高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 2 轨迹

§2轨迹 一、复习要点在第一轮的复习中，同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法，但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法，使同学们能根据曲线上点的性质，选择恰当的方法求出轨迹方程．1本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．2轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一，因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．3在本节复习中，应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标ｘ、ｙ（或ρ、θ）的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．（2）定义法当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的定义建立方程．（3）待定系数法当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．（4）动点转移法即就是当动点P（x,y）或（ρ，θ）随着另一动点Q（ｘ１，ｙ１）或Ｑ（ρ１，θ１）的运动而运动，而动点Q在某已知曲线上，若Q点的坐标可用点P的坐标表示，则可代入动点Q所在已知曲线的方程中，求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．（5）参数法当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量ｔ，并用t表示动点的坐标ｘ、ｙ，从而得动点轨迹的参数方程



ｘ＝ｆ（ｔ），





ｙ＝ｇ（ｔ），



消去参数ｔ，便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y的范围．二、例题讲解例1椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ａ１、Ａ２分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引Ａ１Ｑ⊥Ａ１Ｐ，Ａ２Ｑ⊥Ａ２Ｐ.设Ａ１Ｑ与Ａ２Ｑ相交于点Q，求Q点的轨迹方程．讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解．思路1．设Ｑ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ１，ｙ１），如图8-4，A１的坐标为（－ａ，0），Ａ２的坐标为（ａ，0）．





图8-4



∵点P（ｘ１，ｙ１）在椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1上，∴（ｘ１２／ａ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1．①欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此，须寻求ｘ１、ｙ１与ｘ、ｙ之间的关系．∵Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１＋ａ）／ｙ１（ｘ＋ａ），②Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１－ａ）／ｙ１（ｘ－ａ），③即ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ－ａｘ－ａｘ１－ａ２，④ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ＋ａｘ＋ａｘ１－ａ２，⑤联立④⑤，解得ｘ１＝－ｘ．⑥由①得ｘ１２＝ａ２（1－（ｙ１２／ｂ２））．⑦将④⑤代入Ａ１Ｑ的方程，得ｙ＝（ｘ１２－ａ２）／ｙ１＝（－（ａ２／ｂ２）ｙ１２）／ｙ１＝－（ａ２／ｂ２）ｙ１.∴ｙ１＝－（ｂ２／ａ２）ｙ．⑧将⑥⑧代入①，并整理，得（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．这就是Q点的轨迹方程．以上是将两个参数ｘ１、ｙ１逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得ｙ２＝（（ｘ１２－ａ２）／ｙ１２）（ｘ２－ａ２）．把ｙ１２＝（ｂ２／ａ２）（ａ２－ｘ１２）代入便可将参数一次消去．思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程．设点P的坐标为（Ａｃｏｓθ，Ｂｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），则直线Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ＋1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ＋ａ），①直线Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ－1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ－ａ）.②①×②，消去θ，得ｙ２＝（ａ２（ｃｏｓ２θ－1）／（ｂ２ｓｉｎ２θ）（ｘ２－ａ２）＝－（ａ２／ｂ２）（ｘ２－ａ２），即（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．这就是所求Q点的轨迹方程．思路2用参数法求Q点的轨迹方程，在消参数时，整体处理，化繁为简，请同学们注意这种整体消参的思想．例2如图8-5，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．





图8-5



讲解：思路1动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动，二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多，坐标之间的关系不易直接建立，故可考虑选取中间变量即参数，将符合每一条件的方程列出，再联立各方程，消去参数得点C轨迹的普通方程．设点B的坐标为（-1，t）（t∈R），则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C（x,y）,则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，得｜y｜=（｜y+tx｜／）.①又点C在直线AB上，∴y=-（t／1+a）（x-a）.②∵x-a≠0，∴t=-（（1+a）／x-a）y.③将③代入①，得y２［1+（（1+a）２y２／（x-a）２）］=［y-（（1+a）xy／x-a）］２.整理，得y２［（1-a）x２-2ax+（1+a）y２］=0.若y≠0,则（1-a）x２-2ax+（1+a）y２=0（0＜x＜a）;若y=0,则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．综上，得点C的轨迹方程为（1-a）x２-2ax+（1+a）y２=0（0≤x＜a）.④（i）当a=1时，轨迹方程为y２=x（0≤x＜1）,此时方程表示抛物线弧段;（ii）当a≠1时，轨迹方程化为（（x-（a／1-a））２／（（a／1-a））２）+（y２／（a２／1-a２））=1（0≤x＜a）,∴当0＜a＜1时，方程表示椭圆弧段；当a＞1时，方程表示双曲线一支的弧段．思路2若设l与x轴的交点为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD，用直接法即求得动点轨迹的方程．请同学们自己试做．本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程，这种参数方程称为“隐参数方程”，联立消参便可得普通方程．对方程④表示的曲线应注意分类讨论．例3已知两定点Ａ、Ｂ，且｜ＡＢ｜＝2ａ（ａ∈Ｒ＋）．（1）若动点Ｍ与A、Ｂ构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程；（2）若动点M满足条件∠ＭＢＡ＝2∠ＭＡＢ，求点M的轨迹方程．讲解：题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解．因Ａ、Ｂ为两个定点，故取ＡＢ所在的直线为ｘ轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（－ａ，0）、（ａ，0）．





图8-6



（1）设点M的坐标为（ｘ，ｙ），则动点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜ＡＭ⊥ＭＢ，且M不在直线ＡＢ上｝．由ＡＭ⊥ＭＢ，得｜ＡＭ｜２＋｜ＭＢ｜２＝｜ＡＢ｜２，即＝（2ａ）２，且ｙ≠0．①化简，得ｘ２＋ｙ２＝ａ２（ｙ≠0）．②或者由ＡＭ⊥ＭＢｋＭＡ·ｋＭＢ＝－1，得ｙ／（ｘ＋ａ）·ｙ／（ｘ－ａ）＝－1，③化简，得ｘ２＋ｙ２＝ａ２（ｘ≠±ａ）．④（2）设∠ＭＡＢ＝α，∠ＭＢＡ＝β，则点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜β＝2α｝．⑤考虑到ｔｇβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论．Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有ｔｇβ＝ｔｇ2α．⑥而0≤α＋β＜π，β＝2α，∴0≤α＜（π／3）．又由α＜β知ｘ＞－ａ．⑦根据点M与ｘ轴的相对位置，以下又可分为（ｉ）、（ｉｉ）两种情形：（ｉ）当ｙ≥0时，ｔｇα＝ｋＭＡ＝ｙ／（ｘ＋ａ）（ｘ≠－ａ），ｔｇβ＝－ｔｇ（π－∠ｘＢＭ）＝－ｋＭＢ＝ｙ／（ａ－ｘ）（ｘ≠ａ）．由ｔｇβ＝ｔｇ2α，得ｙ／（ａ－ｘ）＝（2·（ｙ／（ｘ＋ａ）／1－（（ｙ／ｘ＋ａ））２），⑧整理得ｙ（3ｘ２－ｙ２＋2ａｘ－ａ２）＝0．⑨（ｉｉ）当ｙ＜0时，同理可得上式．Ⅱ．又ｘ＝ａ时，ｔｇβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），Ｍ仍为所求轨迹上的点．∵1＝ｔｇ（π／4）＝ｔｇα＝±ｙ／（ｘ＋ａ）＝±（ｙ／2ａ），∴ｙ＝±2ａ，∴点（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上．容易验证点（ａ，2ａ）与（ａ，－2ａ）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为ｙ＝0（－ａ＜ｘ＜ａ）或3ｘ２－ｙ２＋2ａｘ－ａ２＝0（ｘ＞－ａ）．从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去ｙ，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对ｘ的范围加以限制，即ｘ≠±ａ，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、Ｂ构成三角形，M不在AB上，须加限制条件ｙ≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．三、专题训练1一动圆与两圆ｘ２＋ｙ２＝1，ｘ２＋ｙ２－8ｘ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是（）．Ａ．抛物线．双曲线C．双曲线的一支．椭圆2若-｜x-y+3｜=0，则点M的轨迹是（）．Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线3设Ａ１、Ａ２是椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1长轴的两个端点，Ｐ１、Ｐ２是垂直于Ａ１Ａ２的弦的端点，则直线Ａ１Ｐ１与Ａ２Ｐ２交点的轨迹方程为（）．Ａ．（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1Ｂ．（ｙ２／9）＋（ｘ２／4）＝1Ｃ．（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1Ｄ．（ｙ２／9）－（ｘ２／4）＝1过Ｐ（1，2）任作一直线ｌ交ｘ轴于Ａ，过Ｑ（2，－3）作ｌ的垂线交ｙ轴于B，点C分线段AB为定比2，则点C的轨迹为（）．





图8-7



Ａ．6ｘ＋3ｙ＋4＝0Ｂ．6ｘ＋3ｙ－4＝0Ｃ．6ｘ－3ｙ＋4＝0Ｄ．6ｘ－3ｙ－4＝05倾斜角为（π／4）的直线交椭圆（ｘ２／4）＋ｙ２＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是_________．6设P是以Ｆ１、Ｆ２为焦点的双曲线（ｘ２／16）－（ｙ２／9）＝1上的动点，则△Ｆ１Ｆ２Ｐ的重心的轨迹方程是_________．7ＡＢＣ中，若Ｂ（－（ａ／2），0），Ｃ（（ａ／2），0），且ｓｉｎＣ－ｓｉｎＢ＝（1／2）ｓｉｎＡ，则顶点A的轨迹方程是_________．8求经过定点A（1，2），以ｙ轴为准线，离心率为（1／2）的椭圆左顶点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．9过点A（0，a）的动直线和圆（ｘ－2）２＋ｙ２＝1相交于Ｂ（ｘ１，ｙ１）和C（ｘ２，ｙ２）两点，且ｘ１＜ｘ２，点P在线段BC上，满足（｜ＰＢ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），求点P的轨迹方程．10．已知定直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ，ｌ２：ｙ＝－ｋｘ（ｋ为非零常数），定点A（1，0），P是位于∠ＭＯＮ内部的动点（图8-8），过A作ｌ１、ｌ２的两条平行线与射线OP分别交于Ｑ、Ｒ点，且有关系：｜ＯＰ｜２＝｜ＯＲ｜·｜ＯＱ｜．





图8-8



（1）求动点P的轨迹；（2）是否有这样的点P存在，它在（1）的轨迹上，且使△ＡＱＲ的面积等于（1／4）｜ｋ｜？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．