12.1.3求曲线的交点
一、教学目标
1、通过实例掌握求两条曲线的交点的坐标的方法;
2、进一步学习方程思想和数形结合的方法。
二、教学重点
对两曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解的应用。
三、教学过程
（一）问题情境
问题1：我们在上节课已经学习了解两条直线的交点。那么一般的，我们如何求两条曲线的交点呢？
（二）师生探究
由曲线方程的定义可知，对于曲线和曲线，
由于
所以，求两条曲线的交点，就是求方程组
的实数解。
方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点，方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。
（三）建构数学
证明：(1)必要性：
如果点是曲线和的交点，那么点P0既在曲线上又在曲线上，因此点的坐标应同时满足方程和，即和，也就是
(2)充分性：
同时满足方程和，因此以为坐标的既在曲线，又在曲线上，即点是曲线和的交点．
【总结一】这也告诉我们要求两曲线的交点，只要解这两条曲线方程组成的方程组，
一般地有直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)的位置关系的判定方法：
消去y(或x)可得ax2+bx+c=0(a≠0，△=b2-4ac)，则
(1)相离：△＜0相离；没有交点，无解
(2)相交：△＞0相交；二个交点，2个解
(3)相切：△=0相切．一个交点，1解(注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件，以后还要进一步分析．)
下面着重分析一下这一定理的应用．
四、例题精讲
【例1】已知曲线的方程是，当为何值时，直线与曲线有两个不同的交点？一个交点？没有交点？
解：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，利用判别式
(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)
【例2】已知曲线，直线，讨论直线与曲线公共点的个数
【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
解析：联立方程组消去y得到
（1）当时，即，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。
（2）当时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点
（3）当时，方程组有两个交点此时且。
（4）当时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
综上知当或时直线与双曲线只有一个交点，当且。时直线与双曲线有两个交点，当或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
【易错注意点】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略
二、弦长公式的推导
(从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”)
练习：
2、求直线2x-5y+5＝0与曲线的交点坐标。
3、求曲线与直线的交点坐标。
4、当为何值时，直线只有一个交点？
5．已知直线。当为何值时，两方程表示的曲线有两个交点？只有一个交点？没有交点？
6、已知直线被曲线截得的线段长不小于2,求实数b的取值范围。
7、求直线被曲线截得的线段的长。
8、已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
补充：一、直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。
（1）当x≤3时，方程变为，化简得。
（2）当x>3时，方程变为，化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或。
1/4
|
|
