2012年上海高考数学（理科）试卷
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算：=（i为虚数单位）.
2．若集合，，则=.
3．函数的值域是.
4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角
函数值表示）.
5．在的二项展开式中，常数项等于.
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…，则.
7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+()上是增函数，则a的取值范
围是.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2(的半圆面，则该圆锥的体积为.
9．已知是奇函数，且.若，则.
10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角
.若将的极坐标方程写成的形式，则
.
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形ABCD中，∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是.
13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为.
14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.
若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为
常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （）
（A）. （B）. （C）.（D）.
16．在中，若，则的形状是 （）
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.
17．设，.随机变量取值、、、、的
概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2.
若记、分别为、的方差，则 （）
（A）＞. （B）＝. （C）＜.
（D）与的大小关系与、、、的取值有关.
18．设，.在中，正数的个数是 （）
（A）25. （B）50. （C）75. （D）100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
20．已知函数.
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数
的反函数.（8分）
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：
OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，
求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
23．对于数集，其中，，定义向量集
.若对于任意，存在，使得，则称X
具有性质P.例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1(X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）
2012年上海高考数学（理科）试卷解答
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算：=1-2i（i为虚数单位）.
2．若集合，，则=.
3．函数的值域是.
4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角
函数值表示）.
5．在的二项展开式中，常数项等于-160.
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…，则.
7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+()上是增函数，则a的取值范
围是(-(,1].
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2(的半圆面，则该圆锥的体积为.
9．已知是奇函数，且.若，则-1.
10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角
.若将的极坐标方程写成的形式，则
.
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形ABCD中，∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[2,5].
13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为.
14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.
若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为
常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （B）
（A）. （B）. （C）.（D）.
16．在中，若，则的形状是 （C）
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.
17．设，.随机变量取值、、、、的
概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2.
若记、分别为、的方差，则 （A）
（A）＞. （B）＝. （C）＜.
（D）与的大小关系与、、、的取值有关.
18．设，.在中，正数的个数是 （D）
（A）25. （B）50. （C）75. （D）100.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD.……3分
因为PD=，CD=2，
所以三角形PCD的面积为.……6分
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(1,,1)，
，.……8分
设与的夹角为(，则
，(=.
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是……12分
[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
BC与AE所成的角……8分
在中，由EF=、AF=、AE=2
知是等腰直角三角形，
所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是……12分
20．已知函数.
（1）若，求的取值范围；（6分）
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数
的反函数.（8分）
[解]（1）由，得.
由得.……3分
因为，所以，.
由得.……6分
（2）当x([1,2]时，2-x([0,1]，因此
.……10分
由单调性可得.
因为，所以所求反函数是，.……14分
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
[解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程
中，得P的纵坐标yP=3.……2分
由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时.……4分
由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度.……6分
（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.
由，整理得.……10分
因为，当且仅当=1时等号成立，
所以，即.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：
OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，
求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
[解]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.
过点A与渐近线平行的直线方程为，即.
解方程组，得.……2分
所以所求三角形的面积1为.……4分
（2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，
故，即.……6分
由，得.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则.
又2，所以
，
故OP⊥OQ.……10分
（3）当直线ON垂直于x轴时，
|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.
由，得，所以.
同理.……13分
设O到直线MN的距离为d，因为，
所以，即d=.
综上，O到直线MN的距离是定值.……16分
23．对于数集，其中，，定义向量集
.若对于任意，存在，使得，则称X
具有性质P.例如具有性质P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1(X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通
项公式.（8分）
[解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.……2分
所以x=2b，从而x=4.……4分
（2）证明：取.设满足.
由得，所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，
故1(X.……7分
假设，其中，则.
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1，则2，矛盾；
若=-1，则，矛盾.
所以x1=1.……10分
（3）[解法一]猜测，i=1,2,…,n.……12分
记，k=2,3,…,n.
先证明：若具有性质P，则也具有性质P.
任取，、(.当、中出现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质P，所以有，、(，使得，
从而和中有一个是-1，不妨设=-1.
假设(且(，则.由，得，与
(矛盾.所以(.从而也具有性质P.……15分
现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,n.
当n=2时，结论显然成立；
假设n=k时，有性质P，则，i=1,2,…,k；
当n=k+1时，若有性质P，则
也有性质P，所以.
取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若，则1，不可能；
所以，，又，所以.
综上所述，，i=1,2,…,n.……18分
[解法二]设，，则等价于.
记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.……14分
注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，
所以也只有n-1个数.
由于，已有n-1个数，对以下三角数阵
……
注意到，所以，从而数列的通项公式为
，k=1,2,…,n.……18分
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O
M
x
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(
A
B
C
D
x
O
M
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(
A
B
C
D
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P
A
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(
A
B
C
D
A
B
C
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x
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