第五章平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题内容索引考点自测快速解答自查自纠题型分类对接高考深度剖析练出高分考点
自测考点自测1.已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为()A.8° B.4
4° C.26° D.40°解析∵sin(－50°)＜0，cos130°＝－cos50°＜0，∴点P(sin(
－50°)，cos130°)在第三象限.又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°.又∵点P的坐标可化为(cos220°，s
in220°)，∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.B45123解析答案145123解析答案所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋
(y－2)2＝2，答案D45123A.30° B.45° C.60° D.120°45123解析答案解析由题
意及正弦定理得sinBcosA＝3sinAcosB，∴tanB＝3tanA，∴0°＜A，B＜90°，答案B45123
解析答案D解析∵向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)，由p∥q，得S＝(a＋b)2－c2＝2ab＋a2＋b2－c2
，45123解析答案5.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为
x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是()45123返回解析答案由题意知函数的最小正周期为π，故
ω＝2，所以y＝2cos2x，经验证知选项A满足条件.故选A.答案A45123返回题型分类题型一三角函数的图象与性质(1)
求f(x)的最小正周期；解析答案思维升华解析答案思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ω
x＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解.跟踪训练1(1)求函数f(x)的值域；所以函数f
(x)的值域为[－3,1].解析答案解由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，解析答案题型二三角函数和解三
角形(1)求f(x)的单调区间；解析答案由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，思维升华解析答案思维升华三角函数和三角形的结
合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.(1)求
函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；跟踪训练2∴函数f(x)的最大值为2.解析答案在△ABC中，根据余弦定
理，得∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1.解析答案题型三三角函数和平面向量(1)求m，n的值；解由题意知f(x)＝a·b＝m
sin2x＋ncos2x.解析答案(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝
g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.思维升华解析答案设y＝g(x)的图象上符合
题意的最高点为(x0,2)，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).思维升华解析答案由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
思维升华思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的
三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.跟踪训练3(1)求函数f(x)的单调递增区间；解析答案(2
)求函数f(x)在x∈[0，π]时的零点.返回解析答案练出高分12345(1)求A的值；解析答案12345解析答案12345(1)
求f(x)的解析式；解析答案1234512345解析答案123453.(2015·江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝
60°.(1)求BC的长；解由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA解析答案12345(2)求sin2C
的值.因为AB＜BC，所以C为锐角，解析答案12345(1)求ω的值；∵f(x)的最小正周期为π，ω＞0，解析答案12345解析答
案12345解设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.解析答案123451234512345(1)求φ及图中x0的值；
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，解析答案12345返回解析答案12345解析答案12345返回2.已知
向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析
由题意，得：＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.如图，当A位于使向量与圆相切
时，3.在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝，则A等于()又cosC＝，故sinC＝，∴tan
C＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tanA＝1或tanA＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B.将tanB＝3ta
nA代入，得＝－2，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即＝－2，4.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的
边，S为△ABC的面积.若向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)满足p∥q，则tan等于()A.B.C.2
D.4∴＝4.则tan＝＝4.故选D.即absinC＝2ab＋2abcosC，sinC＝1＋cosC，A.B.C.D
.解析由函数为偶函数知φ＝＋kπ(k∈Z).又因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝2cosωx.例1已知函数f(x)＝cos
x·sin－cos2x＋，x∈R.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.＝sin2x－cos2x＝sin.＝sinxcosx
－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋解由已知，得f(x)＝cosx－cos2x＋(2)求f(x)在闭区间上的最
大值和最小值.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.f＝－，f＝－，f＝，解因为f(x)在区间上是减函数,在区
间上是增函数,已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0).由－1≤sin(ωx－)≤1
，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.解f(x)＝sinωx＋
cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均
为，求函数y＝f(x)的单调增区间.所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).所以f(x)＝2sin(2x－)－1，所以＝π，即ω＝2.例2(2015·山东)设
f(x)＝sinxcosx－cos2.解由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.单调递减区间是(k∈Z).所以f(x)的单
调递增区间是(k∈Z)；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z
,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；因此bcsinA≤.(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0
，a＝1，求△ABC面积的最大值.即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立.可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，由题意知A为锐角，所以
cosA＝.解由f＝sinA－＝0，得sinA＝，所以△ABC面积的最大值为.要使f(x)取最大值，则sin＝1，已知函
数f(x)＝2cos2x－sin.＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin.＝(1＋cos2x)－故f(x)取最大值时x的取
值集合为.解∵f(x)＝2cos2x－sin∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.(2)在△ABC中，角A，B，
C的对边分别为a，b，c.若f(A)＝，b＋c＝2，求实数a的最小值.由b＋c＝2，知bc≤2＝1，即a2≥1.a2＝b2＋c2－
2bccos＝(b＋c)2－3bc.∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.解由题意知，f(A)＝sin＋1＝，化简
得sin＝.例3已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n),函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，
)和点(，－2).即解得所以因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，解由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2s
in(2x＋).因为0<φ<π，所以φ＝，将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，由题意知g
(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋).因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x.所以函数y＝g(x)的单调递增区
间为[kπ－，kπ]，k∈Z.得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，已知向量m＝，n＝，设函数f(x)＝
m·n.＝sinx－cosx－＝sin－.∴f(x)＝sincos－cos2＝sinx－解∵m＝，n＝，函数f(x)
＝m·n，因此函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴f(x)在区间[0，π]上的零点是和π.
解由f(x)＝0，得sin＝.又∵x∈[0，π]，∴x＝或π.∴x＝＋2kπ，或x＝π＋2kπ，k∈Z.∴x－＝＋2kπ，或x－
＝＋2kπ，k∈Z，1.已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.∴A＝.解∵f()＝Asin(＋)＝Asin＝
A＝，(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ).又θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，∴cosθ＝
.∴[(sinθ＋cosθ)＋(cosθ－sinθ)]＝，故f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，解
由(1)知f(x)＝sin(x＋)，∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sinθ＝.2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其
中A>0，ω>0,0<φ<，x∈R)的最小正周期为π，且图象上一个最低点为M.解由T＝＝π，得ω＝2.所以f(x)的解析式为f(
x)＝2sin.因为0<φ<，所以φ＝，所以A＝2且2sin＝－2，sin＝1.因为图象上一个最低点为M，(2)当x∈时，求f(x
)的最值.当2x＋＝，即x＝时，f(x)＝2sin取得最大值f＝.所以当2x＋＝，即x＝0时，f(x)＝2sin取得最小值f(0
)＝1；解由0≤x≤，得≤2x＋≤，＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.解由正弦定理知，＝，因此sin2C＝2sinC
·cosC＝2××＝.则cosC＝＝＝.所以sinC＝·sinA＝＝.4.已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－
sin2ωx)，n＝(cosωx,1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.∴T＝＝π.∴ω＝1.＝s
in2ωx＋cos2ωx＝2sin.解f(x)＝m·n＝2sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx(2)在△
ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sinB＝sinA，求·的值.即a＝，b＝a，∴b＝3.∵BC＝，sinB＝sinA，
解得B＝(B∈(0，π)).即sin＝－1，∵f(B)＝－2，∴2sin＝－2，由正弦定理，有＝，解得sinA＝.∴·＝caco
sB＝××cos＝－.∴C＝，∴c＝a＝.∵0＜A＜，∴A＝.5.函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示.解由题图得f(0)＝，所以cosφ＝，所以πx0＋＝，x0＝.由f(x0)＝得cos＝，故＜πx0＋＜，因为0＜φ＜，故φ＝.(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.＝cosπx－sinπx－sinπx＝cosπx－sinπx＝sin.＝cosπxcos－sinπxsin－sinπx所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sinπx解因为f＝cos＝cos＝－sinπx，当x∈时，－≤－πx≤.当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；所以－≤sin≤1， |
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