论2平方根是无理数
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法：，(a,b)为互素的自然数假设
则存在
则a为偶数，设a=2t,t为自然数代人上式有
则b同样是偶数，与条件（a，b）为互素的自然数是相互矛盾的
那么假设是不成立的
则
成立，那么必为无理数。
求a的值
利用牛顿二项式广义定理展开上式
得：
1.设1
我们现在从无穷处到M求级数之和
2.设n=2
则k=M,以后的项为等比数列
2.设n>2
综上所述：
仅仅n=2时可能存在a为有理数的可能它的公式为
N>1不等于2时a为无理数公式为
为无穷小常量
这就是开方时，为什么N=2时存在勾股数的原因，而其他情况均不可能
由上推理知存在两组公式
（1）(n=2)
（2）(n≠2)
由于（1）式虽然尾数可以为有理数，但是如果m只有在趋于∞才出现的话，它依然是无理数，所以（1）式存在两种可能性，其实就是不确定性。那么我们选用2式
设n无限趋于2
得
M到无穷处是它的尾数部分是为无理数，这样把的论证推向了，此对数是无穷项的，有函数知道它不可能是有理数了，但结果还是e为无理数的起点。整个体系才是完善的。
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