点P１（x１,y１）,设P１关于A的对称点为P２（x２,y２），则有（x１+x２）／2=（t／2）,（y１+y２）／2=（s／2）,故x１=t-x２,y１=s-y２.代入C的方程，得y２=（x２-t）３-（x２-t）+s,可知点P２（x２,y２）在曲线C１上．反过来，同样可证曲线C上关于A的对称点都在曲线C１上，因此C与C１关于点A对称.（3）根据曲线C与C１有且仅有一个公共点，可知方程组
y=x３-x，
y=（x-t）３-（x-t）+s
有且仅有一个解，转化为研究方程组解的问题.消去y，整理，得3tx２-3t２x+（t３-t-s）=0，若t=0,s=0,则方程有无数个解；若t=0,s≠0，则方程无解；若t≠0,则必有４-12t（t３-t-s）=0.∴s=（t３／4）-t，且t≠0．从本例的解答中，同学们可以体会到，研究曲线的性质可转化为研究曲线的方程（组）的解，这是解析几何的重要思想方法之一.另外，利用现有的知识、思想和方法研究未知的较复杂问题（三次曲线），这体现了高考对学生创新能力的朴素要求和关注!例2如图8-1，直线ｌ１和ｌ２相交于M，ｌ１⊥ｌ２，点N∈ｌ１，以A、B为端点的曲线C上任一点到直线ｌ２的距离与到点N的距离相等.若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，且｜ＢＮ｜＝6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
图8-1
讲解：据题设条件及抛物线的定义可知曲线段C是抛物线的一部分．要求曲线段C的方程，首先要考虑建立适当的坐标系．因为ｌ１、ｌ２为定直线，M、N均为定点，故可取ｌ１为x轴，原点可选在点M，也可选在点N，究竟选在何处?据题设条件知点N为曲线段C所在抛物线的焦点，ｌ２为准线，若将原点选在M或N点时，抛物线的顶点都不在坐标原点，抛物线的方程就不是标准形式，这就不符合选择坐标系的基本要求——尽量使方程简单．考虑到抛物线的顶点在线段MN的中点O处，故应选取MN的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系．则曲线段C所在抛物线的方程便可设为ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0，ｙ＞0），对于曲线段C，则有ｘＡ≤ｘ≤ｘＢ.问题转化为求参数ｐ的值及确定A、B两点的横坐标ｘＡ、ｘＢ的值．思路1．∵｜ＭＮ｜＝ｐ，∴Ｍ（－（ｐ／2），0），Ｎ（（ｐ／2），0）．由｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，得
（ｘＡ＋（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝17，①
（ｘＡ－（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝9．②
由①、②解得ｘＡ＝（4／ｐ）．再代入①，并注意到ｐ＞0可解得
ｐ＝4，
ｐ＝2，
ｘＡ＝1，
ｘＡ＝2．
因△ＡＭＮ是锐角三角形，所以（ｐ／2）＞ｘＡ，故舍去
ｐ＝2，
ｘＡ＝2．
∴ｐ＝4，ｘＡ＝1．由点B在曲线C上，得ｘＢ＝｜ＢＮ｜－（ｐ／2）＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．思路2．因ｐ＝｜ＭＮ｜，欲求曲线段C的方程，须先求得｜ＭＮ｜．过A作ＡＤ⊥ＭＮ，垂足为D，∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴Ｄ在线段MN上.过A作AK⊥ｌ２，垂足为K，在Ｒｔ△ＡＫＭ中，∵｜ＡＭ｜＝，｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，∴｜ＫＭ｜＝2．在Ｒｔ△ＡＭＤ及Ｒｔ△ＡＤＮ中，∵｜ＡＤ｜＝｜ＫＭ｜＝2，∴｜ＭＤ｜＝3，｜ＤＮ｜＝1．∴ｐ＝｜ＭＮ｜＝｜ＭＤ｜＋｜ＤＮ｜＝4．ｘＡ＝ｘＤ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程是ｙ２＝8ｘ（ｙ＞0，1≤ｘ≤4）．思路3．过A作ＡＫ⊥ｌ２，垂足为K，则｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，设∠ＡＭＮ＝∠ＭＡＫ＝θ，则ｃｏｓθ＝｜ＡＫ｜／2｜ＡＭ｜＝（3／．在△ＡＭＮ中，据余弦定理，得｜ＭＮ｜２＋｜ＡＭ｜２－2｜ＭＮ｜·｜ＡＭ｜ｃｏｓθ＝｜ＡＮ｜２，注意到｜ＭＮ｜＝ｐ，∴ｐ２＋17－2ｐ··（3／）＝9，解得ｐ＝2或ｐ＝4．∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴ｐ＝2应舍去（否则当ｐ＝2时，｜ＡＫ｜＞｜ＭＮ｜，△ＡＭＮ必为钝角三角形）．∴ｐ＝4，又ｘＡ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．在解答本题中，应特别注意轨迹的纯粹性和完备性，即曲线段C是抛物线ｙ２＝8ｘ的一部分，必须求出ｘ、ｙ的范围，并要在方程中注明，否则就不是所求曲线段的方程．若只写ｙ２＝8ｘ便是错误答案．例3如图8-2，已知梯形ＡＢＣＤ中，｜ＡＢ｜＝2｜ＣＤ｜，点E分有向线段ＡＣ所成的比为λ，双曲线过C、Ｄ、Ｅ三点，且以A、Ｂ为焦点．当（2／3）≤λ≤（3／4）时，求离心率ｅ的取值范围．
图8-2
讲解：已知λ的范围，求离心率ｅ的范围，需建立ｅ与λ的函数关系λ＝ｆ（ｅ），进而由λ的范围，求得ｅ的范围．而ｅ与λ的关系的建立，依赖于双曲线的几何性质．研究双曲线的几何性质，需要通过方程去研究，故需建立坐标系．以AB所在的直线为ｘ轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ，则ＣＤ⊥ｙ轴．因双曲线经过Ｃ、Ｄ且以A、Ｂ为焦点，故Ｃ、Ｄ关于ｙ轴对称．记Ａ（－ｃ，0）、Ｃ（（ｃ／2），ｈ）、Ｅ（ｘ０，ｙ０），其中ｃ＝（1／2）｜ＡＢ｜为双曲线的半焦距，ｈ是梯形的高．由定比分点公式，得
ｘ０＝[－ｃ＋（ｃ／2）]λ／（1＋λ）＝[（λ－2）ｃ]／[2（1＋λ）]，
ｙ０＝（λｈ）／（1＋λ）．
设双曲线的方程为（ｘ２／ａ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1，则离心率ｅ＝（ｃ／ａ）．∵点Ｃ、Ｅ在双曲线上，且ｅ＝（ｃ／ａ），∴（ｅ２／4）－（ｈ２／ｂ２）＝1，①（ｅ２／4）[（λ－2）／（λ＋1）]２－（λ／（λ＋1））２·（ｈ２／ｂ２）＝1．②由①得（ｈ２／ｂ２）＝（ｅ２／4）－1，代入②，得（ｅ２／4）（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3／（ｅ２＋2）．由（2／3）≤λ≤（3／4），得（2／3）≤1－3／（ｅ２＋2）≤（3／4）．解得≤ｅ≤．故双曲线的离心率ｅ的取值范围是［，］．解题时，一定要有“目标”意识．本题的目标是建立ｅ与λ的关系λ＝ｆ（ｅ），而不是去求双曲线的方程．在2000年的高考中，许多考生由于解题目标意识不强，纠缠在求双曲线方程中而不能自拔．本题还可以通过建立ｅ与λ的函数关系ｅ＝ｆ（λ），转化为求函数ｆ（λ）在区间［（2／3），（3／4）］内的值域．三、专题训练1方程ｙ＝ｌｏｇａ（1－ｘ２）／（1＋ｘ）２）的图象的对称性是（）．Ａ．关于ｙ轴对称Ｂ．关于ｘ轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．无对称轴或对称中心2直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）．Ａ．｜ｘ｜－｜ｙ｜＝1Ｂ．｜ｘ－ｙ｜＝1Ｃ．（｜ｘ｜－｜ｙ｜）２＝1Ｄ．（ｘ－ｙ）２＝13方程｜ｘ｜－1＝表示的曲线是（）．Ａ．两条射线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆4若方程ｘ＋ｙ－4＋2ｍ＝0表示一条直线，则ｍ的取值范围是（）．Ａ．ｍ＝2Ｂ．ｍ＝2或ｍ＜0Ｃ．ｍ＝2或ｍ＞0Ｄ．以上答案都不对5已知点P（ｘ０，ｙ０）是圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２外一点，过P作圆的切线，切点为A、B，则过A、B两点的直线方程是_______________．6方程（｜ｘ｜－｜ｙ｜－1）（ｘ２－4）＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是_______________．7过点A（0，1）作直线与双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1有且只有1个公共点，则这样的直线共有_______________条．8已知两同心圆的半径分别为5和4，AB为小圆的直径．（1）求以大圆的切线为准线，且过A、Ｂ两点的抛物线的焦点的轨迹Ｍ；（2）设过轨迹Ｍ的中心的弦为ＰＱ，Ｆ是轨迹M的焦点，求Ｓ△ＰＱＦ的最大值．9在面积为1的△ＰＭＮ中，ｔｇＭ＝（1／2），ｔｇΝ＝－2．建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程．10如图8-3，M、C为定点，线段AB过M．M为AB的中点且｜AB｜=20,｜MC｜=8．
图8-3
（1）建立适当坐标系，写出以M、C为焦点，（1／2）AB为长轴长的椭圆方程；（2）求证△ABC的外心在（1）中所求椭圆的准线上.
|
|
