§4圆锥曲线 一、复习要点1本节复习的主要内容有：（1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等；（3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题．2本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法．利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点．直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现．3在本节的复习中，应注意如下复习策略：熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的基本方法、基本技能．在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率．注意以下几点：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算；（3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算；（4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理；（5）有关圆锥曲线关于直线ｌ的对称问题中，若A、A′是对称点，则应抓住ＡＡ′的中点在ｌ上及ｋＡＡ′·ｋｌ＝－1这两个关键条件解决问题；（6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．二、例题讲解例1已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F２引倾斜角为（π／4）的直线ｌ交椭圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（8／3），它的左焦点F１到直线ｌ的距离为，求椭圆的方程．
图8-11
讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程．因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解．如图8-11，设所求椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，其中ａ＞ｂ＞0．Ｆ１（－ｃ，0），Ｆ２（ｃ，0），ｃ＝，则直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ．由F１到ｌ的距离为，求得ｃ＝1.若设M（ｘ１，ｙ１）、N（ｘ２，ｙ２），则ｄ１＝（ａ２／ｃ）－ｘ１，ｄ２＝（ａ２／ｃ）－ｘ２．∵ｃ＝1，ｄ１＋ｄ２＝2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）．据已知有2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）＝（8／3）．①欲求椭圆方程，已知ｃ＝1，所以只需求得ａ，由①知，只要将ｘ１＋ｘ２用a表示即可.要寻求ｘ１＋ｘ２与ａ的关系，须从直线与椭圆的方程组成的方程组入手．
由
（ａ２－1）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２（ａ２－1），
ｙ＝ｘ－1，
消去ｙ，得（2ａ２－1）ｘ２－2ａ２ｘ＋ａ２（2－ａ２）＝0．从而ｘ１＋ｘ２＝2ａ２／（2ａ２－1）．②②代入①解得ａ２＝2，则ｂ２＝1．故所求椭圆方程为（ｘ２／2）＋ｙ２＝1．本题也可以由焦半径公式，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝2ａ－（1／ａ）（ｘ１＋ｘ２），再据椭圆第二定义，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3），建立关于a的方程．本题在得到｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3ａ）后，还可以利用弦长公式建立关于a的方程，但运算量大．后两种方法请同学们试试看，比较其优劣．例2已知双曲线的一个焦点在坐标原点，与该焦点相应的准线方程是x=1,直线l与双曲线交于P１、P２两点.若线段P１P２的垂直平分线方程为x+y=0,且｜P１P２｜=2，求双曲线的方程．讲解：据已知条件，所求双曲线方程是非标准形式．但由已知焦点位置和相应准线知实轴在x轴上，且中心为（c,0），故可用待定系数法求解．若设P１P２的方程为y=x+m，与双曲线方程联立，用弦长公式求解，参数较多，运算量大，故从求点P１、P２的坐标入手．设所求双曲线的方程为（（x-c）２／a２）-（y２／b２）=1（其中a＞0,b＞0,c=.如图8-12.据题意，c-1=（a２／c），
图8-12
即c２=c+a２,２．设P1（x0,y0）,则2（-y0,-x0）.∵｜P１P２｜=2,∴=2．∴x0+y0=2.①又P１（x0,y0）、P２（-y0,-x0）都在双曲线上，
∴
（（x0-c）２／a２）-（y0２／b２）=1，
（（-y0-c）２／a２）-（（-x0）２／b２）=1.
两式相减，并注意到b２=c,得0-y0=2.②联立①、②，解得x0=2,y0=0，∴P１（2，0），P２（0，-2），将此两点的坐标分别代入双曲线方程，得
（（2-c）２／a２）=1,
（c２／a２）-（4／b２）=1.
将c=b２代入，解得a２=（4／9）,b２=（4／3）．故所求双曲线的方程为（9（x-（4／3））２／4）-（3y２／4）=1．例3直线ｌ：ａｘ－ｙ－1＝0与双曲线Ｃ：ｘ２－2ｙ２＝1相交于P、Q两点．（1）当实数a为何值时，｜ＰＱ｜＝2?（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．讲解：（1）若设P、Q的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），则（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２）是方程组
ａｘ－ｙ－1＝0，
①
ｘ２－2ｙ２－1＝0
②
的实数解，根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数a的值．将①代入②消去y，得（1－2ａ２）ｘ２＋4ａｘ－3＝0．③若1－2ａ２＝0，即ａ＝±（／2）时，直线ｌ与双曲线的渐近线平行，ｌ与C只可能有一个交点，∴1－2ａ２≠0．当1－2ａ２≠0，即ａ≠±（／2）时，由方程③的判别式Δ＞0，得－（／2）＜ａ＜（／2）．又ｘ１＋ｘ２＝－4ａ／（1－2ａ２），ｘ１ｘ２＝－3／（1－2ａ２），④由弦长公式及④，得｜ＰＱ｜＝·．由已知｜ＰＱ｜＝2，解得ａ２＝－（1／2）（舍去），或ａ２＝1.∴ａ＝±1，满足－（／2）＜ａ＜（／2）．故所求实数a的值为±1．（2）反证法假设存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则由OP⊥ＯＱ，得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又ｙ１ｙ２＝（ａｘ１－1）（ａｘ２－1），∴（1＋ａ２）ｘ１ｘ２－ａ（ｘ１＋ｘ２）＋1＝0．将（1）中的④代入，解得ａ２＝-2，这与a为实数矛盾.故不存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点．本题在得到方程③后，应注意两点：1°对二次项系数是否为零要分类讨论；2°当1－2ａ２≠0时，应有Δ＞0这一条件，否则会“对而不全”．例4如图8-13所示，设抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、Ｂ两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥ｘ轴．证明直线ＡＣ经过原点Ｏ．
图8-13
讲解：证明直线AC经过原点O，即证明A、Ｏ、Ｃ三点共线．证明三点共线的方法甚多，常用的有斜率法、方程法、距离法等，这里我们只给出两种思路．其他的请读者自己思考．思路1．斜率法．∵Ｆ的坐标为（（ｐ／2），0），∴直线ＡＢ的方程可设为ｘ＝ｍｙ＋（ｐ／2），代入抛物线方程，得ｙ２－2ｐｍｙ－ｐ２＝0．若记Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１ｙ２＝－ｐ２．又∵ＢＣ∥ｘ轴，且点C在准线ｘ＝－（ｐ／2）上，∴Ｃ点的坐标为（－（ｐ／2），ｙ２），∴ｋＣＯ＝ｙ２／－（ｐ／2）＝2ｐ／ｙ１＝ｙ１／ｘ１，即ｋＣＯ＝ｋＡＯ，∴直线ＡＣ经过点O．思路2．距离法（同一法）．记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为E，过A作AD⊥ｌ，D为垂足．则AD∥ＦＥ∥ＢＣ，连结AC与ＥＦ相交于点N，则（｜ＥＮ｜／｜ＡＤ｜）＝（｜ＣＮ｜／｜ＡＣ｜）＝（｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜），（｜ＮＦ｜／｜ＢＣ｜）＝（｜ＡＦ｜／｜ＡＢ｜）．又由于｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＣ｜，∴｜ＥＮ｜＝（｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜）＝（｜ＡＦ｜·｜ＢＣ｜／｜ＡＢ｜）＝｜ＮＦ｜．即N为ＥＦ的中点，与抛物线的顶点O重合，∴直线ＡＣ经过原点O．该题实质为抛物线焦点弦的一个性质定理．抛物线的焦点弦还有一些常用性质，如，设AB为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦，且A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线AB的倾角为θ，则ｙ１ｙ２＝－ｐ２，｜ＡＢ｜＝（2ｐ／ｓｉｎ２θ），（1／｜ＡＦ｜）＋（2／｜ＦＢ｜）＝（2／ｐ），等等．另外，该命题还可进一步引申为：设Ａ、Ｂ为抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上两点，C在其准线上，且BC∥ｘ轴，则Ａ、Ｏ、Ｃ三点共线的充要条件为Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线．其中，充分性为2001年全国高考试题，必要性为1997年陕西省高中毕业会考试题．三、专题训练1椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分，则一焦点与它的短轴的两端点连线的夹角是（）．Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°2．椭圆C：（ｘ２／4）＋ｙ２＝1关于直线ｌ：ｙ＝ｘ－3对称的椭圆Ｃ′的方程是（）．Ａ．（ｘ－3）２＋（（ｙ＋3）２／4）＝1Ｂ．（ｘ＋3）２＋（（ｙ－3）２／4）＝1Ｃ．（（ｘ－3）２／4）＋（ｙ＋3）２＝1Ｄ．（（ｘ＋3）２／4）＋（ｙ－3）２＝13．过双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／16）＝1的右焦点F作倾斜角为（π／4）的弦AB，则AB的中点到F的距离是（）．Ａ．80／7??Ｂ．80／7Ｃ．80／7Ｄ．40／74．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点弦AB的长为ｍ，顶点为O，则△OAB的面积为（）．Ａ．（ｐ／2）Ｂ．（ｐ／4）Ｃ．（ｐ／4）Ｄ．无法计算5若直线ｙ＝ｋｘ＋1（ｋ∈Ｒ）与椭圆（ｘ２／5）＋（ｙ２／ｍ）＝1恒有公共点，则实数ｍ的取值范围是__________．6直线ｙ＝1－ｘ交椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝1于M、N两点，弦MN的中点为P.若ｋＯＰ＝（／2），Ｏ为坐标原点，则（ｍ／ｎ）＝__________．7给出下列四个命题：①椭圆（ｘ２／16）＋（ｙ２／λ）＝1的离心率为（1／2），则λ=12；②已知双曲线3mｘ２-mｙ２＝3的一个焦点的坐标是（0，1），则m=-4;③已知抛物线y＝（1／2）x２-2x+（m／2）的准线是y=-1,则实数m=3；④椭圆（x２／25）+（y２／9）＝1上一点M到左焦点F１的距离是2，N是MF１的中点，O是坐标原点，则｜ON｜=2．其中所有正确的命题的序号是_______．8已知抛物线ｙ２＝4ａｘ（ａ＞0）的焦点为A，以B（ａ＋4，0）点为圆心，｜ＢＡ｜为半径，在ｘ轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，点P是MN的中点．（1）求｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜的值；（2）是否存在实数ａ，使｜ＡＭ｜、｜ＡＰ｜、｜ＡＮ｜成等差数列？若存在，求出ａ；若不存在，说明理由．9．已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ与椭圆C：ｘ２＋（ｙ２／3）＝1交于A、B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点．（1）当直线ｌ与直线ｘ＋ｙ＝0平行（不重合）时，求直线OM的斜率；（2）如果｜ＯＭ｜＝1，证明ｂ２＝（ｋ２＋3）２／（ｋ２＋9），并求线段AB的长取最大值时直线ｌ的方程．10已知双曲线3ｘ２－ｙ２＋24ｘ＋36＝0的右焦点为F，右准线为ｌ，椭圆C以F和ｌ为相应的焦点及准线，过点F作倾斜角为（π／4）的直线ｍ交椭圆C于两点A、B，以AB为直径作圆Ｏ′．（1）若圆Ｏ′过椭圆C的中心，求椭圆C的方程；（2）当椭圆C的中心在圆Ｏ′内时，求这个椭圆离心率ｅ的取值范围．
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