专题二三角函数、解三角形、平面向量

专题二三角函数、解三角形、平面向量第1讲三角函数的图象与性质【高考真题感悟】(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝4cosxsin－1＝4cos
x－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所
以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.考题分析本题
主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式，并求三角函数在给定区间上的值域．考查了考生分析问题与解决问题的能力和运
算求解能力．易错提醒(1)对三角恒等变换公式掌握不牢，化简方向不明确．(2)求f(x)在给定区间上的值域，易忽视对函数单调性的讨
论．【热点分类突破】题型一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1已知点P(－3,4)是角α终边上的一点．求：的值．解：
∵P(－3,4)是角α终边上的一点，∴tanα＝－.∴原式＝＝tanα＝－.探究提高在应用诱导公式时，需要先将角变形，有一定
技巧，如化π＋α为π＋(＋α)或2π－.变式训练1已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为__
______．解析：tanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，∴θ＝.题型二三角函数图
象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象(如图所示)
，求其解析式．思维启迪先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将(0，)代入求A的值．解：设函数的周期为T，
则T＝－＝π，∴T＝π，∴ω＝＝2.又∵2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，又∵|φ|<，∴φ＝.∴函数解
析式为y＝Asin(2x＋)．又图象过点(0，)，∴Asin＝，∴A＝，∴A＝2.∴所求函数的解析式为y＝2sin(2x＋)．探究
提高(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求
A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个
周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期．变式训练2(1)(2010·天津改编)右图是函数y＝Asin(ωx
＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移______
__个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的________倍，纵坐标不变．解析：由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，∴ω＝＝
2.∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋＋2kπ)
＝sin(2x＋)．故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象
．(2)(2011·江苏)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的
值是________．解析：由题图知A＝，＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2.∴2×＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋.令k＝0，得φ＝.∴
函数解析式为f(x)＝sin，∴f(0)＝sin＝.题型三三角函数图象与性质的综合应用例3已知函数f(x)＝2acos2x＋
bsinxcosx－，且f(0)＝，f＝.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的
图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？解：(1)由f(0)＝，得2a－＝，故a＝.由f＝，得＋－＝，所以b＝1.可得f(x
)＝cos2x＋sinxcosx－＝cos2x＋sin2x＝sin.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由＋2kπ
≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．(3)因为f(x)＝sin2，
所以由奇函数y＝sin2x的图象向左平移个单位即得到y＝f(x)的图象，故函数f(x)的图象向右平移＋π(k∈Z)个单位或向左
平移＋π(k∈Z)个单位后，对应的函数即成为奇函数，图象关于原点对称．探究提高(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角
函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asi
nωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝sin(ωx＋φ)(cosφ＝，sinφ＝)的形式来求．变式训练
3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴
间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不
变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin
.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin＝sin，即－sinωxcos＋cosωxsin＝
sinωxcos＋cosωxsin，整理得sinωxcos＝0.因为ω>0，且x∈R，所以cos＝0.又因为0<φ<π，故φ
－＝.所以f(x)＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f＝2cos＝.(2)
将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图象．所以g(x)
＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(
x)的单调递减区间为(k∈Z)．【规律方法总结】1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(
ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)
＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式(1)A＝，B＝.(2)由函数的周期T求ω，ω＝.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin
(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次
函数的性质求解．【名师押题我来做】1．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x有下列命题：①y＝f(x)的周期为π；②x＝是y
＝f(x)的一条对称轴；③是y＝f(x)的一个对称中心；④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin2x的图象，其中正
确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．押题依据本小题以多项选择的形式考查了三角函数的性质、三角函数式的化简
．重点突出，形式新颖，难度适中，是高考的热点，故押此题．押题级别★★★★★解析：由f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，
得T＝＝π，故①对；f＝sin≠±，故②错；f＝sin0＝0，故③对；y＝f(x)的图象向左平移个单位，得y＝sin＝sin，
故④错．故填①③.2．求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值．押题依据将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形
式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容．本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题．押题级别
★★★★解：∵＋＝，∴cos＝cos＝cos＝sin.∴y＝2sin，周期T＝＝.当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，
函数递增，∴函数的递增区间为(k∈Z)．当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，函数递减，∴函数的递减区间为(k∈Z)．当
x＝＋(k∈Z)时，ymax＝2；当x＝－＋(k∈Z)时，ymin＝－2.第2讲三角变换与解三角形【高考真题感悟】(2011
·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的
长．解：(1)由正弦定理，可设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)co
sB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA．因此＝2.(2)由＝2，得c
＝2a.由余弦定理及cosB＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c
＝5，所以a＝1，因此b＝2.考题分析本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识．考查了考生的运算能力，以及运用知识综
合分析、解决问题的能力．题目典型常规、难度适中．易错提醒(1)注意化归思想的应用，即将题中的条件都转化为角的关系或都转化为边的关
系．(2)不能正确进行三角恒等变换．(3)易忽略隐含条件：三角形内角和为π.【热点分类突破】题型一三角变换及求值例1(1)已知
0<β<<α<π，且cos(α－)＝－，sin(－β)＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)
＝，tanβ＝－，求2α－β的值．思维启迪(1)(α－)－(－β)＝；(2)α＝(α－β)＋β，2α－β＝α＋(α－β)．解
：(1)∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π，∴cos(－β)＝＝，sin(α－)＝＝，∴cos＝cos[(α－)－(
－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1
＝－.(2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.∵tanα＝>0，
∴0<α<，∴0<2α<π.又tan2α＝＝>0，∴0<2α<.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0.∴2α－
β＝－.探究提高(1)注意角的变换，(α－)－(－β)＝；(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求出tanα的值，再
求tan2α的值，这样能缩小角2α的取值范围；(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简
化．变式训练1(1)＝________；解析＝＝＝tan15°＝＝2－.(2)已知tan(α＋β)＝，tan＝.求tan的
值．解：∵＋α＝(α＋β)－，∴tan＝tan＝＝＝.题型二正、余弦定理例2(2011·大纲全国)△ABC的内角A、B、C的对
边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：
(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝.又B为三角形的内角，因此
B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a＝＝＝1
＋，c＝＝2×＝.探究提高正、余弦定理与三角函数恒等变换综合考查是高考的一个方向．本题突破的关键是先根据三角变换化简，再利用正
、余弦定理求解．变式训练2在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4
，求△ABC的面积．解：(1)方法一由正弦定理，可得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，将上式代入已知的
＝－，得＝－，即2sinAcosB＋sinCcosB＋cosCsinB＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)
＝0.因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，故2sinAcosB＋sinA＝0.因为sinA≠0，故cos
B＝－，又因为B为三角形的内角，所以B＝π.方法二由余弦定理，得cosB＝，cosC＝.将上式代入＝－，得×＝－，整理得a
2＋c2－b2＝－ac，所以cosB＝＝＝－，因为B为三角形内角，所以B＝π.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入余弦定理b2＝
a2＋c2－2accosB的变形式：b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB.所以13＝16－2ac，即得ac＝3，所以S△
ABC＝acsinB＝.题型三正、余弦定理的实际应用例3如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为
1km的两个观察点C，D，在某天10∶00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，3min后该船行驶至B处，此时测得∠A
CB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为______km/min.解：方法一(常规思路)在△ACD中，有＝，A
D＝.在△BCD中，有＝，BD＝1.在△ABD中，有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos60°＝2＋12－2××1×＝，所
以AB＝，故船速为km/min.方法二(特殊思路)由题意，得∠BDC＝30°＋60°＝90°，又因为∠BCD＝45°，所以BC
＝CD＝.因为∠ACB＝∠ADB＝60°，所以A，B，C，D四点共圆，且以BC为直径，所以AB＝BC·sin60°＝，故船速为
km/min.探究提高应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有
关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或
几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式
训练3在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B处，到11时1
0分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C处，则轮船航行速度是______千米/小时．解析：如图所示，设海岛的底部为点D.在
Rt△ABD中，BD＝＝；在Rt△ACD中，CD＝＝.故在Rt△BCD中，BC＝＝.所以轮船的速度为＝2.【规律方法总结】1．证
明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．(3)运用分析法，
证明其等式成立．2．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“
化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－
β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，
则无解．(2)当A为锐角时，如下表：a论(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)A>B>C?a>b>c?sinA>sinB>sinC.(3)a＝bcosC
＋ccosB.5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(ac2，则△ABC为锐角三角形．(2)若a2
＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．(3)若a2＋b2第一象限角，则的值是________．押题依据同角三角函数的基本关系式，诱导公式及倍角公式都是高考的热点，本题题点设置恰当，难度
适中，体现了对基础和能力的双重考查，故押此题．押题级别★★★★★解析：∵－α是第一象限角，∴sin＝，于是＝＝2sin＝.2．在
△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知sinA＝.(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(2)若a＝
，求△ABC面积的最大值．押题依据本题将三角函数、余弦定理及基本不等式巧妙地结合在一起，突出了对重点知识的重点考查．体现了高考题
在知识的交汇处出题的理念，故押此题．押题级别★★★★★解：(1)∵sinA＝，∴2sin2A＝3cosA，即2cos2A＋3
cosA－2＝0，解得cosA＝或－2(舍去)，又0－c2＝b2－mbc，可得cosA＝，∴m＝1.(2)由余弦定理及a＝，A＝，可得3＝b2＋c2－bc，再由基本不等式b2＋c2
≥2bc，∴bc≤3，∴S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc≤，故△ABC面积的最大值为.第3讲平面向量【高考真题感悟
】(2010·天津)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.解析：方法一设BD＝a，则BC＝a，
作CE⊥BA交BA的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝＝.在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB
＝a·＝，∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝.∴·＝||·||cos∠DAC＝AD·AC·＝.方法二∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝
(1－)＋∴·＝[(1－)＋]·＝(1－)·＋2＝.考题分析本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积．若从深层考虑，又考查
了平面几何的基本方法，体现了知识与能力的考查．是平面向量考查的一个重要方向．易错提醒(1)从方法一的角度看，易忽视作辅助线，将问
题分解．(2)从方法二的角度看，不能把用、线性表示．(3)忽视·＝0，2＝1这些隐含条件的应用．【热点分类突破】题型一向量的有关
运算问题例1已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________
.解析：方法一||＝1，||＝，·＝0，不妨假设点C在AB上，且∠AOC＝30°.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为
y轴，建立直角坐标系，则A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0，)，C点坐标为，＝m＋n(m，n∈R)，所以存在m＝，n＝使假设成
立，此时＝3.方法二由条件||＝1，||＝，·＝0，可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴的直角坐标系，则＝(
1,0)，＝(0，)．由＝m＋n，得＝(m，n)．又因为∠AOC＝30°，点C在∠AOB内，可得＝tan30°＝，＝，即＝3.探
究提高(1)由·＝0知OA⊥OB，所以建立坐标系是解决此类题目的关键．(2)熟练掌握向量的线性运算等．(3)向量坐标化，使实数运
算得以体现．变式训练1如图，已知||＝2，||＝1，||＝4，与的夹角为120°，与的夹角为30°，用，表示，则＝______
__________.解析：以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么＝(2,0)，＝(2，2)，＝，设＝n＋m，即(2，
2)＝，所以2＝2n－m，①2＝m.②将①②联立解得m＝n＝，所以＝＋.题型二有关向量的平行、垂直问题例2已知a＝(1,0)，
b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a＝(
1,0)，b＝(2,1)，故a＋3b＝(7,3)，所以|a＋3b|＝＝.(2)据题意，有ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7
,3)．因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－.此时ka－b＝，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(
ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．探究提高(1)把向量坐标化，利用向量的坐标进行运算，使实数运算得以体现．(2)
注意区别向量共线与向量垂直的坐标运算的不同，混淆两者的运算是丢分的一个重要因素．变式训练2已知点O(0,0)，A(2，1)，B(
－2,7)，＝＋，又⊥，且||＝2，则Q点的坐标为_______________解析：设Q(x，y)，P(x1，y1)．由＝＋，得
(x1，y1)＝(2,1)＋(4，－6)＝(4，－2)．∵⊥，且||＝2，∴解得或∴Q点的坐标为或.题型三向量与三角函数的综合应
用例3已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.(1)求
函数f(x)的单调递增区间；(2)若a∥b，求tanx的值；(3)若a⊥b，求x的最小正值．思维启迪(1)根据已知求f(x)的
解析式，再由三角函数的单调性求f(x)的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求tanx的值；(3)a⊥b?a·b＝0，得到关
于x的三角等式，进而求出x的最小值．解：(1)f(x)＝2a·b－1＝2(sinxcosx＋cos2x)－1＝sin2x＋c
os2x＝2sin(2x＋)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[k
π－，kπ＋]，k∈Z.(2)由a∥b，得sinxcosx－cos2x＝0，∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx－＝0，∴
tanx＝.(3)若a⊥b，则a·b＝0.∴sinxcosx＋cos2x＝0.∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx＋1＝
0，即tanx＝－.∴x＝kπ＋，k∈Z.∴当k＝0时，x有最小正值.探究提高向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有
关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．变式训练3已知θ为向量a与b的夹角，
|a|＝2，|b|＝1，关于x的一元二次方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根．(1)求θ的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数
f(θ)＝2sinθcosθ－2cos2θ＋的最值．解：(1)由已知条件，可得|a|2＝4，a·b＝|a|·|b|cosθ＝
2cosθ，θ∈[0，π]，∵关于x的一元二次方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b＝4(1－2cos
θ)≥0，得cosθ≤，解得θ∈.(2)f(θ)＝2sinθcosθ－2cos2θ＋＝sin2θ－(2cos2θ－1)＝s
in2θ－cos2θ＝2sin，∵θ∈，∴2θ－∈，得sin∈[－1,1]，∴当θ＝时，f(x)max＝2；当θ＝时，f(x)
min＝－2.【规律方法总结】1．利用数量积研究向量的平行和垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则位置关系向量式坐标式a
∥b|a·b|＝|a|·|b|x1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝02.利用数量积研究夹角问题设〈a，b〉＝
θ，则cosθ＝，数量积的符号夹角θ的大小或范围a·b>0θ为锐角或零角a·b＝0θ＝90°a·b<0θ为钝角或平角3.利用数量
积求向量的长度(或模)条件计算公式a＝(x，y)|a|＝＝A(x1，y1)，B(x2，y2)||＝【名师押题我来做】1．已知平面向
量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为________．押题依据本题主要考查向量的数量积、向量垂直的充要条件等基础知识及运算能力，属于中等偏易题．高考基本上每年都会涉及此类试题，且题型变化不大，大多以基本概念的考查形式命制，所以在备考中掌握基础知识，能熟练运算即可．押题级别★★★★★解析：因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.2．已知向量a＝(2cosα，2)，b＝(2,2sinα)．(1)若a⊥b，求α的取值集合；(2)求|a＋b|的最大值及相应的α的取值集合．押题依据向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角函数综合的题目是高考的一类热点题型．本题主要考查了向量垂直的充要条件，向量模的最值及灵活应用三角公式解决问题的能力，故押此题．押题级别★★★★★解：(1)由a⊥b，得a·b＝(2cosα，2)·(2,2sinα)＝4cosα＋4sinα＝0，∴tanα＝－1.∴α＝－＋kπ，k∈Z.故α的取值集合为{α|α＝－＋kπ，k∈Z}．(2)由a＝(2cosα，2)，b＝(2,2sinα)，得a＋b＝(2cosα＋2,2sinα＋2)，∴|a＋b|＝＝.当sin(α＋)＝1，即α＝＋2kπ(k∈Z)时，|a＋b|取得最大值为2＋2.故|a＋b|的最大值为2＋2，相应的α的取值集合为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}．【专题二三角函数、解三角形、平面向量】第13页