§5怎样答高考综合题 一、内容概要高考综合题包括求解题和证明题．综合题在高考中举足轻重，高考的区分层次性选拔使命主要靠这类题来完成．目前的高考综合题已经由纯粹的知识型转化为方法能力型．二、基本方法讲解综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．在审题思考中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：由条件暗示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向．只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证．解题设计要因题定法，无论是整体思考或局部联想，在确定解题方法时，必须遵循下列四条基本原则：（1）熟悉化原则．即在分析题目特点的基础上，联想并利用与其有关的定理、公式和命题，把问题转化为熟悉的情形来处理．例如，求数列7，77，777，…的通项公式，可转化为熟知的数列9，99，999，…的通项公式来求：（7／9）×9，（7／9）×99，（7／9）×999，…ａｎ＝（7／9）（10ｎ－1）．（2）具体化原则．即把题目中的各种概念或概念之间的关系具体明确，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去．例如，对于直线l上的任意一点（x,y）的映射（4x+2y,x+3y）也在直线l上，求此直线的方程．如果我们先具体赋值ｘ＝0，ｙ＝0，则4x+2y=0,x+3y=0，判定直线l必通过原点，那么，由三点（0，0），（x,y），（4x+2y,x+3y）共线，易得直线l的方程为x+y=0或x-2y=0．（3）简单化原则．即把复杂的问题转化为较简单的问题，把复杂的形式转化为较简单的形式．（4）和谐化原则．即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系．例如，求函数ｙ＝（ｅｘ－1）／（ｅｘ＋1）的反函数的定义域．我们从y=（（-1）+（+1）·ｅｘ）／（1＋ｅｘ），知y分－1、＋1为定比λ＝ｅｘ＞0，从而－1＜ｙ＜1，得（－1，1）为反函数的定义域．这里既有机智的运算，又有概念性的推理，还体现了和谐的美．上述四个原则是互相联系、相辅相成的，其中熟悉化原则是最基本的．分析与综合不仅是其他各种思维方法的基础，而且也是解综合题最基本的思维方法，而运用分析法与综合法解综合题就是不断化归与转化，所以解综合题的核心是“转化与化归”．另外，解答综合题要注意把握好以下几点：（ｉ）紧扣概念，谨防误区；（ｉｉ）巧用性质，快速求解；（ｉｉｉ）充分挖掘隐含条件，便于探求解题思路．以下就解综合题的几种重要的思维方法、策略分别举例剖析．1．语言符号互换策略每个数学命题都是由一些特定的数学语言、文字语言、符号语言和图形语言组成．数学解题的活动过程，实际就是一些数学语言的转换过程，进而达到理解题意、确定解题思路和获得答案的目的．例1用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段．漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗后可使残留物均匀分布，每次甩干后（包括洗涤后的甩干）衣服中的残留水分（含有残留物）的重量相同．设计时，将漂洗的总用水量定为ａ千克，漂洗甩干的次数定为3次．为使漂洗后衣物中的残留量最少，怎样确定每次漂洗的用水量?解：设每次甩干后衣物中的残留水分（含有残留物）的重量为ｍ，洗涤甩干后衣物中的残留物（不含水分）为ｎ０，3次漂洗并甩干后衣物中的残留物（不含水分）分别为ｎ１、ｎ２、ｎ３（以上各量单位为千克）．依题意，有ｎ１＝ｍ／（ａ１＋ｍ）ｎ０，ｎ２＝（ｍ／ａ２＋ｍ）ｎ１＝（ｍ２ｎ０／（ａ１＋ｍ）（ａ２＋ｍ）），ｎ３＝（ｍ／ａ３＋ｍ）·ｎ２＝（ｍ３ｎ０／（ａ１＋ｍ）（ａ２＋ｍ）（ａ３＋ｍ））．∵ａ１＋ａ２＋ａ３＝ａ（定值），∴ａ１＋ｍ＋ａ２＋ｍ＋ａ３＋ｍ为定值，且ａ１＋ｍ＞0，ａ２＋ｍ＞0，ａ３＋ｍ＞0，∴当ａ１＋ｍ＝ａ２＋ｍ＝ａ３＋ｍ时，（ａ１＋ｍ）（ａ２＋ｍ）（ａ３＋ｍ）取最大值，也即ｎ３取最小值．此时有ａ１＝ａ２＝ａ３．所以为使漂洗后衣物中的残留物最少，3次漂洗的用水量均为（1／3）ａ千克．说明：本题的关键是将题中的已知条件和未知条件转换成符号语言，建立数学模型ｎ３＝（ｍ３ｎ０）／[（ａ１＋ｍ）（ａ２＋ｍ）（ａ３＋ｍ）]．2数形结合策略解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何含义，力图在代数与几何的结合上去找出解题思路．使用数形结合要注意等价性，否则解题会出现漏洞．例2设ω=z+ai（a∈R），z=（（1-4i）（1+i）+2+4i／3+4i）,且｜ω｜≤，求argω的取值范围.讲解：计算得z=1-i,ω=1+（a-1）i,又｜ω｜≤.如图，满足条件的点ω在线段AB上，其中A（1，-1），B（1，1），所以argω的取值范围为［0，（π／4）］∪［（7／4）π,2π）.
图9-29
例3设ａ＞1，解不等式ｌｏｇａ［4＋（ｘ－4）ａ］＜2ｌｏｇａ（ｘ－2）．讲解：原不等式等价于不等式组
ｘ－2＞0，
（ｘ－4）ａ＋4＞0，
（ｘ－2）２＞（ｘ－4）ａ＋4．
设ｙ１＝（ｘ－4）ａ＋4，ｙ２＝（ｘ－2）２（ｘ＞2）．由二函数的解析式易得它们图象交点的横坐标分别为4和ａ．作图易得原不等式的解：当1＜ａ≤2时，ｘ∈（4，＋∞）；当2＜ａ≤4时，ｘ∈（4－（4／ａ），ａ）∪（4，＋∞）；当ａ＞4时，ｘ∈（4－（4／ａ），4）∪（ａ，＋∞）．
图9-30
3．整体处理策略整体处理，就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美．例4椭圆（ｘ２／16）＋（ｙ２／4）＝1上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ的斜率之积为－（1／4），（1）求证｜ＯＰ｜２＋｜ＯＱ｜２为定值；（2）求PQ的中点M的轨迹方程．讲解：我们给出两种解法．解法1．（1）设P、Q两点的坐标分别为P（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２）．∵Ｐ、Ｑ分别在椭圆上，且ｋＯＰ·ｋＯＱ＝－（1／4）．
∴
（ｘ１２／16）＋（ｙ１２／4）＝1，
4ｙ１２＝16－ｘ１２，
①
（ｘ２２／16）＋（ｙ２２／4）＝1，
4ｙ２２＝16－ｘ２２，
②
（ｙ１／ｘ１）·（ｙ２／ｘ２）＝－（1／4）
4ｙ１ｙ２＝－ｘ１ｘ２．
③
①×②，得16ｙ１２ｙ２２＝16－16（ｘ１２＋ｘ２２）＋ｘ１２ｘ２２．④③代入④，得ｘ１２＋ｘ２２＝16．①＋②，得ｙ１２＋ｙ２２＝8－（1／4）（ｘ１２＋ｘ２２）＝4．∴｜ＯＰ｜２＋｜ＯＱ｜２＝ｘ１２＋ｙ１２＋ｘ２２＋ｙ２２＝20．（2）设P、Q的中点为M（x,y），则有ｘ１＋ｘ２＝2ｘ，ｙ１＋ｙ２＝2ｙ．①＋②＋③×2，得4（ｙ１２＋ｙ２２＋2ｙ１ｙ２）＝32－（ｘ１２＋ｘ２２＋2ｘ１ｘ２），4（ｙ１＋ｙ２）２＝32－（ｘ１＋ｘ２）２，∴4ｘ２＋16ｙ２＝32，即（ｘ２／8）＋（ｙ２／2）＝1．故PQ的中点M的轨迹方程为（ｘ２／8）＋（ｙ２／2）＝1．解法2．（1）设ＰＱ的方程为ｙ＝ｍｘ＋ｎ（假设PQ的斜率存在），
由
ｘ２＋4ｙ２＝16，
可得
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
ｘ２＋4ｙ２＝16（（ｙ－ｍｘ）／ｎ）２，令ｋ＝（ｙ／ｘ），上式可整理成（16－4ｎ２）ｋ２－32ｍｋ＋16ｍ２－ｎ２＝0．依题意，得ｋ１ｋ２＝（16ｍ２－ｎ２）／（16－4ｎ２）＝－（1／4），即8ｍ２－ｎ２＋2＝0．
又由
ｘ２＋4ｙ２＝16，
可得
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
（1＋4ｍ２）ｘ２＋8ｍｎｘ＋4ｎ２－16＝0．根据根与系数的关系得ｘ１＋ｘ２＝－（8ｍｎ）／（1＋4ｍ２），ｘ１·ｘ２＝（4ｎ２－16）／（1＋4ｍ２）．∵8ｍ２－ｎ２＋2＝0，∴1＋4m２＝（1／2）ｎ２，∴ｘ１＋ｘ２＝－（16ｍ／ｎ），ｘ１·ｘ２＝（8（ｎ２－4）／ｎ２）．∴｜ＯＰ｜２＋｜ＯＱ｜２＝ｘ１２＋（ｍｘ１＋ｎ）２＋ｘ２２＋（ｍｘ２＋ｎ）２＝（1＋ｍ２）（ｘ１2＋ｘ２2）＋2ｍｎ（ｘ１＋ｘ２）＋2ｎ２＝（1＋ｍ２）［（ｘ１＋ｘ２）２－2ｘ１ｘ２］＋2ｍｎ（ｘ１＋ｘ２）＋2ｎ２，将韦达定理代入，可得（注意：ｎ２＝8ｍ２＋2）｜ＯＰ｜２＋｜ＯＱ｜２＝20．（2）根据中点坐标公式可得
2ｘ０＝ｘ１＋ｘ２＝－（16ｍ／ｎ），
ｍ＝（ｘ０ｙ０）／（ｘ０２－8），
ｙ０＝ｍｘ０＋ｎ
ｎ＝8ｙ０／（8－ｘ０２）．
代入8ｍ２－ｎ２＋2＝0，得8（ｘ０２ｙ０２／（ｘ０２－8）２）－（64ｙ０２／（ｘ０２－8）２）＋2＝0．整理，得ｘ０２＋4ｙ０２＝8，这就是所求的轨迹方程．注：当ＰＱ的斜率不存在时，容易讨论，这里略去．4．联想迁移策略联想是一种特定的想象．它是把某一领域的事物与其他领域的事物联系起来思考并由此激发新的认识的思维方式．数学解题需要联想．联想思维的过程实质上是一个知识迁移的过程．联想的目的是为了寻求解题途径，促使问题的解决，或归纳出一个比较理想的结论．例5已知ｉ、ｍ、ｎ是正整数，且1＜ｉ≤ｍ＜ｎ．（Ⅰ）证明ｎｉＰｉｍ＜ｍｉＰｉｎ；（Ⅱ）证明（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ．讲解：本题是2001年的高考题，难度较大，下面给出（Ⅱ）的不同于标准答案的三种证明方法．方法1．设ｆ（ｎ）＝（ｎ≥2），依题意只需证明函数ｆ（ｎ）递减，即当ｎ≥3时，只需证明
＜．
∵
＜
＝（（ｎ－1）（ｎ＋1）＋1／ｎ）＝ｎ，∴＜ｎ．∴＜，函数ｆ（ｎ）递减．由ｍ＜ｎｆ（ｍ）＞ｆ（ｎ）（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ．方法2．设φ（ｘ）＝（ｌｎ（ｘ＋1）／ｘ），下面证明φ（ｘ）在［2，＋∞）上单调递减．∵φ′（ｘ）＝（（ｘ／ｘ＋1）－ｌｎ（ｘ＋1）／ｘ２），又∵（ｘ／ｘ＋1）＜1，ｘ＋1≥3＞ｅ，∴ｌｎ（ｘ＋1）＞1，即φ′（ｘ）＜0，∴φ（ｘ）在［2，＋∞）上递减．∵ｎ＞ｍ≥2，∴φ（ｍ）＞φ（ｎ），∴（ｌｎ（1＋ｍ）／ｍ）＞（ｌｎ（1＋ｎ）／ｎ）．整理，得（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ．方法3．先证明当ｎ≥3时，ｘｎ＝ｎｎ＋１－（ｎ＋1）ｎ＞0．显然ｘ３＝17＞0，并且ｘｎ＋１＝（ｎ＋1）ｎ＋2－（ｎ＋2）ｎ＋１＝（ｎ＋2）ｎ＋１［（ｎ＋1）（（ｎ＋1）／ｎ＋2））ｎ＋１－1］．∵（ｎ＋1）／（ｎ＋2）＞ｎ／（ｎ＋1），∴ｘｎ＋１＞（ｎ＋2）ｎ＋１［（ｎ＋1）（ｎ／（ｎ＋1））ｎ＋１－1］＝（ｎ＋2）ｎ＋１（ｎｎ＋１－（ｎ＋1）ｎ／（ｎ＋1）ｎ）＝（（ｎ＋2）ｎ＋１／（ｎ＋1）ｎ）ｘｎ＞ｘｎ．这说明数列｛ｘｎ｝是递增数列．∴ｘｎ＞ｘ３＞0，可得数列｛｝递减．（ｉ）当ｎ＞ｍ≥3时，有＞，即（1＋ｍ）ｎ＞ｎｎ＋１．∵ｎ＞ｍ≥3，∴（1＋（1／ｎ））ｍ＜（1＋（1／ｎ））ｎ＜3＜ｎ，即ｎｍ＋１＞（1＋ｎ）ｍ．故（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ．（ｉｉ）当ｍ＝2时，欲证不等式转化成3ｎ＞（ｎ＋1）２．该不等式极易用数学归纳法完成．综合（ｉ）、（ｉｉ），总有（1＋ｍ）ｎ＞（1＋ｎ）ｍ成立．5分类讨论策略分类讨论是一种“化整为零，各个击破”的思想方法．先根据题目要求确定适当的分类标准，然后对划分的每一类分别求解，如有必要可再加以分类，最后进行综合，从而得出结果．例6题目同例3讲解：原不等式等价于不等式组
ｘ－2＞0，
ｘ＞2，
（ｘ－4）ａ＋4＞0，
ｘ＞4－（4／ａ），
（ｘ－2）２＞（ｘ－4）ａ＋4
（ｘ－ａ）（ｘ－4）＞0．
由2＝4－（4／ａ）得ａ＝2，因此对ａ可分成以下几类：①当1＜ａ＜2时，4＞4－（4／ａ）＞2＞ａ，∴ｘ＞4；②当ａ＝2时，可得ｘ＞4．③当2＜ａ＜4时，4＞ａ＞4－（4／ａ）＞2，∴ｘ＞4或4－（4／ａ）＜ｘ＜ａ；④当ａ＝4时，∴ｘ＞3且ｘ≠4；⑤当ａ＞4时，ａ＞4＞4－（4／ａ）＞2，∴ｘ＞ａ或4－（4／ａ）＜ｘ＜4．综上可知：当1＜ａ≤2时，ｘ∈（4，＋∞），当2＜ａ≤4时，ｘ∈（4－（4／ａ），ａ）∪（4，＋∞），当ａ＞4时，ｘ∈（4－（4／ａ），4）∪（ａ，＋∞）．三、专题训练1西部某地区因交通问题严重制约经济发展．某种土特产品只能在本地销售，每年投资ｘ万元，所获利润为ｐ＝－（1／160）（ｘ－40）２＋10万元．在实施西部大开发战略中，该地区在制定经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品．开发前后，财政预算每年均可投入专项资金60万元．要开发此产品，需先用5年时间修通公路，所需资金需从60万元的预算资金中每年拿出30万元．公路修通后该土特产品在异地销售，每投资ｘ万元，可获利润ｑ＝－（159／160）（60－ｘ）２＋（119／2）（60－ｘ）万元．问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？2设函数f（x）=-ax,其中a＞0.（1）解不等式f（x）≤1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数.3求ｓｉｎ220°＋ｃｏｓ250°＋ｓｉｎ20°ｃｏｓ50°的值．4设曲线C的方程是ｙ＝ｘ３－ｘ，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s个单位得曲线Ｃ１．（1）写出曲线Ｃ１的方程；（2）证明曲线C和Ｃ１关于点A（（ｔ／2），（s／2））对称．5设a,b∈R＋，直线l１：y=-（b／a）x+b与l２:y=（b／a）x的交点为P１（x１,y１）,作点P１在x轴上的射影Q１（x１,0）,过点A（0，b）与点Q１（x１,0）的直线AQ１交直线l２于P２（x２,y２）;作点P２在x轴的射影Q２（x２,0），连直线AQ２交直线l２于P３（x３,y３）,…，如此类推可得P１（x１,y１）,P２（x２,y２）,P３（x３,y３）,…，Pn（xn,yn）,…如图9-32.
图9-32
（1）求x１,y１；（2）求数列｛xn｝,{yn}的通项；（3）设zn=xn·yn+1,求数列｛zn｝的前n项和Sn，并求极限.6设关于x的一元二次方程2x２－ax－2＝0的两个根为α、β（α＜β），函数f（x）=（4x－a）／（x２＋1）．（Ⅰ）求f（α）·f（β）的值；（Ⅱ）证明f（x）在［α，β］上递增．
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