函数与方程（4，5，6）参考答案及提示 §4函数的综合问题．A；2．D；3．A；4．A；．1＜a＜;6.x=2;7.ａ＝－（4／5），ｂ＝（1／5）.．由x+＞0，得f（x）的定义域为［，+∞），从而x+≥.∴当a＞1时，f-1（x）的定义域为［loga，＋∞）；当0＜a＜1时，f-1（x）的定义域为（－∞，loga］.由y=loga（x+），得＝ay.①将①式左边分子有理化，得x-＝2a-y.②由①、②，得x=（ay+2a-y）／2.∵n+loga∈［loga，+∞），∴只有a＞1．这时f-1（x）=（ax+2a-x）／2（x≥loga）.∴g（n）=（／2）f-1（n+loga）=…（an+a-n）／2.由g（n）＜（3n+3-n／2），得an+a-n＜3n+3-n.解得1＜a＜3.9．（1）设k=tgα（0≤α＜π），则f（k）=tg2α＝（2tgα）／（1－tg２α）＝2k／（1-k２）．由1-k２≠0，得函数f（k）的定义域为，且k≠±1}.（2）f（k）为奇函数．（3）用定义可判断f（k）在（1，＋∞）上是增函数．10．∵点P（x+a，y1）、Q（x，y２）、R（2+a，y３）在函数f-1（x）=log２（x-a）的图象上，∴y１=log２x，y２=log２（x-a），y３=1.由y１+y３=2y２，得２x+1=2log２（x-a）.①依题意，方程①仅有一个实根．
①
x＞a，
（x-a）２＝2x.
求得a=-（1／2）或a≥0．∵｜OR｜２=（2+a）２＋1，∴当a=-（1／2）时，|OR|最小．这时x=（1／2），∴P（0，-1），Q（（1／2），0），R（（3／2），1）.∵|PQ|=（／2），点R到直线PQ：2x-y-1=0的距离为d=（1／）.∴Ｓ△PQR=（1／2）|PQ|d=（1／4）.§5函数思想1．A；2．Ａ；3．C；4．D；5．a＜-1或a＞（1／5）;8．由题设得３p=（2-q）（q+1）（-1＜q＜2）.∵３p=-q２＋q+2=-（q-（1／2））２＋（9／4），∴0＜log３p≤（9／4），即1＜p≤3（9／4）.9．原方程等价于x２＝10m（x-1）（x＞1）.故原方程解的个数就是函数y=x２（x＞1）与y=10m（x-1）的交点的个数．在同一坐标系下作出抛物线y=x２（x＞1）和直线y=10m（x-1）的图象，当m＞1时，它们有两个不同的交点．10．作函数ｆ（ｔ）＝ｔ＋（ｔ∈Ｒ）．设－∞＜ｔ１＜ｔ２＜＋∞，则ｆ（ｔ１）－ｆ（ｔ２）＝（ｔ１－ｔ２）＋（－）＝（ｔ１－ｔ２）＋（ｔ１２－ｔ１２）／（＋）＝（ｔ１－ｔ２）·（＋ｔ１＋＋ｔ２／＋）．∵ｔ１－ｔ２＜0，＋ｔ１＞0，＋ｔ２＞0，∴ｆ（ｔ１）－ｆ（ｔ２）＜0，即ｆ（ｔ１）＜ｆ（ｔ２）．即说明ｆ（ｔ）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数．对已知条件等式两边同乘以正数－ｙ，得ｘ＋≤－ｙ，即ｘ＋≤（－ｙ）＋，于是ｆ（ｘ）≤ｆ（－ｙ），从而ｘ≤－ｙ，故ｘ＋ｙ≤0．§6方程观点1．Ｃ；2．A；3．C；4．B；5．（1／2）；．（1／2）；7．2．8．由已知等式表明，ｃｏｓＡ是方程ｘ２＋（2ｃｏｓＢｃｏｓＣ）ｘ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ－1＝0的正根，于是由求根公式，得
ｃｏｓＡ＝
[－2ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋]／2
＝－ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝－ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝ｃｏｓ［π－（Ｂ＋Ｃ）］．∵Ａ、Ｂ、Ｃ均为锐角，∴Ａ＝π－（Ｂ＋Ｃ），故Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π．9．设点M的坐标为（x，y），由题设得
（x-1）２+y２=x２，
①
（x-a）２＋（y-2）２＝x２．
②
消去x得（1-a）y２-4y+a２－a+4=0.当a=1时，y=1，代入①得x=1，则M（1，1）;当a≠1时，由Δ=0，得a=0，此时M（（5／2），2）．综上所述，a=1或a=0.10．令t=（2x２＋bx+c）／（x２+1）（t∈［1，3］），则有（2-t）x２＋bx+c-t=0.当t≠2时，由Δ≥0得4t２－4（c+2）t-b２＋8c≤0，此不等式的解集为［1，3］，从而方程4t２-4（c+2）t-b２+8c=0的根为1、3，由韦达定理，得
c+2=4，
解得
b=±2，
（-b２＋8c）／4=3，
c=2.
当t=2时，x=（2-c）／b∈R.故所求b=±2，c=2.
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