解三角形辅导讲义
解三角形的必备知识和典型例题
一、知识必备：
1．三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、cA＋B＋C＝π。
（R为外接圆半径）或变形：或 .
＝aha＝bhb＝chcha、hb、hca、b、c＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点
因为在△ABCA+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5.其他常见结论
(三角形内切圆的半径：，
特别地，在直角三角形中，
(三角形中的射影定理：
在△ABC中，，…
(两内角与其正弦值：
在△ABC中，，…
利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例如：
二、经典例题
题型1：利用正弦定理解三角形
【例1】在中，若，,，则.
【例2】在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.
题型2：利用余弦定理解三角形
【例3】设的内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求的周长，（Ⅱ）求的值.
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
【例4】设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、cbc.
(Ⅰ)求sinA？
2.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.
求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.
题型3：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；（II）若cosB=，
【例6】在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b
【注】对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)化角化边都可以。
例7在分别为内角A、B、C的对边，且
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。
题型4：三角恒等变形
【例8】设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：的值；
例9.△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.
思考：1若求B。
2若，求C
3若，求C
题型5：判断三角形形状
【例10】在△ABC中，，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.
【例11】在△ABC中，若＝（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
题型6：与其他知识综合
【例14】已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.
【注】坐标运算：设，则：
向量的加减法运算：，。
实数与向量的积：。
平面向量数量积：=
向量平行：
向量垂直：
思考：1.若求，，？
2.若已知，求三角形周长和面积的取值范围。
【例15】在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．
注：若条件改为
解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。
三、跟踪训练
1.若△的三个内角满足
，则△（）
（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=()
（A）（B）（C）（D）
3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=
A－BC－D
4.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
5.在锐角中，则的值等于，的取值范围为.
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b
的值。
8.在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。
9. 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
10.在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
11.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
跟踪训练答案
1、解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
2、【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由正弦定理得
，
所以cosA==，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
3、【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.
4、解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=．，即．知，，则，
，
5、解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=．，即．知，，则，
，
6、分析：(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.＝60°，故tan.由两角和的正切公式，得。
所以
。
点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。
8、解（I）∵为锐角，
∴
∵∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵
∴∴∴
9、解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°,ADB=60°
在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°，
由正弦定理得,
∴AB=
10、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
又，得
因为，
故 所以是等腰的钝角三角形。
11、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
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