|
|
| 高考数学专题复习讲练测——参考答案及提示 专题八 直线与二次曲线（4，5，6） |
|
|
|
|
专题八直线与二次曲线（4，5，6）参考答案及提示 §4圆锥曲线．Ｃ；2．Ａ；3．Ｃ；4．Ｂ；5．ｍ≥1且m≠5；．（／2）；7．②③．．（1）设Ｍ、Ｎ、Ｐ在抛物线的准线上的射影分别为Ｍ′、Ｎ′、Ｐ′，则由抛物线定义得｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜＝｜ＭＭ′｜＋｜NN′｜＝ｘＭ＋ｘＮ＋2ａ．又圆的方程为［ｘ－（ａ＋4）］２＋ｙ２＝16，将ｙ２＝4ａｘ代入，得ｘ２－2（4－ａ）ｘ＋ａ２＋8ａ＝0．∴ｘＭ＋ｘＮ＝2（4－ａ），∴｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜＝8．（2）假设存在这样的ａ，使得2｜ＡＰ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜，∵｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜＝｜ＭＭ′｜＋｜ＮＮ′｜＝2｜ＰＰ′｜，∴｜ＡＰ｜＝｜ＰＰ′｜．由定义知点P在抛物线上，这与点P是弦ＭＮ的中点矛盾，所以这样的ａ不存在．9．（1）由差分法可得ｋＯＭ＝3．（2）将ｙ＝ｋｘ＋ｂ代入ｘ２＋（ｙ２／3）＝1，得（ｋ２＋3）ｘ２＋2ｋｂｘ＋ｂ２－3＝0，则ｘＭ＝（ｘＡ＋ｘＢ）／2＝－（ｋｂ）／（ｋ２＋3），从而ｙＭ＝ｋｘＭ＋ｂ＝3ｂ／（ｋ２＋3）．∵｜ＯＭ｜＝1，∴（－ｋｂ／（ｋ２＋3））２＋（3ｂ）／（ｋ２＋3）２＝1，即ｂ２＝（ｋ２＋3）２／（ｋ２＋9）．据弦长公式，得｜ＡＢ｜２＝［12（ｋ２＋1）（ｋ２－ｂ２＋3）］／（ｋ２＋3）２＝72／［（ｋ２＋1）＋（16／ｋ２＋1）＋10］≤72／（2＋10）＝4．当且仅当ｋ２＋1＝16／（ｋ２＋1），即ｋ＝±时，｜ＡＢ｜ｍａｘ＝2，这时所求直线ｌ的方程是ｙ＝ｘ±和ｙ＝－ｘ±．10．（1）所求椭圆方程为（ｘ－3）２／［（18＋9）＋（ｙ２／9）］＝1．（2）当中心Q（ｃ，0）在圆Ｏ′内时，｜ＭＱ｜＜ｒ，可得0＜ｃ＜3．∵ｅ２＝（ｃ２／ａ２）＝（ｃ／ｃ＋3），∴ｃ＝3ｅ２／（1－ｅ２）．由0＜3ｅ２／（1－ｅ２）＜3及0＜ｅ＜1，解得0＜ｅ＜．§5参数讨论1．Ｄ；2．Ｄ（数形结合）；3．Ｃ；4．Ａ（分类讨论）；5．－2＜ｋ＜2或ｋ＞5；6．（－1，（3／4）］．7．－（3／2）＜ｍ＜－1．提示：设交点是的内分点，且内分所成的比为λ（λ＞0），易得分点坐标为（2λ／（1＋λ），（1＋3λ）／（1＋λ）），代入抛物线方程，整理，得（2ｍ＋3）λ２＋2ｍλ＋1＝0．据题意，此方程应有两个不等的正实根，
∴
Δ＝4ｍ２－8ｍ－12＞0，
－（2ｍ）／（2ｍ＋3）＞0，
1／（2ｍ＋3）＞0
－（3／2）＜ｍ＜－1．8．∵e２＝（2／3）·（4／3），∴ｅ＝（2／3）．设Ｐ（ｘ，ｙ）是曲线C上任一点，则有（）／［｜ｙ＋（9／4）｜］＝（2／3）．整理，得ｘ２＋（ｙ２／9）＝1，即为曲线C的方程．∵直线ｌ与直线ｘ＝－（1／2）相交，则其斜率存在，故可设其方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ．设直线ｌ与曲线C相交于Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２）．
由
ｙ＝ｋｘ＋ｍ，
知
9ｘ２＋ｙ２＝9，
（ｋ２＋9）ｘ２＋2ｋｍｘ＋（ｍ２－9）＝0．∵Ｍ、Ｎ不同，∴Δ＝4ｋ２ｍ２－4（ｋ２＋9）（ｍ２－9）＞0，即ｍ２－ｋ２－9＜0．①∵ｘ１＋ｘ２＝（－2ｋｍ）／（ｋ２＋9），且线段ＭＮ被ｘ＝－（1／2）平分，∴（ｘ１＋ｘ２）／2＝－（1／2），∴－2ｋｍ／（ｋ２＋9）＝－（1／2），∴ｍ＝（ｋ２＋9）／2ｋ．代入①即可求得ｋ＞或ｋ＜－．故存在直线ｌ满足条件，其倾斜角的取值范围为（（π／3），（π／2））∪（（π／2），（2π／3））．9．（1）设Ｐ１（（ｙ１＋1）２－1，ｙ１），Ｐ２（（ｙ２＋1）２－1，ｙ２），∵Ｐ１、Ｐ２关于直线ｌ对称，
∴
（ｙ２－ｙ１）／［（ｙ２＋1）２－（ｙ１＋1）２］·ｋ＝－1，
①
（ｙ１＋ｙ２）／2＝ｋ｛［（ｙ１＋1）２－1＋（ｙ２＋1）２－1］／2｝，
②
ｙ１＋ｙ２＝－2－ｋ，
③
ｋ（ｙ１２＋ｙ２２）＋（2ｋ－1）（ｙ１＋ｙ２）＝0．
④
③代入④，得ｋ（ｙ１２＋ｙ２２）＋（2ｋ－1）（－2－ｋ）＝0．∴ｙ１２＋ｙ２２＝（（2ｋ－1）（ｋ＋2）／ｋ）＞0．解得－2＜ｋ＜0或ｋ＞（1／2）．（2）当ｌ与C的交点P在直线ｘ＝3上时，（ｙ＋1）２＝3＋1．解得ｙ＝1或ｙ＝－3．当ｙ＝1时，ｋ＝（1／3），由（1）知不合题意．当ｙ＝－3时，ｋ＝－1，符合题意，此时P点的坐标为（3，－3）．∴ｌＰ１Ｐ２的方程为ｙ＝ｘ＋ｂ．
由
ｙ＝ｘ＋ｂ，
知
（ｙ＋1）２＝ｘ＋1，
ｘ２＋（2ｂ＋1）ｘ＋ｂ２＋2ｂ＝0．∴ｘ１＋ｘ２＝－（2ｂ＋1），ｘ１·ｘ２＝ｂ２＋2ｂ，∴Ｐ１Ｐ２的中点M的坐标为（－（2ｂ＋1）／2，－（1／2）），又Ｍ也在ｌ上，∴－（1／2）＝（2ｂ＋1）／2，∴ｂ＝－1．∴ｌＰ１Ｐ２的方程为ｙ＝ｘ－1．∴Ｐ到直线ｌ的距离ｄ＝（｜3＋3－1｜／）＝（5／2），｜Ｐ１Ｐ２｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝·＝．∴Ｓ△ＰＰ１Ｐ２＝（1／2）·（5／2）＝（5／2）．10.由双曲线方程知A点的坐标为（0，1），则抛物线的方程为ｘ２－4（ｍ－1）（ｙ－ｍ），由
ｙ＝－ｘ，
得Ｐ（－ａ，ａ）．
（1－ａ２）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２，
又Ｐ在抛物线上，∴ａ２＝－4（ｍ－1）（ａ－ｍ）．①而MP的斜率ｋ＝（ｍ－ａ／ａ），∴ｍ＝ａｋ＋ａ.代入①，得ａ２＝－4（ａｋ＋ａ－1）（－ａｋ），即4ａｋ２＋4（ａ－1）ｋ－ａ＝0．②据题意，方程②在区间［（1／4），（1／3）］上有实根，令ｆ（ｋ）＝4ａｋ２＋4（ａ－1）ｋ－ａ，其对称轴方程为ｋ＝（1－ａ／2ａ）＜0．
∴
ｆ（1／4）≤0，
即
ｆ（1／3）≥0，
（ａ／4）＋ａ－1－ａ≤0，
（12／7）≤ａ≤4．
（9／4）ａ＋［4（ａ－1）］／3－ａ≥0
∴实数a的取值范围是［（12／7），4］．§6解析几何的综合问题1．Ａ；2．Ａ；3．Ｂ；4．Ｄ；．2；6．－（3／5）＜ｘ＜（3／5）；；7．12．8.设AB中点为M（x０,y０），则x０２+y０２=1设l的方程为
x=x０+tcosα，
（t为参数），
y=y０+tsinα
代入3x２+y２=3中，整理，得（3cos２α+sin２α）t２+（6x０cosα+2y０sinα）t+2x０２-2=0．∵M是AB中点，∴t１+t２=0．即6x０cosα+2y０sin由①②得x０２=（1-cos２α）／（1+8cos２α）．
∴｜AB｜=｜t１-t２｜
≤2，
当且仅当16cos２α=（1／cos２α），即cosα=±（1／2）时，｜AB｜取得最大值，直线l的方程是y±（／2）=±（x±（1／2））．9．（1）将点P（2，4）的坐标代入抛物线方程，解得ｍ＝6，∴抛物线方程为ｙ＝－（ｘ２／2）＋6．①
第9题
ＰＡ的斜率ｋ存在，且ｋ≠0，∴设PA的方程为ｙ－4＝ｋ（ｘ－2），②则PB的方程为ｙ－4＝－ｋ（ｘ－2）．③将②③分别代入①，得ｘ２＋2ｋｘ－4ｋ－4＝0，及ｘ２－2ｋｘ＋4ｋ－4＝0．设A（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋2＝－2ｋ，ｘ２＋2＝2ｋ，∴ｋＡＢ＝（ｙ１－ｙ２／ｘ１－ｘ２）＝（［ｋ（ｘ１－2）＋4］－［－ｋ（ｘ２－2）＋4］／ｘ１－ｘ２）＝（ｋ（ｘ１＋ｘ２）－4ｋ／ｘ１－ｘ２）＝（－8ｋ／－4ｋ）＝2为定值．（2）设AB的方程为ｙ＝2ｘ＋ｂ（ｂ＞0）．
由
ｙ＝2ｘ＋ｂ，
ｙ＝－（ｘ２／2）＋6，
得ｘ２＋4ｘ＋2ｂ－12＝0．由Δ＞0及ｂ＞0，得ｂ∈（0，8）．｜ＡＢ｜＝，点P到AB距离为ｄ＝（ｂ／）．∴Ｓ△ＰＡＢ＝（1／2）｜ＡＢ｜·ｄ＝（1／2）·（ｂ／）·＝（1／2）＝（64／9）．∴当且仅当（ｂ／2）＝8－ｂ，即ｂ＝（16／3）时，Ｓ△ＰＡＢ最大，最大值为（64／9）．10．（1）Ａ、F点的坐标分别为（1，3）、（1，1）．当ＴＱ与ｙ轴不平行时，TQ的方程为ｙ＝（ｘ－ｔ）／（1－ｔ）；当ＴＱ∥ｙ轴时，TQ的方程为ｘ＝1．（2）先求出点Q的坐标，联立直线OA和直线TQ的方程
ｙ＝3ｘ，
①
ｙ＝（ｘ－ｔ）／（1－ｔ），
或
ｙ＝3ｘ，
②
ｘ＝1，
由①得Ｑ点的纵坐标ｙＱ＝（3ｔ）／（3ｔ－2）（ｔ≠1）．由②得，ｙＱ＝3．又∵Ｔ在正半轴上，则ｔ＞0，且有ｙＱ＞1，则（3ｔ）／（3ｔ－2）＞1，得ｔ＞（2／3），且ｔ≠1．∴Ｓ△ＯＴＱ＝（1／2）·｜ＯＴ｜·ｙＱ＝（1／2）·ｔ·（3ｔ）／（3ｔ－2）＝（3ｔ２）／[2（3ｔ－2）]．∴ｆ（ｔ）＝（3ｔ２）／2（3ｔ－2））（ｔ＞（2／3），且ｔ≠1）．当ｙＱ＝3时，Ｓ△ＯＴＱ＝（1／2）·1·3＝（3／2）．而在ｆ（ｔ）＝（3ｔ２）／［2（3ｔ－2）］（ｔ＞（2／3），且ｔ≠1）中，当ｔ＝1时，有ｆ（1）＝（3／2）．∴Ｓ△ＯＴＱ＝ｆ（t）＝（3ｔ２）／［2（3ｔ－2）］（ｔ＞（3／2））．又ｆ（ｔ）＝（3ｔ２）／［2（3ｔ－2）］＝（（3ｔ）２／6（3ｔ－2））＝（［（3ｔ－2）＋2］２／6（3ｔ－2））＝（1／6）（3ｔ－2＋4／（3ｔ－2）＋4）．∵ｔ＞（2／3），∴3ｔ－2＞0．∴ｆ（ｔ）≥（1／6）（2＋4）＝（4／3）．当且仅当3ｔ－2＝（4／3ｔ－2），即ｔ＝（4／3）时“＝”成立．∴Ｓ＝ｆ（ｔ）的最小值为（4／3）．（3）ｆ（ｔ）＝（3ｔ２）／［2（3ｔ－2）］在区间（（4／3），＋∞）上为增函数，以下证明之．取ｔ２＞ｔ１＞（4／3），∵ｆ（ｔ１）－ｆ（ｔ２）＝（1／6）（3ｔ１－2＋4／（3ｔ１－2）＋4）－（1／6）（3ｔ２－2＋4／（3ｔ２－2）＋4）＝（1／2）（ｔ１－ｔ２）·（（3ｔ１－2）（3ｔ２－2）－4／（3ｔ１－2）（3ｔ２－2）），且ｔ２＞ｔ１＞（4／3），∴ｔ１－ｔ２＜0，3ｔ１－2＞2，3ｔ２－2＞2．∴（3ｔ１－2）（3ｔ２－2）＞4，∴ｆ（ｔ１）＜ｆ（ｔ２）．∴Ｓ＝ｆ（ｔ）在（（4／3），＋∞）上是增函数．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
