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第13章 量子物理习题解答
2016-05-08 | 阅:  转:  |  分享 
  
习题

设太阳是黑体,试求地球表面受阳光垂直照射时每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能。如果认为太阳的辐射是常数,再求太阳在一年内由于辐射而损失的质量。已知太阳的直径为1.4×109m,太阳与地球的距离为1.5×1011m,太阳表面的温度为6100K。,地球表面单位面积、单位时间得到的辐射能为。







太阳每年损失的质量



用辐射高温计测得炉壁小孔的辐出度为22.8W/cm2,试求炉内温度。得



黑体的温度K,问nm和nm的单色辐出度之比为多少?当黑体温度上升到K时,nm的单色辐出度增加了几倍?









在真空中均匀磁场(T)内放置一金属薄片,其红限波长为nm。今用单色射线照射时,发现有电子被击出。放出的电子在垂直于磁场的平面内作半径为m的圆周运动。假定光子的能量全部被电子吸收,试求该射线的能量、波长和频率。



电子运动半径

光子能量









以钠作为光电管阴极,把它与电源的正极相联,而把光电管阳极与电源负极相联,这反向电压会降低以至消除电路中的光电流。当入射光波长为433.9nm时,测得截止电压为0.81V,当入射光波长为312nm时,测得截止电压为1.93V,试计算普朗克常数并与公认值比较。(1)

(2)

解得









若有波长为nm的X射线束和波长为nm的射线,分别和自由电子碰撞,问散射角为时,(1)波长的改变量为多少?(2)反冲电子的动能是多少?(3)入射光在碰撞时失去的能量占总能量的百分比。

(1)



(2)









(3)







在康普顿实验中,当能量为0.50MeV的X射线射中一个电子时,该电子会获得0.10MeV的动能,若电子原来是静止的。试求:(1)散射光子的波长;(2)散射光子与入射方向的夹角。

(1)



(2)









一个波长5?的光子与原子中电子碰撞,碰撞后光子以与入射方向成150o角方向反射,求碰撞后光子的波长与电子的速率。













由于(电子的静电能)

因此,采用非相对论方式





设和分别为康普顿散射中入射与散射光子的波长,为反冲电子动能,为反冲电子与入射光子运动方向夹角,为散射光子与入射光子运动方向的夹角,试证明:

(1);

(2)当时,。



由动量定理







证毕

根据玻尔理论计算氢原子中的电子在第一至第四轨道上运动的速度以及这些轨道的半径。











在氢原子被外来单色光激发后发出的系中,仅观察到三条光谱线,试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。

巴耳末系的三条谱线为;













动能为20eV的电子与处于基态的氢原子相碰,并使氢原子激发,当氢原子返回基态时,辐射出波长为121.6nm的光子,求碰撞后电子的速度。,可以用非相对论近似









具有能量为15eV的光子,被氢原子中处于第一玻尔轨道上的电子所吸收,然后电子被释放出来,试求放出来电子的速度。,可以用非相对论近似









原则上讲,玻尔理论也适用于太阳系,地球相当于电子,太阳相当于核,而万有引力相当于库仑力。

(1)求地球绕太阳运动的允许半径公式;

(2)地球运行实际半径为1.5×1011m,与此半径对应的量子数多大?

(3)地球实际轨道和它的下一个较大可能轨道半径差值多大?

(M地=5.98×1024kg,M日=1.99×1030kg,G=6.67×10-11N·m2/kg2)

(1)

由角动量守恒条件

(2)

消去:

消去: (3)

(2)





由(3)式:







一质子经206V的电压加速后,德布罗意波长为m。试求:

(1)质子的质量

(2)如果质子的位置不确定量等于其波长,则其速度的不确定量必不小于多少?





因为质子的位置不确定量等于其波长,即

由不确定关系,取等号计算,可得





若已知运动电子的质量比其静止质量大1%,试确定其德布罗意波长。





由于,故



试证明电子经过电压加速后,其德布罗意波长为:

(1)nm()

(2)(),故





(2)由于,故







电子显像管的加速电压为20kV,电子枪口径为0.5mm,试问此时电子的波性是否会影响画面的清晰度?为什么?,得

根据不确定关系







由于,此时电子的波动性对画面清晰度的影响可以忽略。

求下列情况中实物粒子的德布罗意波长。

(1)=100eV的自由电子;

(2)=0.1eV的自由中子;

(3)温度,=的氦原子。

当时,电子静能





当的自由中子时,





氦原子质量

当时,







设有一微观粒子沿轴自由运动,并在时,测定了这个粒子的位置不确定量为,试计算在以后某一时刻测定这个粒子的位置不确定量。时,根据不确定关系,可得



经过时间后,自由运动粒子的位置不确定量为



可以发现与成反比,表明初始时测量粒子的位置越准确,我们就越难知道后面的位置,这时因为随着粒子的运动的波将随着时间的推移而不断散开。

粒子运动的波函数如图(a)、(b)所示,试问哪种情况下确定动量的准确度较高?哪种情况下确定位置的准确度较高?

【解】根据不确定关系

(a)较大,确定位置的准确度较低,确定动量的准确度较高;

(b)较小,确定位置的准确度较高,确定动量的准确度较低。

电子被100kV的电场加速,如果考虑相对论效应,其德布罗意波长多大?若不用相对论计算,相对误差是多少?

若不考虑相对论效应,则



因此

相对误差



同时测量能量为的作一维运动的电子的位置与动量时,若位置的不确定值在0.1nm内,则动量的不确定值的百分比至少为多大?

根据不确定关系,得



因此

若一个电子处于原子某能态的时间为秒。求:

(1)这个原子能态的能量的最小不确定量是多少?

(2)如果原子从上述能态跃迁到基态所辐射的能量为3.39eV,计算所辐射的光子波长,并讨论这波长的最小不确定量。,取等号,有



(2)





对上式求微分,得:



已知粒子在无限深势阱中运动,其波函数,求发现粒子概率最大的位置。

取,即





可得或

又因为

时,,故此处为发现粒子概率极小值处;

时,,故此处为发现粒子概率极大值处。

因此处找到粒子的概率最大。

一粒子被限制在相距为的两个不可穿透的壁之间,描写粒子状态的波函数为:,其中为待定常数,求在区间发现粒子的概率。,得

,因此

在0-区间发现粒子的概率为





粒子在一维无限深势阱中运动,其波函数,若粒子处于状态,在区间发现该粒子的概率是多少?在区间发现该粒子的概率



当时,

设一粒子沿方向运动,其波函数为

(1)将此函数归一化;

(2)求出此粒子按坐标的概率分布函数;

(3)在何处找到粒子的概率最大?

归一化条件,得



因此



(2)

(3)当时,在该处找到的粒子概率最大。

原子和分支中的电子可以粗略地看成一维无限深势阱中的粒子,设势阱的宽度为1nm,求:

(1)两个最低能级之间的间隔;

(2)电子在这两个能级之间跃迁,发出的光的波长是多少?

判断下列波函数所描写的状态是不是定态?

(1)()

(2)

若有一质量的粒子,以速度在宽度m的一维无限深势阱中运动,求其量子数

晶体中原子在平衡位置附近的微振动,可以近似地看成一维谐振动,其势能为(K为弹性系数),试写出该粒子所满足的定态薛定谔方程。

线性谐振子的基态波函数为



求:(1)归一化因子

(2)坐标平均值

在一维无限深势阱中,粒子处于试求发现粒子最大概率的位置。

在一维无限深势阱中,由于边界条件的限制,势阱宽度必须等于粒子德布罗意半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化的公式:



试分别计算在壳层=5中有下列量子数相同的电子最多为多少个:

(1);(2);

(3);(4)

氢原子被外来单色光从基态激发到的状态。试问:

(1)外来单色光的频率等于多少?

(2)当氢原子又回到低能态时,能发出几条可见光谱线?它们的波长各等于多少?

能量为15eV的光子从处于基态的氢原子中打出一个光电子,试求:

(1)电子脱离原子核时最大的速度是多少?

(2)此光电子的德布罗意波长等于多少?原子中=5的电子可以处于哪些量子态?

如果氢原子中的电子处于的状态。试写出:

(1)与其相应的一切量子态。

(2)各量子态相应的能量、轨道角动量及其在外磁场方向的投影值。

(3)各量子态相应的自旋角动量及其在外场方向的投影值。试画出原子在的电子角动量在磁场中空间量子化的示意图。并写出在磁场方向的分量的各种可能值。

原子中能够有下列量子数相同的电子最多有几个?

(1);(2)

(2);(4)

铟In()的电子组态为,试问:

(1)铟原子中有几个主壳层?

(2)In的最外主壳层内有多少个电子?

(3)在主壳层内有哪几个分壳层?

(4)处于分壳层内有几个电子?它们的轨道角动量等于多少?

原子中电子处于()量子态,试求:

(1)它的轨道角动量

(2)轨道角动量在外磁场方向的分量

(3)电子的自旋角动量在外磁场方向的分量=?

你对“超距作用”和“场”有什么看法?如果在同一惯性系中有两个相距10光年的被关在静电屏蔽金属中的带电粒子(如图所示),当它们被同时放出后需经多少时间才有相互作用力?为什么?













































题13-38图





题13-45图







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