数列习题
数列的概念
（5）设数列{}na的前n项和为nS，数列{}nS的前n项和为nT满足2nnTS??2n()nN??．
（Ⅰ）求1a的值；
（Ⅱ）求数列{}na的通项公式．
（3）（2013广东）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a?，2nSn?1na??21233nn??
()nN??．
（Ⅰ）求2a的值；
（Ⅱ）求数列{}na的通项公式．
（4）设数列{}na的前n项和为11,(3),3()nnnnSaaaaSnN???????．
（Ⅰ）设3nnnbS??，求数列{}nb的通项公式；
（Ⅱ）若1()nnaanN????，求a的取值范围．
（2）（2013安徽蚌埠）数列{}na的通项公式21011nann????，则该数列前n项和nS最
大时n?．
8．（2014湖南）已知数列{}na满足111,||,nnnaaapnN??????．
（Ⅰ）若{}na是递增数列，且123,2,3aaa成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若12p?，且21{}na?是递增数列，2{}na是递减数列，求数列{}na的通项公式．
11．已知数列{}na的通项公式为230nann???．
（Ⅰ）求数列的前三项，60是此数列的第几项？
（Ⅱ）n为何值时，0,0,0nnnaaa???？
（Ⅲ）该数列的前n项和nS是否存在最值？说明理由．
12．已知数列{}na的前n项和满足21nSn??，数列{}nb满足2
1nnba??
，且前n项和为nT，
设21nnncTT???．
（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；
（Ⅱ）判断数列{}nc的增减性．
8．已知数列{}na满足(,)ststaaastN???，且22a?，则8a?．
设231518nann????，则数列{}na中的最大项的值是（）
16.3A13.3B.4C.0D
6．（2014山东淄博）在平面直角坐标系中有一个点列：1222(0,1),(,),,PPxy(,)nnnPxy
()nN??．若点(,)nnnPxy到点111(,)nnnPxy???的变化关系为1
1
nnn
nnn
xyxyyx?
?
??????
?
，()nN??，
则20132014||PP等于．
4．（2015辽宁五校）已知abadbc
cd??
，则461214
8101618???2012201420162018?
（）
.2010A?.2012B?.2014C?.2016D?
1．（2015浙江联考）已知函数()yfx?，数列{}na的通项公式()()nafnnN???，那么
“函数()yfx?在[1,)??上单调递增”是“数列{}na是递增数列”的（）
.A充分不必要条件.B必要不充分条件
.C充要条件.D既不充分也不必要条件
等差数列
（1）（2014课标Ⅱ）等差数列{}na的公差为2，若248,,aaa成等比数列，则{}na的前n项
和nS?（）
.(1)Ann?.(1)Bnn?(1).2nnC?(1).2nnD?
（3）（2015山西太原）已知等差数列{}na的前n项和为4710,9nSaaa???，14377SS??，
则na?．
（1）（2015福建福州）已知等差数列{}na，其中
1251,4,333naaaa????
，则n的值
为．
（2）（2015江西南昌）在数列{}na中，若12a??，且对任意的nN??有1212nnaa???，
则数列{}na前10项和为（）
.5A.10B5.2C5.4D
（3）设nS为等差数列{}na的前n项和，1298,9aS????，则16S?．
（4）（2015东北三校）已知正项数列{}na满足122,1aa??，且
112
nnaa
????
，则
12a?．
（3）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知前6项和为36,324nS?，最后6项和为
180(6)n?，求数列的项数n?；910aa??．
（1）在等差数列{}na中，0na?，且121030aaa????，则56aa的最大值为．
（3）已知数列{}na为等差数列，若11
101
aa??，且该数列前n项和为nS有最大值，则使0nS?
的n的最大值为（）
.1A.19B.20C.21D
7．（2014北京）若等差数列{}na满足7897100,0aaaaa?????，则当{}na的前n项和
最大时，n?．
10．各项均为正数的数列{}na满足2421()nnnaSanN?????，其中nS为其前n项和，则
数列{}na的通项公式na?．
5．（2014陕西）已知(),01xfxxx???，若11()(),()(())nnfxfxfxffx???，()nN??，
则2014()fx的表达式是．
1．（2014浙江杭州）设nS为等差数列{}na的前n项和，1(1)nnnSnS???()nN??．若
8
71
aa??，则（）
.nAS的最大值是8S.nBS的最小值是8S
.nCS的最大值是7S.nDS的最小值是7S
8．（2013湖南十二校）已知数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nSAnnNn??总在直线
1322yx??上．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}nb满足1()nnnbanN????，试问数列{}nb中是否有最大项，如果有，求出
最大项；如果没有，说明理由．
3．已知等差数列??na的前n项和为nS，且310061006(1)2013(1)1aa????，
310081008(1)2013(1)1aa?????则（）
201310081006.2013,ASaa??201310081006.2013,BSaa??
201310081006.2013,CSaa???201310081006.2013,DSaa???
等比数列
（2）已知数列{}na满足
112,4(,)3nnaaanRnN??????????
，对任意实数?，证明：
数列{}na不是等比数列．
6．任给实数,ab，定义,0
,0
abab
abaab
b
?????
??????
?
，设函数()lnfxxx??，则
1(2)()2ff??；若{}na是公比大于0的等比数列，且51a?，
12781()()()()fafafafaa?????，则1a?．
5．已知等比数列{}na的首项为43，公比为13?，其前n项和为nS，若1
nnASS??
B?对
nN??恒成立，则BA?的最小值为．
（2）已知正项等比数列{}na中，12a?，点1(,)nnnAaa?在双曲线221yx??上，数列
{}nb中，点(,)nnbT在直线112yx???上，其中nT为数列{}nb的前n项和．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}nb是等比数列．
（2）（2015镇海中学）已知数列{}na和{}nb满足：
112,43nnaaan??????nb?
(1)(321)nnan???，其中?为实数，nN??．
（Ⅰ）对任意的实数?，证明：数列{}na不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论．
4．（2015重庆万州二中）设12,,,,3naaaRn??，若12:,,,npaaa成等比数列；
22222221212312231:()()()nnnnqaaaaaaaaaaaa????????????，则（）
.Ap是q的充分不必要条件.Bp是q的必要不充分条件
.Cp是q的充要条件.Dp是q的既不充分也不必要条件
已知等差数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb的各项均为正数，公比q，且满足
1122223,1,12,abbSSbq?????．
（Ⅰ）求{}na与{}nb；
（Ⅱ）设332nanncb???，若数列{}nc是递增数列，求?的取值范围．
（4）一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列
的项数为（）
.13A.12B.11C.10D
（4）（2015广东珠海）等比数列{}na共有奇数项，所有奇数项和255S?奇，所有偶数项和
126S??偶，末项是192，则首项1a?（）
.1A.2B.3C.4D
（2）（2013陕西西安）已知,,,,,abmnxy均为正数，且ab?，若,,,ambx成等差数列，
,,,anby成等比数列，则有（）
.,Amnxy??.,Bmnxy??.,Cmnxy??.,Dmnxy??
（1）已知,,abc成等比数列，若,,axb和,,byc都成等差数列，则ac
xy??
．
9．已知数列{}na的前n项和为nS，满足1()nnaSnN????，则通项公式na?．
10．设()fx是定义在R上恒不为零的函数，对任意,xyR?，都有()fx()fy?()fxy?，
若
11,()()2naafnnN????
，则数列{}na的前n项和nS的取值范围是．
数列求和
（2）已知数列{}na满足123(1)(ln2ln3)(1)ln3nnnnan???????，求其前n项和nS．
（1）已知等比数列{}na中，首项1=3a，公比1q?，且213()100nnnaaa?????()nN??．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设1{}3
nnba?
是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}nb的前n项和nS．
（1）（2015浙江宁波）设{}na是等差数列，{}nb是各项均为正数的等比数列，且
1123321,2,10,7ababab??????．
（Ⅰ）求数列{},{}nnab的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}nb的前n项和为nS，记()2n
nnScanN???
，求数列{}nc的前n项和nT．
（1）（2015黑龙江大庆）已知数列{}na的前n项和为11,1,21nnnSaaS????，()nN??等
差数列{}nb的公差为2d?，且12315bbb???．
（Ⅰ）求数列{},{}nnab的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}nnab的前n项和nT．
（1）已知等比数列{}na中，143,81aa??，若数列{}nb满足3lognnba?，则数列
1
1{}
nnbb?
的前n项和为nS?．
（1）已知函数2()2fxxbx??过点(1,2)，若函数1{}
()fn
的前n项和为nS，则2014S?
（）
2012.2011A2010.2011B2014.2013C2014.2015D
（2）（2015江南十校）已知函数()fxx??的图像经过点(4,2)，令na?1
(1)()fnfn??
，
nN??，记数列{}na的前n项和为nS，则2014S?（）
.20131A?.20141B?.20151C?.20151D?
2．倒序相加法与并项求和法
倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加；并项求和法：数列中的项是
正负相间的常用此法．倒序相加法与并项求和法一般以小题出现，难度中低档．
【例题1】
（1）设函数4()42x
xfx??
，则1210()()()111111fff????．
（2）（2015陕西西安）数列{}na满足
11()2nnaanN?????
，且11,naS?是数列{}na的前
n项和，则21S?（）
21.2A.6B.10C.11D
（3）（2015辽宁五校）在数列{}na中，121,(1)1nnnaaa?????，其前n项和为nS，则
60S?．
【变式4】
（1）2222sin1sin2sin3sin89?????．
（2）22222210099989721???????．
5．（2015湖南衡阳）定义：
12n
nxxx???为n个正数12,,,nxxx的“平均倒数”，若正
项数列{}nc的前n项的平均倒数为121n?，则数列{}nc的通项公式为nc?．
6．（2014河南联考）已知对于任意的自然数n，抛物线22()ynnx???(21)nx?1?与x轴
相交于,nnAB两点，则1122||||ABAB??20142014||AB??．
1．（2014湖南长沙）已知函数2()cosfnnn??，且()(1)nafnfn???，则
12100aaa????（）
.100A?.0B.100C.10D
（3）（2012课标）数列{}na满足1(1)21nnnaan?????，则{}na的前60项和
60S?．
4．（2015重庆南开）在等比数列{}na中，43215aaaa????，则56aa?的最小值
为．
7．数列1102,,2,,20kaaka???共有十项，且其和为240，则1a??ka?10a?
的值为．
10．在数列{}na中，111,(1)(1)nnnaaa?????，记nS为{}na的前n项和，则
2013S?．
在等比数列{}na中，10,anN???，且328aa??，又15,aa的等比中项为16．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设4lognnba?，数列{}nb的前n项和为nS，是否存在正整数k，使得
12
111
nkSSS????
对任意的nN??恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存
在，说明理由
（1）（2014湖南）已知数列{}na的前n项和2()2
nnnSnN????
．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设2(1)nnnnbaa???，求数列{}nb的前2n项和．
（1）（2014浙江湖州）在等比数列{}na中，已知13a?，公比1q?，等差数列{}nb满足
1142133,,bababa???．
（Ⅰ）求数列{},{}nnab的通项公式；
（Ⅱ）记(1)nnnncba???，求{}nc的前n项和nS．
（3）（2014广东）设各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS，且nS满足
22(3)3()0()nnnSnnnN???????．
（Ⅰ）求1a的值；
（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅲ）证明：
1122
1111(1)(1)(1)3
nnaaaaaa???????
．
（2013山东）设等差数列{}na的前n项和为nS，且4224,21nnSSaa???．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}nb的前n项和nT，且12n
nnaT????
（?为常数），令2nncb?()nN??，
求数列{}nc的前n项和nR．
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