高三数学复习中思想方法?
一、高三数学复习中思想方法教学的重要性
近年来我国的高考大纲里已明确地提出除考查学生“数学知识和思维能力”外，还要考查学生“数学思想方法”的运用能力。如：2000年高考《考试说明》中明确指出：“能综合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决在相关学科中、生产生活中的数学问题……”“有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度……”这一指导思想在这几年的高考试题中，无论在客观题还是主观题中都有体现，而且越来越向深度和广度发展。这就决定了我们要重视数学思想方法的教学，必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。
高考复习有别于新知识的教学，它是在学生基本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上的教学，也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思想的基础上的教学。其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，进一步形成基本技能，优化思维品质，提高数学解题能力。
二、高三数学复习中数学思想方法的教学过程
中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结，这样就产生了如何处理数学思想方法的教学问题。
1、首先应该在具体知识的教学中，通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。这是因为
1)虽然数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体，它们相互关联，相互依存，协同发展，但是具体数学知识的教学并不能代替数学思想方法的教学。一般来说，数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。
2)数学思想方法是具体数学知识的本质与内在联系的反映，具有高度的抽象性与概括性。如果说数学方法尚且有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定形式。
数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的，必须要日积月累，长期渗透，才能逐渐为学生所掌握。
2、用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。
注意分析求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。
注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。例如解不等式：>x+1,虽然可以通过代数方法求解。但若用数形结合，转化为半圆与直线的位置关系，问题将变得非常简单。
3)数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性，对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源，丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解。
三、高三复习中数学思想方法的分类及例解
高中数学中常用的思想方法有以下几类：①数形结合的思想方法②转化的思想方法③函数与方程的思想方法④分类讨论的思想方法等。下面就这几类思想方法作简要描述：
1、数形结合的思想方法
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维在解题过程中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和简单，从而培养学生思维的灵活性、形象性。
???????????例1：解不等式≥x（1999年“三南”高考题）
解：如图，在直角坐标系xoy中，作直线y=x与半圆弧
y=的图象，由=x解得两图象交点的横坐
标为x=y
?
?
x
?
?
根据直线与半圆弧的位置关系，易知原不等式解集为[-5，]
评析：利用函数的图象解题，具有直观清楚的优点，尤其对于讨论方程根的个数、含参数不等式等问题，可避开繁冗的计算与讨论，更显示出该解法的优越性。
例2：设a>0且a≠1,试求使方程log(x－ka)=log(x2－a2)有解的k的取值范围。（1989年全国高考题）
2、转化的思想方法
世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。”他认为，解题过程就是“转化”过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。
转化的思想方法，就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说对自己较为熟悉的，且在已有知识范围内可解的新问题，从而达到解决原问题的目的。转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
例3、已知a、b∈R，且a2+b2=1。求证：
（a2+）2+（b2+）2≥(1992年全国高中数学联赛题)
分析：此题直接证较困难，于是借助以下辅助命题来做。从原命题条件可知，它与三角函数有一定联系，于是对条件作如下转化：
令则可将原命题归结为求三角函数的最小值这一辅助命题为“桥梁”，使原命题得证。
证明：令
则有：（（a2+）2+（b2+）2
=(cos2θ+sec2θ)2+(sin2θ+csc2θ)2
=（cos2θ+1+tan2θ）2+(sin2θ+1+cot2θ)2
=(3+tan2θ+cot2θ）2≥（3+2）2
=
即原命题证毕。
评述：上述过程中，应用了重要不等式。
a2+b2≥及c2+≥2(c≠0)
题中的等号仅在sin2θ=cos2θ，即|a|=|b|=时成立。
说明：转化思想贯穿整个高中数学之中，每个问题的解题过程实质就是不断转化的过程。
3、函数与方程的思想方法
函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。很明显，只有在对问题的观察分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性的思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。
例4、如图为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）（1998年全国高考题）
?
?
?
?
2
a
分析：显然，该题是求函数的最小值问题。设水中的杂质的质量分数为y，则有y=（k>0的常数）。求y的最小值，转化为求ab取最大值时的a、b，以函数的思想方法先建立函数关系式，再用转化的思想方法求得ab最大时的a、b值。
解：设y为水中该杂质的质量分数，则y=（k>0的常数，a、b>0），只须求ab取最大值时，a、b的值。
由已知，得4b+2ab+2a=60
则2b+ab+a=30∴0
由2b+ab+a=30，得b=
令z=（z=ab）
则解za+2z=30－a2转化为关于a的一元二次方程
a2+(z－30)a+2z=0有实数根
∴△=(z－30)2－4×2z≥0
解得z≤18或z≥50
由z=ab<30得z≤18
当z=18时,方程有等根a==b
用a=b代入ab=18，得b=3
评述：这里首先用函数的思想方法，依据题意建立一个函数关系式，然后再运用转化的思想方法，将原函数转化为求一元二次方程，进而运用判别式通过解不等式求出a、b的值，然后求原函数的最小值。
4、分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法就是在解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究与解决，最后达到研究与解决全问题的目的。从而培养学生思维的逻辑性和概括性。
例5、经过抛物线y2=2Px(x+2P)(P>0)的顶点A作互相垂直的两条直线分别交抛物线于B、C两点。
???????????求线段BC的中点的轨迹方程。
???????????在点M的轨迹上求点N，使点N到直线x－y+1=0距离最小，并求最小值。
解：①求的第一小题结果为y2=Px（解题过程略）
②依题意建立方程组y2=Px
x－y+1=0
消去y得x2+(2－P)x+1=0判别式△=(2－P)2－4=P2－4P
???????????当△=P2－4P≥0即P≥4时，直线与抛物线有交点
此时，最小距离为0
②若0
于是点N到直线x－y+1=0的距离为
d==
∵△=P2－4P<0，∴－P<0∴P－>0
∴当yo=的点N到直线x－y+1=0的距离最小最小值为
评述：本题的常见错误是第二小题中没有对字母P讨论。认为直线与抛物线总是相离的。没有考虑到随着P的变化，有可能出现最小值为0的情况。
总之，我们在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。“授之以鱼，不如授之以渔。”方法的掌握，思想的形成，才能使学生不断提高数学解题能力
5
a=cosθ
b=sinθ
a=cosθ
b=sinθ
b
B
A
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