专题六复数参考答案及提示 §1复数的性质．Ｄ；2．Ｃ；3．Ａ；4．Ａ；5．2，（4π／3）；6．（1／2）；．②④.．由题意可得（ｚ１＋ｚ３）２＝－３ｚ１，①（２＋３）ｚ１＝－ｚ３２，∴（ｚ２＋ｚ３）１＝－３ｚ２．②由①÷②，得（ｚ１＋ｚ３）／（ｚ２＋ｚ３）＝（｜ｚ１｜２）／（｜ｚ２｜２）∈Ｒ，∴ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３）／（ｚ２＋ｚ３）＝0．9．（1）∵（3π／4）,∴设复数z=r［cos（3π／4）+isin（3π／4）］（r＞0）．∵z３＋2（z２-zi）∈R，∴r３sin（9π／4）+2r２sin（3π／2）-2rcos（3π／4）=0，也即（／2）r３-2r２+r=0（r＞0）,解得r=.∴z=（cos（3π／4）+isin（3π／4））=-1+i.（2）|z-w|=|（1+cosθ）+i（sinθ-1）|
．
∵0≤θ≤2π，∴（π／4）≤θ＋（π／4）≤（9π／4）．∴|z-w|的最大值为+1，最小值为-1．10．∵w〖ＴＸ－〗＝１ｚ２＋2ｚ１＝w，ｕ＝｜１｜2＋｜２｜2，∴w∈Ｒ，ｕ∈Ｒ，∴w与ｕ能比较大小．设ｚ＝ｘ１＋ｙ１ｉ，ｚ２＝ｘ２＋ｙ２ｉ（ｘ１，ｙ１，ｘ２，ｙ２∈Ｒ），∴ｗ＝2ｘ１ｘ２＋2ｙ１ｙ２，ｕ＝ｘ１2＋ｙ１2＋ｘ２2＋ｙ２2，ｕ≥w．§2复数的应用1．Ａ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ｄ；5．ｘ2＝ｙ－1（1＜ｙ≤2）；6．－（／2）＋（2+）／2ｉ；7．－（3／28）．8．由题意可设ｚ１=cosα+isinα,ｚ２＝cosβ＋ｉｓｉｎβ．∵△AOB的重心G对应的复数为（1／3）+（1／15）i，∴（ｚ１+ｚ２）／3=（1／3）+（1／15）i,
即
cosα＋ｃｏｓβ＝1，
∴
2cos（α+β）／2cos（α-β）／2=1,
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝（1／5），
2sin（α+β）／2cos（α-β）／2=（1／5）.
∴（α+β）／2=（1／5）.则（α+β）=2tg（α+β）／2／1-tg2（α+β）／2=（2·（1／5）／1-（1／25））=（5／12）.另解：∵A、B在单位圆上，△AOB为等腰三角形，OG垂直平分AB且OG平分∠AOB．∴∠AOG=（α+β）／2=arg（（1／3）+（1／15）i），∴（α+β）／2=（1／5）,即tg（α+β）=（5／12）.9．如图建立复平面，点A对应的复数为2，设点B对应的复数z=cosθ＋ｉｓｉｎθ（0≤θ≤π），则对应的复数为cosθ-2+isinθ，对应的复数为sinθ+（2-cosθ）i，对应的复数为（2+sinθ）+（2-cosθ）i．
第9题
∴|OC|=．
∵0≤θ≤π，∴－（π／4）≤θ－（π／4）≤（3π／4），∴当θ=（3π／4）时，即点B对应的复数为z=-（／2）+（／2）i时，|OC|有最大值=1+2.10．解法1．∵＝＋，即－2ａ＋3ｉ＝（2＋（ａ／2）ｉ）＋（－ｂ＋Ａｉ），∴－2ａ＋3ｉ＝（2－ｂ）＋（3ａ／2）ｉ．
解得
ａ＝2，
ｂ＝6．
∴ｚＡ＝2＋ｉ，ｚＣ＝－6＋2ｉ，｜ｚＡ｜＝，｜ｚＣ｜＝．从而ａｒg（ｚＣ／ｚＡ）＝135°，即∠ＡＯＣ＝135°．∴ＳＯＡＢＣ＝｜ＯＡ｜·｜ＯＣ｜ｓｉｎ135°＝·2·（／2）＝10．解法2．∵＝，得2＋（ａ／2）ｉ＝－2ａ＋ｂ＋（3－ａ）ｉ.
解得
ａ＝2，
ｂ＝6．
∴ｚＡ＝2＋ｉ，ｚＢ＝－4＋3ｉ，ｚＣ＝－6＋2ｉ．∵ｚＡ－ｚＣ＝2＋ｉ＋6－2ｉ＝8－ｉ，∴｜ＡＣ｜＝｜ｚＡ－ｚＣ｜＝，｜ＯＡ｜＝，｜ＯＣ｜＝，∴ｃｏｓ∠ＡＯＣ＝（｜ＯＡ｜２＋｜ＯＣ｜２－｜ＡＣ｜２）／（2｜ＯＡ｜·｜ＯＣ｜）＝－（／2），∴∠ＡＯＣ＝135°．则ＳＯＡＢＣ＝｜ＯＡ｜·｜ＯＣ｜·ｓｉｎ135°＝10．专题能力测试一、1．Ｃ；2．Ｂ；3．Ｂ；4．Ｂ；5．Ａ；6．Ｂ；7．Ｄ；8．Ｃ；．Ａ；．Ａ；11．Ａ；12．Ｂ.二、13．40；．［（／2），］；15．（ｃｏｓ（3π／4）＋ｉｓｉｎ（3π／4））；16．①②③④．三、17．（1）ｚ１＝ｉ（1－ｉ）３＝2－2ｉ，将ｚ１化为三角形式，得ｚ１＝2（ｃｏｓ（7π／4）＋ｉｓｉｎ（7π／4）），∴ａｒｇｚ１＝（7π／4），｜ｚ１｜＝2．（2）设ｚ＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，则ｚ－ｚ１＝（ｃｏｓα－2）＋（ｓｉｎα＋2）ｉ，｜ｚ－ｚ１｜２＝（ｃｏｓα－2）２＋（ｓｉｎα＋2）２＝9＋4ｓｉｎ（α－（π／4））．当ｓｉｎ（α－（π／4））＝1时，｜ｚ－ｚ１｜２取得最大值9＋4，从而得到｜ｚ－ｚ１｜的最大值为2＋1．．（1）z=（（1-4i）（1+i）+2+4i）／（3+4i）=（7-3i+4i）／（3+4i）=（7+i）／（3+4i）=（（7+i）（3-4i）／25=（25-25i）／25=1-i,∴z=1-i=（cos（7π／4）+isin（7π／4））．（2）w=Ａi+z=Ａi+1-i=1+（a-1）i，∴|w|=（0≤a≤3）.∴｜w｜的最小值当a=1时取得1，｜w｜的最大值当a=3时取得．∴｜w｜∈［1，］．（3）∵w=1+（a-1）i,∴点w在第一、四象限或实轴正半轴上．∵｜w｜≤，∴≤，解得0≤a≤2,∴-1≤a-1≤1.∴动点w在线段AB上运动，其中A（1，-1），B（1，1）．∴［0，（π／4）］∪［（7π／4），2π）．19．把荒岛看成一个复平面，以两棵树所在直线为实轴，以两树连结线段的中点为原点O，建立坐标系如图所示．记橡树为A，松树为B．
第19题
∴A（a,0）,B（-a,0）（a∈R）．设未知的木架在点C处，其对应复数为y.由题意知，第一个桩C１点对应的复数为y１=（y-a）（-i）+a=-yi+Ａi-a,第二个桩C２点对应的复数y２=［y-（-a）］i-a=yi+Ａi-a，宝藏在两桩连线的中点D，D对应的复数为t=（1／2）（y１+y２）=Ａi.则宝藏位于两树所在线段为斜边的等腰直角三角形的直角顶点处．20．∵|ｚ１+ｚ２|２＝（ｚ１+ｚ２）（１+２）=|ｚ１|２＋|ｚ２|２+（ｚ１２+１+ｚ２）,∴c２=a２+b２+（ｚ１２+１ｚ２）,即ｚ１２+１ｚ２=c２-a２-b２.∵ｚ１≠0,ｚ２≠0,∴ｚ１２+１ｚ２=（ｚ１·ｚ２２）／ｚ２+（ｚ１１·ｚ２）／ｚ１=|ｚ２|２·（（ｚ１／ｚ２））+|ｚ１|２·（ｚ２／ｚ１）=b２（（ｚ１／ｚ２））+a２（ｚ２／ｚ１）,∴b２（ｚ１／ｚ２）+a２（ｚ２／ｚ１）=c２-a２-b２,即a２（ｚ２／ｚ１）２＋（a２+b２-c２）（ｚ２／ｚ１）+b２＝0．这是关于（ｚ２／ｚ１）的实系数一元二次方程，解此方程即可求出复数（ｚ２／ｚ１）．具体过程留给读者完成．
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