第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题内容索引考点自测快速解答自查自纠题型分类对接高考深度剖析练出高分考点自测考点自测
1.设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是1，公差与公比都是2，则等于()A.54 B.56 C.58 D
.57D解析由题意得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1，∴＋…＋＝a1＋a2＋a4＋a8＋a1
6＝1＋3＋7＋15＋31＝57.45123解析答案12.已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数
列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于()A.n·2n B.
(n－1)·2n－1－1C.(n－1)·2n＋1 D.2n＋145123解析答案解析∵等比数列{an}的各项都为正数，且
当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴2n－1lgan＝2n－1lg10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋
n×2n－1，①2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2
n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.答案C4512345123解析答案解析因为an＋1＝a1
＋an＋n＝1＋an＋n，所以an＋1－an＝n＋1.用累加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)答案B4512
345123解析答案解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.答案
A451234又a1＝－1，∴{an}为等比数列，且an＝－(－2)n－1，由1k＝4.45123返回解析答案题型分类题型一等差数列、等比数列的综合问题(1)求数列{an}的通项公式；解析答案解设等比数列
{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5
＝a3，故等比数列{an}的通项公式为思维升华解析答案当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，思维升华解析答案当n为偶数时，Sn随n的
增大而增大，思维升华思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和
需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列
的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大
的.已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d
，依题意知，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时
，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式an＝2或an＝4n－2.跟踪训练1解析答
案(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由.解
当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立.当an＝4n－2时，令2n
2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，
n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，且n的最小值为41.解
析答案题型二数列的通项与求和解析答案思维升华解析答案(2)求通项an与前n项的和Sn.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数
列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法
等.跟踪训练2在等比数列{an}(n∈N)中，a1＞1，公比q＞0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝
0.(1)求{an}的通项an；解析答案所以log2(a1q2)＝2，即b3＝2，a1q2＝4＝a3.因为a1＞1，所以b1＝lo
g2a1＞0，又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0＝log2a5，a5＝1，解因为b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log
2a3＋log2a5＝6，解由(1)知an＝25－n，所以bn＝5－n(n∈N)，解析答案题型三数列与其他知识的交汇命题点
1数列与函数的交汇(1)求数列{an}的通项公式；解析答案解f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，
又f′(x)＝x＋2n，解析答案∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn解析答案命题点2函数与不等式的交汇例4已知等差数列{an}中，a2
＝6，a3＋a6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；解设公差为d，由题意得：∴an＝3n.解析答案解析答案命题点3数列应用
题例5某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金
为1000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.思维升
华解析答案解设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1
500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2).∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，即数列{a
n－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列.∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n
－1＋500.思维升华解析答案(1)∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为85
00万元.(2)由an＞32500，即2n－1＞32，得n＞6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.思
维升华思维升华数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模
型.跟踪训练3设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N).(1)若a1＝－2，点(a8
,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；解由已知，得有解得d＝a8－a7＝2.解析答案返回解析答案解f
′(x)＝2xln2，f′(a2)＝故函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn
＝2n.解析答案返回练出高分123451.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝8，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn(
n≥2)，Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；解∵当n≥2时，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn，∴
Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝4an，∵a1＝2，a2＝8，∴a2＝4a1，∴数列{an}是以a1＝2为首项，
4为公比的等比数列.∴an＝2·4n－1＝22n－1.解析答案12345(2)求Tn.解由(1)得log2an＝log222n－
1＝2n－1，∴Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋3＋…＋(2n－1)解析答案12345(1)求{an}的通
项公式；由于an>0，可得an＋1－an＝2.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.解析答案123
45解由an＝2n＋1可知设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn解析答案123453.已知数列{an}的前
n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；解在Sn＝2an＋(－1)n(
n∈N)中分别令n＝1,2,3得：解析答案12345解析答案12345解由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N)得：Sn－1＝2
an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减得：an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，解析答案1234512345(1)求数列
{an}，{bn}的通项公式；解析答案12345解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，因为当n＝4或5时，Sn取得最小值，
所以a5＝0，所以a1＝－4d，所以an＝(n－5)d，又由a3＋a4＝a1＋a2＋8，得d＝2，a1＝－8，所以an＝2n－10
；12345当{cn}为递增数列时，cnn2－10n＋4恒成立，∴λ∈?，当{cn}为递减数列时，cn>cn＋1
，即λ(n)的表达式；解析答案12345(2)设an＝n·f(n)，n∈N，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an＜2；解析答案12345证
明设Tn为{an}的前n项和，即a1＋a2＋a3＋…＋an<2.12345∴当n≤8时，bn＞0；当n＝9时，bn＝0；当n＞9
时，bn＜0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值.返回解析答案∴a＝102n，即an＝10n，3.数列{an}满足a1＝1，且对于任
意的n∈N都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋等于()A.B.C.D.＝1＋2＋…＋n＝，＝2＝，故选B.所以＋＋…＋
＝2所以＝＝2.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.∴
∴∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.∴＝＝－，5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N都有Sn＝an－，若1k<9(k∈N)，则k的值为________.∴Sk＝，∴an＝an－an－1，∴an＝－2an－1，解析当n>1时，Sn－
1＝an－1－，例1已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4
成等差数列.于是q2＝＝.an＝×n－1＝(－1)n－1·.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.(2)设Tn＝Sn－(n∈
N)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解由(1)得Sn＝1－n＝故0＝S2≤Sn<1，所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.综上，对于n∈N，总有－≤Sn－≤.故0>Sn－≥S2－＝－＝－
.Sn＝＝2n2.所以{}是以为首项，为公比的等比数列.例2已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.又＝，∶
＝(n∈N)为常数，当n∈N时，≠0.证明因为a1＝，an＋1＝an，(1)证明：数列{}是等比数列；∴Sn＝2－()n－1
－n·()n＝2－(n＋2)·()n.解由{}是以为首项，为公比的等比数列，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1
＝－n·()n＋1，Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋
n·()n，得＝·()n－1，所以an＝n·()n.综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.所以log2(a1a3a
5)＝6，所以log2(aq6)＝6，所以an＝16×n－1＝25－n(n∈N).解得所以＝＝q2，(2)若cn＝，求{cn}
的前n项和Sn.＝－(1－)＝(n∈N).＝－(1－＋－＋－＋…＋－)所以Sn＝－[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]所以
cn＝＝，例3已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N，数列{an}满足＝f′，
且a1＝4.∴a＝，b＝2n，∴＝＋2n，∴－＝2n，数列{an}满足＝f′，则f(x)＝x2＋2nx，n∈N.由叠加法可得－＝
2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，当n＝1时，a1＝4也符合，∴an＝(n∈N).化简可得an＝(n≥2)，(2)记bn＝
，求数列{bn}的前n项和Tn.＝2＝.＝2＝＋＋…＋解∵bn＝＝＝2，解得∴Tn的最大值是，故m≥.(2)记数列{an}的前n
项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝13＝，∴Tn＋1－Tn＝－＝，∴Tn＝，解∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－
1)＝n2－3n.(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.它在x
轴上的截距为a2－.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，由题意，得a2－＝2－，解得a2＝2.2Tn＝＋＋＋…＋.所以Tn＝.＝2－－＝.因此
，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝＝n2.2.(2015·课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn
＋3.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－a
n).可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.解由a＋2an＝4Sn＋3，(2)设bn
＝，求数列{bn}的前n项和.＝＝.bn＝＝＝.解得(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.an
＝2an－1－(－1)n－(－1)n∴an＋(－1)n＝2[an－1＋(－1)n－1](n≥2).＝2an－1＋(－1)n－1－(
－1)n(n≥2)，故数列{an＋(－1)n}是以a1－＝为首项，2为公比的等比数列.an＝×2n－1－×(－1)n＝－(－1)n
.∴an＋(－1)n＝×2n－1，4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，它们满足S4＝2S2
＋8，b2＝，T2＝，且当n＝4或5时，Sn取得最小值.由b2＝，T2＝得b1＝，所以q＝，所以bn＝.(2)令cn＝(Sn－λ)(－Tn)，n∈N，如果{cn}是单调数列，求实数λ的取值范围.解由(1)得Sn＝n2－9n，Tn＝－，cn＝，5.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.∴f(n)＝n.∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，解令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∵an＝n·f(n)＝n·n，∴Tn＝2－n－1－n×n＜2.两式相减得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1，Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，(3)设bn＝(9－n)，n∈N，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.∴bn＝(9－n)＝(9－n)＝，解∵f(n)＝n， |
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