§5参数讨论 一、复习要点本节的主要内容是与解析几何有关的参数讨论问题．其中包括两个方面：①由已知含参数的方程讨论方程所表示曲线的类型及几何性质；②由曲线的几何性质确定曲线方程中参数的取值范围．这两个方面的问题是本节的重点，其中参数讨论中分类标准的确定及求参数范围中构建参数所满足的不等式是难点．与解析几何有关的参数讨论问题，所涉及的知识范围广、变量多、综合性强，解答这类题对同学们的能力要求较高，故这类问题在高考试题中频繁出现，成为高考命题热点之一．在本节的复习中，应重点掌握解决以下两方面问题的方法和能力：（1）由给定含参数的方程讨论方程表示何种曲线，实质就是对参数进行分类讨论．对某参数m进行分类讨论，应注意按如下步骤进行：①确定ｍ的全体集合P；②根据题设条件及曲线的方程的特点确定分类的标准（即分界点）；③把集合P按分类标准划分为若干个真子集Pｉ（ｉ＝1，2，…，n），且使其同时满足Ｐ１∪Ｐ２∪Ｐ３∪…∪Ｐｎ＝Ｐ，Ｐｉ∩Ｐｊ＝（ｉ≠ｊ，1≤ｉ，ｊ≤ｎ）；④按Ｐｉ逐一讨论求解．（2）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质（曲线的范围、对称性、位置关系等）构造参数满足的不等式，通过求解不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为求函数的值域求解．二、例题讲解例1当ｍ变化时，讨论方程ｍｘ２＋（2－ｍ）ｙ２＝1表示的曲线形状，并画出简图．讲解：据题意，ｍ∈Ｒ，对全集R怎样分类，分类的标准是什么，必须从方程入手．已知方程是不含xy项的二元二次方程，这样的二元二次方程一般情况下表示的是圆锥曲线，又注意到方程中不含一次项ｘ、ｙ，故方程表示的曲线不会是抛物线．先考虑特殊情况：若ｍ＝0或ｍ＝2时，方程表示两条直线；当ｍ＝1时，方程表示圆；当ｍ≠0且ｍ≠1，ｍ≠2时，ｘ２、ｙ２项系数可能同号，也可能异号，故又需按ｍ（2－ｍ）＞0及ｍ（2－ｍ）＜0分类，至此分类的标准已基本确定．将各分界点标在数轴上，如图8-14，按从左到右依次讨论．
图8-14
（1）当ｍ＜0时，方程表示焦点在ｙ轴上的双曲线ｙ２／（1／（2－ｍ））－（ｘ２／－ｍ）＝1；（2）当ｍ＝0时，方程表示两条平行于x轴的直线?ｙ＝±（／2）；（3）当0＜ｍ＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆（ｘ２／（1／ｍ））＋（ｙ２／1／（2－ｍ））＝1；（4）当ｍ＝1时，方程表示圆ｘ２＋ｙ２＝1；（5）当1＜ｍ＜2时，方程表示焦点在ｙ轴上的椭圆（ｙ２／1／（2－ｍ））＋（ｘ２／（1／ｍ））＝1；（6）当ｍ＝2时，方程表示两条平行于ｙ轴的直线ｘ＝±（／2）；（7）当ｍ＞2时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（ｘ２／（1／ｍ））－（ｙ２／1／（ｍ－2））＝1．其简图如图8-15．
ｍ＜0ｍ＝00＜ｍ＜1ｍ＝1
1＜ｍ＜2ｍ＝2ｍ＞2
图8-15
例2已知椭圆C的方程为（ｘ２／4）＋（ｙ２／3）＝1，试确定ｍ的取值范围，使得对于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ，椭圆C上有不同的两个点关于该直线对称．讲解：思路1．若设所求ｍ的取值范围是M，则由题意可知，ｍ∈Ｍ等价于直线ｌ′：ｙ＝－（ｘ／4）＋ｂ，使得直线ｌ′与椭圆C有两个不同的交点P、Q，且P、Q关于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ对称．故可先根据直线ｌ′与椭圆C有两个不同的交点确定ｂ的范围，再根据P、Q关于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ对称及P、Q在椭圆上的条件求得ｂ与ｍ的关系，ｂ＝ｆ（ｍ），进而由ｂ的范围确定ｍ的范围．设P（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２）是椭圆C上关于直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ对称的两点，如图8-16，则过P、Q的直线ｌ′的方程为ｙ＝－（1／4）ｘ＋ｂ，将ｌ′的方程代入C中，整理得
图8-16
13ｘ２－8ｂｘ＋16ｂ２－48＝0．∵ｌ′与C有两个交点，∴Δ＞0．由Δ＞0，解得－（／2）＜ｂ＜（／2）．①又∵ＰＱ的中点M在直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ上及ｘ１＋ｘ２＝（8／13）ｂ，ｙ１＋ｙ２＝－（1／4）（ｘ１＋ｘ２）＋2ｂ＝（24／13）ｂ，从而有（1／2）（（24／13）ｂ）＝4·（1／2）·（8／13）ｂ＋ｍ.解得ｍ＝－（4／13）ｂ，即ｂ＝－（13／4）ｍ，代入①，解得－（2／13）＜ｍ＜（2／13）．思路3．因椭圆C上存在不同的两点关于直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ对称，则两对称点P、Q连线的斜率为－（1／4），且中点在ｌ上，也必在椭圆C的斜率为－（1／4）的平行弦的中点的轨迹曲线上，故问题可转化为求曲线C的斜率为－（1／4）的平行弦中点的轨迹与直线ｌ的交点在椭圆C的内部时参数ｍ的取值范围，这可由点在椭圆内的条件求之．设M（ｘ，ｙ）是椭圆C的斜率为－（1／4）的平行弦中点轨迹上任一点，∵Ｐ（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２）都在椭圆（ｘ２／4）＋（ｙ２／3）＝1上，即3ｘ２＋4ｙ２＝12．∴3ｘ１２＋4ｙ１２＝12，①3ｘ２２＋4ｙ２２＝12．②①－②，得3（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋4（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0，即（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝（－3／4）·（ｘ１＋ｘ２）／（ｙ１＋ｙ２）．又∵ｘ１＋ｘ２＝2ｘ，ｙ１＋ｙ２＝2ｙ，（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝ｋｌ′＝－（1／4），∴－（1／4）＝（－3／4）·（ｘ／ｙ），即3ｘ－ｙ＝0．故椭圆的斜率为－（1／4）的平行弦的中点的轨迹是直线3ｘ－ｙ＝0在椭圆C内的部分．
3ｘ－ｙ＝0，
ｙ＝4ｘ＋ｍ，
解得其交点坐标是（－ｍ，－3ｍ）．∵交点（－ｍ，－3ｍ）在椭圆（ｘ２／4）＋（ｙ２／3）＝1内，∴（（－ｍ）２／4）＋（（－3ｍ）２／3）＜1．解得－（2／13）＜ｍ＜（2／13）．思路3．同思路2，可得PQ的中点（－ｍ，－3ｍ），由此可得直线PQ的方程为ｙ＋3ｍ＝－（1／4）（ｘ＋ｍ）．∵ＰＱ与椭圆有两个不同的交点，故将PQ方程代入椭圆方程消去ｙ，得到关于x的一元二次方程，由Δ＞0可解得－（2／13）＜ｍ＜（2／13）．（请同学们自己写出解题过程）思路1中，巧设中间参数ｂ，先确定出ｂ的范围，再求出ｂ与ｍ的关系进而确定ｍ的范围，由不等关系，到相等关系，再到不等关系，这种引参、消参、不等与相等关系的相互转化，是解答与解析几何有关的求参数取值范围的基本方法，同学们在解题后应很好的进行反思，从中体会这种思想方法．思路2中，利用平行弦中点的轨迹与直线ｌ的交点在椭圆内的条件确定参数的范围，思路灵活，解法新颖，别具一格．思路3利用直线PQ与椭圆有两个不同交点建立参数ｍ的不等式，直接求得了ｍ的取值范围．例3已知双曲线的方程为ｘ２－（ｙ２／2）＝1.（1）过点A（0，1）作斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于点P１、Ｐ２，使线段P１Ｐ２的中点在直线ｘ＝（1／2）上，求k的值；（2）若过点B（1，b）能作斜率为k（k≠0）的直线m，交双曲线于点Q１、Q２，使线段Q１Q２的中点在直线x=（1／2）上，求b的取值范围．讲解：（1）考虑由P１P２的中点在直线x=（1／2）上构造关于k的方程，并由l与双曲线相交于两点的条件确定k的值．
设l:y-1=kx,由
y-1=kx，
得
ｘ２－（ｙ２／2）＝1，
（2-k２）x２-2kx-3=0.据题意，有
2-k２≠0，
解得
Δ=4k２-4（2-k２）（-3）＞0，
-＜k＜，且k≠±．∵P１P２的中点在x=（1／2）上，∴（x１+x２／2）=（-k／k２-2）=（1／2）．解得k=-1±，又-＜k＜，且k≠±，∴k=-1+．（2）可先由直线m与双曲线交于两点的条件得关于k、b的不等式，再由Q１Q２的中点在直线x=（1／2）上，寻求k与b的关系，进而确定b的范围．设直线m的方程为y-b=k（x-1）,代入x２-（y２／2）=1中，得（2-k２）x２+2k（k-b）x+2bk-b２-k２-2=0.
据题意
2-k２≠0，
得
Δ＞0，
b２-2bk+2＞0，①且k≠±．又Q１Q２的中点在直线x=（1／2）上，∴[ｋ（ｋ－ｂ）]／（ｋ２－2）＝（1／2），即b=（k２+2）／2k.②将②代入①，得3k4-4k２-4＜0,解得-＜k＜且k≠0.以下求b的范围，有两种方法：（i）可证函数b=f（k）=（k２+2／2k）=（k／2）+（1／k）在（-，0）及（0，）单调递减（略），由此得b∈（－∞，－）∪（，＋∞）；（ii）当0＜k＜时，b=（k／2）+（1／k）≥,当且仅当（k／2）=（1／k）,即k=时等号成立，但k≠,∴b∈（，＋∞）;当-＜ｋ＜0时，b=-（（-k／2）+（1／-k））≤－，当且仅当k=-时等号成立，但k≠-，∴b∈（－∞，－）．综上知b∈（－∞，－）∪（，＋∞）．本题（2）的解中，先由直线与双曲线有两个交点的几何性质得到b、k的不等关系①，再由Q１Q２的中点在直线x=（1／2）的几何性质得函数关系式②，将问题转化为求函数b=f（k）的值域（要特别注意定义域的确定）．这里既蕴含着方程思想，又蕴含着函数思想．三、专题训练1若方程ｙ２－ｘ２ｌｇａ＝（1／3）－ａ表示焦点在ｘ轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）．Ａ．0＜ａ＜（1／3）Ｂ．ａ＞（1／3）Ｃ．0＜ａ＜（1／10）Ｄ．（1／10）＜ａ＜（1／3）2．如果直线l将曲线ｘ２＋2ｙ２-2x-8y=0分成长度相等的两段，且l不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（）．Ａ．［0，（1／2））Ｂ．［0，（1／2）］Ｃ．［0，1］Ｄ．［0，2］3对于双曲线（ｘ２／16）－（ｙ２／9）＝1与（ｘ２／16）－（ｙ２／9）＝λ（λ＞0，且λ≠1），有下列结论：①有相同的顶点；②有相同的焦点；③有相同的离心率；④有相同的渐近线；⑤有相同的准线．其中正确的是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．④⑤4若曲线（ｘ２／25）＋（ｙ２／9）＝1与曲线ｘ２／（25－ｋ）＋ｙ２／（9－ｋ）＝1有相等的焦距，则ｋ的取值范围是（）．Ａ．ｋ＜25且ｋ≠9Ｂ．9＜ｋ＜25Ｃ．ｋ＜25Ｄ．ｋ＞255若方程（5－ｋ）ｘ２＋（｜ｋ｜－2）ｙ２＝（5－ｋ）（｜ｋ｜－2）表示双曲线，则实数ｋ的取值范围是____________．6．若方程=k（x-2）+3有两个不同实数解，则实数k的取值范围是____________．（用区间表示）7已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋2与以A（0，1）、B（2，3）为端点的线段（不包含端点）有两个不同的交点，则实数ｍ的取值范围是____________．8圆锥曲线Ｃ的一个焦点是Ｆ（0，－2），相应的准线方程是ｙ＝－（9／4），离心率ｅ满足条件：（2／3），ｅ，（4／3）成等比数列．问：是否存在一条直线ｌ，使ｌ与曲线Ｃ相交于不同的点Ｍ、Ｎ，且线段ＭＮ恰好被直线ｘ＝－（1／2）平分?若存在，求出直线ｌ的倾斜角的取值范围；若不存在，说明理由．9．如图8-17所示，已知直线ｌ：ｙ＝ｋｘ（ｋ≠0）和抛物线Ｃ：（ｙ＋1）２＝ｘ＋1．如果C上存在点Ｐ１和P２关于ｌ对称：
图8-17
（1）求ｋ的取值范围；（2）当直线ｌ与抛物线C的一个交点P在直线ｘ＝3上时，求△ＰＰ１Ｐ２的面积．10已知双曲线C：（1－ａ２）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２（ａ＞1），设该曲线上支的顶点为A，且上支与直线ｙ＝－ｘ相交于P点，一条以A为焦点、M（0，ｍ）为顶点、开口向下的抛物线通过点P.设PM的斜率为ｋ，且（1／4）≤ｋ≤（1／3），求实数a的取值范围．
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