之7.立体几何（含精析）
一、选择题。
1．如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．双曲线D．
2．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）
A.B.C.D.
3．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（）
A.2B.C.D.
，这两个球相外切，且球与正方体共顶点A的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是（）（创作：学科网“天骄工作室”）
5．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
6．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）
A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②
7．如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于
（创作：学科网“天骄工作室”）
A．B．C．D．
8．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
A．B．C．D．
的矩形，按图中实线切割后，将它们作为一个正四棱锥的底面（由阴影部分拼接而成）和侧面，则的取值范围是()
A．(0,2) B．(0,1)C．(1,2) D．
10．一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形.若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中（含起始位置和最终位置）,其在水平桌面上正投影不可能是()
设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当APC为钝角时，λ的取值范围是________．
12.如右图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).[来源:学§科§网]
①当时,S为四边形;
②当时,S不为等腰梯形;
③当时,S与的交点R满足;
④当时,S为六边形;
⑤当时,S的面积为.
的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为________．
平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．
抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是．
三、解答题。
16．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上的点．
（）当是的中点时，求证：平面；
（）要使二面角的大小为，试确定点的位置．
中，，，点在边上，设，过点作交于，作交于。沿将翻折成使平面平面；沿将翻折成使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）是否存在正实数，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（创作：学科网“天骄工作室”）
CD与平面α所成角的正弦值．
解：四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，
O、B、A、C四点共面，设此平面为β
BO⊥α，BO?β，β⊥α过D作DH平面ABC，垂足为H，
设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=
BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，BCO=45°，结合HCB=30°得HCO=75°
因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=
过D作DEα于E，连结CE，则DCE就是直线CD与平面α所成角
DH⊥β，αβ且DHα，DH∥α
由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=
Rt△CDE中，sinDCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于
故选：A
3．
【解析】设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点，根据面面平行的判定定理，可得平面A1BGE平面B1HI，结合已知中B1F面A1BE，可得F落在线段HI上，B1FC1即为B1F与平面CDD1C1所成角，求出该角正切的最大值与最小值，即可得到答案．
解：设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点
则ABEG四点共面，且平面A1BGE平面B1HI
又B1F∥面A1BE，F落在线段HI上，
设HI的中点为J
则当F与J重合时，B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最大值2
当F与H或I重合时，B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最小值2
故B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是故选C．
【解析】由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A，故选B.
5．C
【解析】
（创作：学科网“天骄工作室”）
因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.
6．D
【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.
7．A
【解析】由题得,圆弧在以B为圆心,半径为BG的圆上，而圆弧在以A为圆心,半径为AE=2的圆上.故=,由于,故,则,所以+=.故选A.
8．
【解析】蛋巢鸡蛋若，.而截面到底面的距离即为三角形的高，.
9．A
【解析】
10．C
11．(，1)
【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．
以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(，1)．
12．①②③⑤
【解析】取AB的中点M,在DD1上取点N,使得DN=CQ,则MN∥PQ;作AT∥MN,交直线DD1于点T,则A、P、Q、T四点共面;
①当0
②当CQ=时,则DN=DT=2DN=1点T与D1重合S为等腰梯形APQD1;
③当CQ=时,则DN=DT=2DN=D1T=;由D1R:TD1=BC:DTD1R=C1R=;
④当
综上,命题正确的是:①②③⑤..
【解析】根据题意过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，是正方体的体对角线，设正方体的棱长为，得出的点坐标，代入抛物线方程，求得此正方体的棱长．
[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]
【解析】（1）根据题目提供的条件，可以建立空间直角坐标系平面，然后利用空间向量的夹角公式来求二面角
解：（）由已知，两两垂直，分别它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．[来源:Zxxk.Com]
则，，则
，，，
17．（1）证明见详解；（2）不存在，理由见解析．
【解析】（1）以为坐标原点，以、分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后通过证明向量与平面平面的法向量垂直；本小题也可考虑通过证明平面平面来证明；（2）由条件知二面角为直二面角，因此可通过两个半平面的法向量互相垂直，即其数量积为通过建立方程来解决．
解：（1）法一：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过于的直线为轴建立空间直角坐标系
则设，由，
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