专题一三角函数、解三角形与平面向量
一知识要点整合
·三角函数的图像与性质·
·三角恒等变换·
·解三角形·
·平面向量·
二典型例题
（3）
例5
例6．
例7．．
例8．
例9.
例10.
三精编试题
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18（本题满分12分）.
19.（本题满分12分）
20.（本题满分12分）
21.（本题满分12分）
22.（本题满分12分）
23.（本题满分12分）
已知,,?
(1)求的单调递减区间?
(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值?
已知的内角A．B．C所对边分别为a、b、c，设向量，
，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值.
甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40的B岛出发,朝北偏东的方向作匀速直线航行,速度为10/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少?
【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)Q(x2,y2).
(I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
.
即两船出发后3小时时,相距锂
(II)由(I)的解法过程易知:
∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20
即两船出发4小时时,相距20海里为两船最近距离.
在锐角中，已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．
(1)若a2－ab＝c2－b2，求A．B．C的大小；
(2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．
【解析】
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．【解析】解法一：设该扇形的半径为r米.由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
在中，
即
解得（米）
解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），
∴?AC=700（米）
在直角
∴（米）
已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.
(1)求的值;
(2)定义行列式运算,求行列式的值;
(3)若函数(),
求函数的最大值,并指出取到最大值时的值
【解析】:(1)∵角终边经过点,
∴.
(2),.
.
(3)(),
∴函数
(),
∴,此时.已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
又，，
即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值?
【解析】:作交BE于N,交CF于M.
,
,
在中,由余弦定理,
在中,已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且?
(I)求锐角B的大小;
(II)如果,求的面积的最大值?
【解析】:(1)(2sinB(2cos2-1)=-cos2B
(2sinBcosB=-cos2B(tan2B=-
∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=
(2)由tan2B=-(B=或
①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤
∴△ABC的面积最大值为
②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)
∴ac≤4(2-)
∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤2-
∴△ABC的面积最大值为2-
设锐角的内角的对边分别为,.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)
.
在中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC．
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵0
∴cosB=.
∵0
(II)=4ksinA+cos2A．
=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)
设sinA=t,则t∈.
则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.
∵k>1,∴t=1时,取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.
3在中,角所对的边分别为,.
I.试判断△的形状;
II.若△的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.
,所以此三角形为直角三角形.
II.,当且仅当时取等号,
此时面积的最大值为.
中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的最大值．
解析：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，
所以，
（2）因为，
所以，当，即时，取得最大值．
36.（本题满分12分）
已知的面积为，且满足0≤≤，设和的夹角为．（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大值与最小值．
解析：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即当时，；当时，．
37.（本题满分12分）
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解析：如图，连结，，，是等边三角形，，在中，由余弦定理得，
因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.
Ｄ
D
20070316
甲
乙
北
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