之1.集合与常用逻辑用语（含精析）
一、选择题。
1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义AB=.若A={1,2},B=，且AB=1，设实数的所有可能取值集合是S，则C(S)=()
A.4B.3C.2D.1
2．下列命题：ABC的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为；数列的前n项和为，则是数列为等差数列的必要不充分条件；在ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充分必要条件；已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为P，Q，则是的充分必要条件，其中正确的命题是()
A．B．C．D．
3．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数．有下列命题：
在内单调递增;
和之间存在“隔离直线”,且b的最小值为-4;
和之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是;
和之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个[来源:学.科.网]
4．定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意，都有；②存在集合，使得；
③表示空集，若则；④若则；⑤若
其中正确的命题个数()
A.B.C.D.
5．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
M={}；M={}；
M={}；M={}．
其中是“垂直对点集”的序号是()
A.B.②④C.①④D.②③
二、填空题。
6．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的平均值函数，是它的一个均值点例如是上的平均值函数，0就是它的均值点给出以下命题
①函数是上的平均值函数
②若是上的平均值函数，则它的均值点．
③若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是
④若是区间上的平均值函数，是它的一个均值点，则
其中命题．（写出所有真命题的序号）
7．若三个非零且互不相等的实数、、满足，则称、、是调和的；若满足，则称、、是等差的.若集合中元素、、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好
集”.若集合，集合.则[来源:Z#xx#k.Com]
（1）“好集”中的元素最大值为；
（2）“好集”的个数为.
,数列至少有两项)且
,定义集合.若对任意点,
存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.
(1)给出下列四个命题,其中正确的是.(填上所有正确命题的序号)
①数列-2,2具有性质;
②数列:-2,-1,1,3具有性质;
③若数列具有性质,则中一定存在两项,使得;
④若数列具有性质,且,则.
(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和.
9．若自然数n使得作加法n＋(n＋1)＋(n＋2)运算均不产生进位现象，则称n为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则集合A中的数字和为________．
是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.若,是的两个不相交的非空子集，且有有，有四个命题：①中至少有一个关于乘法是封闭的；②中至多有一个关于乘法是封闭的;③中有且只有一个关于乘法是封闭的；④中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是.
11．用表示集合S中的元素的个数，设为集合，称为有序三元组．如果集合满足，且，则称有序三元组为最小相交．由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．
12．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．
1．
【解析】，所以或.由得：.当时，，满足题设.对，当时，，此时符合题意.
当时，或，此时必有，不符合题意.所以.选B.
2．D
【解析】对于①：显然必要性成立，反之若，则，整理得，当且仅当时成立故充分性成立，故①是真命题；对于②：由得；当时，，显然时适合该式，因此数列是等差数列，故满足充分性，故②是假命题；对于③：在三角形中，又由正弦定理得，则，所以，故③是真命题；对于④：实际上不等式与的解集都是，但是，故不满足必要性，故④是假命题．
故选D．
3．C
【解析】(1)=，，则解得，所以在内单调递增;
(2)和之间存在“隔离直线”,“隔离直线”，当“隔离直线”同时相切时，截距最小，令切点坐标为，则切线方程为所以，故，所以，此时截距最小，故②正确；此时斜率为，k的取值范围是
④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=，[来源:Zxxk.Com]
从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．
因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．
由h（x）≥kx-k+e可得x2-kx+k-e≥0当xR恒成立，
则△=k2-4k+4e=≤0，只有k=时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
同理证明，由φ（x）≤kx-k+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e，故正确．
5．B
【解析】依题意：要使得成立，只需过原点任作一直线与该函数的图象相交，再过原点作与垂直的直线也与该函数的图象相交即可。对取，与函数图象没有交点，中M不是“垂直对点集”；中取，与函数图象没有交点，中M不是“垂直对点集”；作出、中两个函数图象知：
【解析】①正确.因为f（0）＝f（－2π）＝f（2π）＝0，可知①正确．
②不正确．反例：在区间[0，6]上
③正确．由定义：得
又所以实数的取值范围是[来源:学科网]
．
要证明，即证明：
令，原式等价于
令则
所以得证
7．（1）（2）
【解析】因为若集合中元素、、既是调和的，又是等差的且a+c=2b，则，故满足条件的“好集”为形如的形式，则，解得，且，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集”的个数为
9．6
【解析】给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A＝{0,1,2,3}集合A中的数字和为6.
①
【解析】因为关于乘法封闭的规定是.是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.如果代表负数集合，代表非负数集合，则成立,且有有.但是.所以不是乘法封闭.所以④不正确.如果代表奇数集合，代表偶数集合，则成立,且有有.显然都是乘法封闭的，所以②③都不正确.若都不满足乘法封闭，有.假设，若存在，则与题意矛盾.所以①正确.故填①
11．96
【解析】三个集合不可能有一元集，否则不能满足，又因为中只有4个元素，则中不可能有两个集合都有3个元素，否则不能满足，但中可以三个集合都含有2个元素，也可能是一个集合有3个元素，其它两个集合含有2个元素，情形如下：
如三个集合都含有2个元素这种情形，，，这种类型有种可能，另外第4个元素可任意加入上述4种可能中的每一个集合，又形成不同的情形，这样就又有种，于是就共有了种情形，在每一种情形中，它们的顺序可以打乱，每种可形成个，因此共有个有序三元组．
12．45
【解析】由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以[来源:Zxxk.Com]
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